(KFG und) Kellerautomaten

Transkript

1 (KFG und) Kellerautomaten

2 (KFG und...) Auch für die Sprachen, die durch kontextfreie Grammatiken beschrieben werden, gibt es Automaten, die genau diese Sprachklasse akzeptieren. Das sind Automaten mit einem einfachen Gedächnis, das aus einem Stapel besteht, bei dem immer nur das oberste Element gelesen und modifiziert werden darf, die Keller- oder Stapelautomaten.

3 Kellerautomat In einen Schritt kann der Automat - das nächste Eingabesymbol lesen, oder auch nicht - das oberste Kellersymbol lesen (und dabei entfernen = 'pop') - keins oder mehrere Zeichen auf den Kenner schreiben (='push') Was er tut, wählt er dabei zufällig aus den (ggf. mehreren) Aktionen, die für aktuellen Zustand mit dem aktuellen oberen Stacksymbol und der aktuellen Eingabe oder ohne Eingabe definiert sind.

4 1-Weg Kellerautomat (1KA, N1KA, PDA) Ein (nichtdeterministischer 1-Weg) Kellerautomat A (abgek. KA engl. PDA = Push Down Automata) ist ein Tupel A = (Q,Σ,Γ,δ,z 0,#,F) mit Q eine endliche Menge von Zuständen Σ ein endl. Eingabealphabet Γ ein endl. Kelleralphabet δ die Zustandsübergangsfunktion δ: Q x (Σ U {ε}) x Γ -> Pot(Q x Γ*) z 0 der Startzustand, z 0 Q, # das Kelleranfangssymbol, # Γ F die Menge der Endzustände, F Q.

5 1-Weg Kellerautomat - Beispiel Das ist die Eingabe Sub Praed Obj Verb Attrb State= Praed (delta) Pr Su #

6 1KA - Beispiel Nehmen wir zum EA einen Keller hinzu, können wir L={a n b n n>0} erkennen: Eingabe a bleibt im Zustand q0, und pusht a, b wechselt in Zustand b bzw. bleibt dort, und löscht (popt) ein a. Sind Eingabe und Keller leer, ist das Wort erkannt.

7 1KA Man kann die Zustandsübergangsfunktion δ relativ kanonisch mit Hilfe von Zwischenzuständen auf eine Funktion d, die mehr als ein Zeichen auf dem Stack lesen darf, also: d : Q x ( Σ {ε}) x Γ + -> Pot(Q x Γ*) erweitern.

8 Konfiguration Sei A = (Q,S,G,d,q0,#,F) ein KA. Eine Konfiguration K von A ist ein Element (q,w,g) Q x S* x G*. Es beschreibt den aktuellen Zustand eines Kellerautomaten, wenn q der aktuelle Zustand w die noch zu lesende Eingabe g der aktuelle Keller ist.

9 Konfigurationsschritt Sei dann a S und x G, dann ist die Relation - auf der Menge der Konfigurationen definiert durch (q 1,aw,xg) - (q 2,w,rg) :<=> (q 2,r) d(q 1,a,x), und (q 1,w,xg) - (q 2,w,rg) :<=> (q 2,r) d(q 1,ε,x) - beschreibt also einen möglichen 'Schritt' des Automaten, man spricht deswegen auch von Konfigurationsschritt. -* ist wie üblich die transitiv-reflexive Hülle von -

10 Sprache L(KA) Sie A=(Q,S,G,d,q0,#,F) ein KA. Die von A (unter Erreichen eines Endzustandes) akzeptierte Sprache ist L(a) := { w S* (q0,w,#) -* (e,ε,g) und e F }

11 Sprache L(KA), L k (KA) Sie A=(Q,S,G,d,q0,#,F) ein KA. Die von A (unter Erreichen eines Endzustandes) akzeptierte Sprache ist L(a) := { w S* (q0,w,#) -* (e,ε,g) und e F } Sei A=(Q,S,G,d,q0,#,F) ein KA. Die von A unter Leeren des Kellers akzeptierte Sprache ist L k (a) := { w S* (q0,w,#) -*(e,ε,ε) für ein e Q}

12 L(A) => L k (A) Satz: Sei L=L(K1) für einen NKA K1, dann gibt es einen NKA K2 mit L=L k (K2) Beweis: Wir pushen im ersten Schritt ein neues Kelleranfangssymbol($), und arbeiten bei K2 mit einer leeren Endzustandsmenge F2. Für jeden Endzustand f von K1 fügen wir dann Folgezustände (q leer,ε) zu d(f,ε,g) hinzu, und q leer leert den Keller.

13 L k (A) => L(A) Satz: Sei L=L k (K1) für einen NKA K1, dann gibt es einen NKA K2 mit L=L(K2) Beweis: Wir verwenden zur Konstruktion von K2 wieder ein neues Kellerendesymbol $, das wir zu Beginn mit Hilfe eines neuen Startzustands q neu pushen, und einen neuen Endzustand f. Dann wird das neue d wie das von K1, und zusätzlich: d(q neu,ε,#) = {(q0,#$)}, und d(q,ε,$) = {(f,ε)} für alle q Q.

14 L(KFG)->L k (N1KA) Satz L(KFG)->L k (N1KA) Sei G=(N,T,P,S) eine kontextfrei Grammatik. Dann existiert ein Kellerautomat K mit L(G) = L k (A) Beweis: Sei A = ({q},t,n T,d,q,S,{}), und d die kleinste Übergangsfunktion mit a. Für alle Produktionen A->a 1... a n P ist (q,a 1...a n ) in d (q,ε,a) enthalten. b. Für alle b T ist d(q,b,b) = {(q,ε)... im wesentlichen fertig, denn dann ist L(G) L(A).

15 L(KFG)->L k (N1KA) Die im Beweis verwendetet Konstruktion repräsentiert de Idee Top-Down- und des LL-Parsens. Dazu muss die Regelexpansion aber eindeutig sein.

16 L(KFG)->L(N1KA) Satz L(KFG)->L(N1KA) Sei G=(N,T,P,S) eine kontextfreie Grammatik. Dann existiert ein Kellerautomat K mit L(G) = L(K)

17 L(KFG)->L(N1KA) Beweisidee: Sei K = ({q,f},t,γ,d,q,#,{f}), Γ = N T {#}, wobei # T N, und d ist die kleinste Übergangsfunktion mit 1. ("shiften"): a T und x Γ ist d(q,b,x) = {(q,bx)} 2. "(reduzieren):" d muss so gebaut sein, das für alle Produktionen A->w, alle v T* und alle g Γ* (q,v,w t g) - (q,v,ag) möglich ist. 3. d(q,ε,s#) = {(f,#)} w t ist dabei w in umgekehrter Reihenfolge. Dann liefert K für jedes w T* einen Reduktion von w bzgl. der Grammatik G

18 L(KFG)->L(N1KA) Die Konstruktion in der Beweisidee liefert das Konzept des Bottom-Up- bzw.. - falls deterministisch - das des LR- Parsenes

19 und andersrum... Die Umkehrung der beiden Sätze gilt übrigens auch: L = L k (K) => es gibt KFG G mit L = L(G), und für L(K) entsprechend. Zum Beweis siehe etwa [AB], Seite 311.

20 Nochmal: D1KA Ein (1-Weg-)Kellerautomat A = (Q,S,G,d,q0,#,F) ist deterministisch, wenn für alle q Q, a S und g G gilt a. d(q,a,g) <= 1 b. d(q,ε,g) <= 1 c. Falls d(q,ε,g), ist für alle a S d(q,a,g) = Eine Sprache L heisst deterministisch kontextfrei, wenn es einen deterministischen KA A gibt mit L = L(A)

21 Sprachklassen und Automaten L(D1KA) ist eine echte Untermenge von L(N1KA) L(N1KA) eine echte Untermenge von L(N2KA). Beispiele sind die Sprachen L 1 = {a n b n n >0} ist in L(D1KA). L 2 = L 1 U {a n b 2n n>0} ist in L(N1KA), aber nicht in L(D1KA) L 3 = {a n b n c n n>0} ist in L(N2KA), aber nicht in L(N1KA)

22 Lernziele Aufbau und Ablauf eines Kellerautomaten (1NKA) skizzieren können Bottom-Up und Top-Down-Analyse mit 1NKA prinzipiell erklären können Zu einfachen KFGs aequivalente 1NKA angeben können. Mindestens eine einfache Sprache nennen können, die nicht mehr durch 1NKA analysiert werden können.