Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

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1 13 Kellerautomaten Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien Warum ein Automatenmodell für kontextfreien Sprachen (zu Folie 233) Manche Konstruktionen und Verfahren lassen sich besser mit Hilfe des Automatenmodells durchführen (anstatt auf Grammatiken). Dazu gehört: das Wortproblem (wir werden herausfinden, dass das Wortproblem unter bestimmten Umständen effizienter als in Zeit O(n 3 ) gelöst werden kann) Abschlusseigenschaften (Abschluss von kontextfreien Sprachen unter Schnitt mit regulären Sprachen lässt sich gut mit Kellerautomaten zeigen) Zu Folie 234 Ein endlicher Automat kann diese Sprache deshalb nicht erkennen, weil er sich keine beliebig langen Wörter der Form a 1 a 2... a n merken kann. Er müsste sich aber solche Wörter merken, um die Übereinstimmung mit dem Wortteil nach dem $ zu überprüfen. Bedeuten der Überführungsfunktion eines Kellerautomaten (zu Folien ) Σ {ɛ} ist das Alphabet mit einem zusätzlichem Symbol ɛ. Z (Σ {ɛ}) Γ ist die Menge von 3-Tupeln, die aus einem Zustand, einem Alphabetsymbol oder ɛ, und aus einem Kellersymbol bestehen. Z Γ ist die Menge von Paaren, die aus einem Zustand und aus einer Folge von Kellersymbolen bestehen. Das heißt, δ ist eine Funktion, die als Eingabe einen Zustand (den aktiven Zustand), ein Alphabetsymbol oder ɛ (das eingelesene Symbol, wobei ɛ angibt, dass nichts eingelesen werden soll) und einen Kellersymbol (das oberste Symbol auf dem Keller) nimmt, und einen Zustand (den Nachfolgezustand) und eine Folge von Kellersymbolen ausgibt. Notation der Überführungsfunktion Sei M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0, #) ein Kellerautomat. Für z Z, a Σ {ɛ} und A Γ, ist δ(z, a, A) eine endliche Menge von Paaren. Zum Beispiel, Z = {z 0, z 1 }, Σ = {a, b} und Γ = {A, #}. Dann könnte δ folgendermaßen definiert sein: δ(z 0, a, #) = {(z 0, #), (z 0, A#)} δ(z 0, a, A) = {(z 0, A), (z 0, AA)} δ(z 0, b, #) = δ(z 0, b, A) = {(z 1, ɛ)} δ(z 0, ɛ, #) = δ(z 0, ɛ, A) = δ(z 1, a, #) = δ(z 1, a, A) = δ(z 1, b, #) = δ(z 1, b, A) = {(z 1, ɛ)} δ(z 1, ɛ, #) = {(z 1, ɛ)} δ(z 1, ɛ, A) = 1

2 Es sei angemerkt, dass δ eine vollständige Funktion ist, und deswegen muss sie für alle Kombinationen von Zustand, Alphabetsymbol (oder ɛ) und Kellersymbol definiert sein. Aus Klarheitsgründen werden wir die Überführungsfunktion aber folgendermaßen angegeben: δ(z 0, a, #) (z 0, #) δ(z 1, b, A) (z 1, ɛ) δ(z 0, a, #) (z 0, A#) δ(z 1, ɛ, #) (z 1, ɛ) δ(z 0, a, A) (z 0, A) δ(z 0, a, A) (z 0, AA) δ(z 0, b, A) (z 1, ɛ) oder noch kürzer selbst folgendermaßen: (z 0, a, #) (z 0, #) (z 1, b, A) (z 1, ɛ) (z 0, a, #) (z 0, A#) (z 1, ɛ, #) (z 1, ɛ) (z 0, a, A) (z 0, A) (z 0, a, A) (z 0, AA) (z 0, b, A) (z 1, ɛ). Dabei werden wir davon ausgehen, dass wenn δ(z, a, A) (z, γ) bzw. (z, a, A) (z, γ) nicht angegeben ist (für z Z, a Σ {ɛ}, γ Γ ), dann (z, γ) / δ(z, a, A) gemeint ist. Wir werden auch eine graphische Darstellung verwenden. Ein Übergang (z, a, A) (z, B 1... B n ) wird dann wie folgt angegeben: a, A B z 1... B n z Kellerautomat-Beispiel 1 (Folie 250) Geben Sie einen Kellerautomaten M für die Sprache L(M) = {w$w R w {a, b} } an. Antwort: M = ({z 1, z 2 }, {a, b, $}, {#, A, B}, δ, z 1, #), wobei δ folgendermaßen definiert ist (wir schreiben (z, a, A) (z, x), falls (z, x) δ(z, a, A)). (z 1, a, #) (z 1, A#) (z 1, a, A) (z 1, AA) (z 1, a, B) (z 1, AB) (z 1, b, #) (z 1, B#) (z 1, b, A) (z 1, BA) (z 1, b, B) (z 1, BB) (z 1, $, #) (z 2, #) (z 1, $, A) (z 2, A) (z 1, $, B) (z 2, B) (z 2, a, A) (z 2, ɛ) (z 2, b, B) (z 2, ɛ) (z 2, ɛ, #) (z 2, ɛ) Graphisch dargestellt sieht der Kellerautomat folgendermaßen aus: a, # A#, b, # B#, a, A AA, b, A BA, a, B AB, b, B BB a, A ɛ, b, B ɛ, ɛ, # ɛ $, # #, $, A A, $, B B z 1 z 2 Wenn ein Pfeil zwei Beschriftungen hat (z.b. angegeben als $, # #, $, A A, $, B B ) heißt das, dass er zwei Übergänge repräsentiert (genauso haben wir das auch bei endlichen Automaten gemacht). 2

3 Zu Folie 245 bezeichnet die reflexive und transitive Hülle von. Das heißt, dass (z, w, γ) (z, w, γ ), wenn (z, w, γ ) in keinem, einem oder mehreren Schritten aus (z, w, γ) erreicht werden kann. In anderen Worten: (z, w, γ) (z, w, γ ) genau dann, wenn es Konfigurationen k 1,..., k n gibt, so dass k 1 = (z, w, γ), k n = (z, w, γ ) und k i k i+1, für 0 < i < n gilt. Kellerautomat-Beispiele Beispiel 1. (Folie 254) Aufgabe: Sei Σ = {a, b} das Alphabet. Geben Sie einen Kellerautomaten an, der die folgende Sprache akzeptiert: L = {ww R w {a, b} }. Antwort: wobei δ wie folgt definiert ist: M = ({z 1, z 2 }, {a, b}, {#, A, B}, δ, z 1, #), (z 1, a, #) (z 1, A#) (z 1, a, A) (z 1, AA) (z 1, a, B) (z 1, AB) (z 1, b, #) (z 1, B#) (z 1, b, A) (z 1, BA) (z 1, b, B) (z 1, BB) (z 1, ɛ, #) (z 2, #) (z 1, ɛ, A) (z 2, A) (z 1, ɛ, B) (z 2, B) (z 2, a, A) (z 2, ɛ) (z 2, b, B) (z 2, ɛ) (z 2, ɛ, #) (z 2, ɛ) Ein Ablauf dieses Kellerautomaten, wobei der Automat mit einem leeren Keller endet: (z 1, aabbaa, #) (z 1, abbaa, A#) (z 1, bbaa, AA#) (z 1, baa, BAA#) (z 2, baa, BAA#) (z 2, aa, AA#) (z 2, a, A#) (z 2, ɛ, #) (z 2, ɛ, ɛ) Es gibt aber auch Abläufe, die nicht in den leeren Keller enden: (z 1, aabbaa, #) (z 1, abbaa, A#) (z 1, bbaa, AA#) (z 1, baa, BAA#) (z 1, aa, BBAA#) (z 1, a, ABBAA#) (z 2, a, ABBAA#) (z 2, ɛ, BBAA#) Ein Wort wird von dem Kellerautomaten akzeptiert, falls es mindestens einen Ablauf gibt, der mit einem leeren Keller endet (und das ganze Eingabewort eingelesen hat). In diesem Fall wird aabbaa also von dem Automaten akzeptiert. Beispiel 2. (Folie 255, oben) Aufgabe: Sei Σ = {a, b} das Alphabet. Geben Sie einen Kellerautomaten an, der die folgende Sprache akzeptiert: L 1 = {a n b m 1 n m} Lösung: Wir brauchen zwei Zustände: z 1 : Einlesen der a s (Anfangszustand) In diesem Zustand liest der Automat die a s ein, und speichert die Anzahl der a s auf den Keller (in unärer Darstellung, das heißt die Anzahl der Symbolen auf dem Keller entspricht der Anzahl der gelesenen a s). z 2 : Einlesen der b s In diesem Zustand baut der Automat den Keller ab. Für jedes Kellersymbol, das auf dem Keller liegt, muss ein b eingelesen werden. Weil es nur gefordert ist, dass die Anzahl der b s größer oder gleich der Anzahl der a s ist, können auch b s eingelesen werden, ohne den Keller zu ändern. 3

4 Formal dargestellt, lässt sich der Kellerautomat M 1 folgendermaßen definieren: M 1 = (Z, Σ, Γ, δ, z 1, #), wobei Z = {z 1, z 2 }, Σ = {a, b}, Γ = {A, #} und δ folgendermaßen definiert ist: (z 1, a, #) (z 1, A#) wenn das einzulesene Symbol ein a ist (z 1, a, A) (z 1, AA) push A auf den Keller (z 1, ɛ, #) (z 2, #) oder springe nicht-deterministisch zu (z 1, ɛ, A) (z 2, A) Zustand z 2 um den Keller abzubauen (z 2, b, #) (z 2, ɛ) lese ein b ein, und pop optional (z 2, b, #) (z 2, #) das oberste Symbol (A oder #) vom Keller (z 2, b, A) (z 2, ɛ) (ein a soll in z 2 nie eingelesen werden) (z 2, b, A) (z 2, A) (z 2, ɛ, #) (z 2, ɛ) sorgt dafür, dass der PDA aufhören kann, wenn n = m Beispiel 3. (Folie 255, unten) Aufgabe: Sei Σ = {a, b, $}. Geben Sie einen Kellerautomaten an, der die folgende Sprache akzeptiert: L 2 = {x$y x {a, b}, y {a, b}, x y} Lösung: Die Sprache besteht aus Wörtern der Form x$y, wobei x und y nicht gleich sind. Weil wir nur das oberste Kellerzeichen betrachten können, reicht es nicht den Teil des Wortes vor dem $ auf dem Keller zu speichern: das Wort befindet sich dann in umgekehrter Reihenfolge auf dem Keller. Wir müssen uns also überlegen, wie wir überprüfen können, dass die zwei Teilen des Wortes (x und y) ungleich sind ohne den ganzen ersten Teil (x) auf den Keller zu pushen. Es gibt zwei mögliche Gründe, warum x und y ungleich sind: entweder gibt es eine natürliche Zahl i, so dass das i-te Symbol vom x ungleich dem i-ten Symbol vom y ist, oder x und y haben eine unterschiedliche Länge. Wir versuchen jetzt einen Automaten zu bauen, der während dem Einlesen von x nichtdeterministisch entweder eine Position wählt, in der sich x und y unterscheiden, oder die Länge überprüft. Im ersten Fall wird die Position auf den Keller gespeichert, im zweiten Fall die Länge von x. Unser Automat besteht aus den folgenden Zuständen: z 1 : x und Stelle oder Länge wählen Wenn ein a eingelesen wird, kann nichtdeterministisch entschieden werden, zu z 3 zu gehen (um zu überprüfen, ob das entsprechende Symbol von y ein b ist). Wenn ein b eingelesen wird, kann nichtdeterministisch entschieden werden, zu z 5 zu gehen (um zu überprüfen, ob das entsprechende Symbol von y ein a ist). In beiden Fällen kann man auch in z 1 bleiben und ein 1 auf den Keller pushen, so dass eine andere Position oder die Länge gewählt werden kann. Wenn $ eingelesen wird, geh zu z 2 um die Länge zu überprüfen. z 2 : Länge von y überprüfen Dieser Zustand überprüft, ob y eine andere Anzahl von Symbolen hat, als es Symbolen auf dem Keller gibt. Ein Wort wird akzeptiert, sobald entweder der Keller leer ist (in diesem Fall wird in z 7 gewechselt um den Rest der Eingabe einzulesen), oder das Eingabewort vollständig gelesen wurde (in diesem Fall wird in z 8 gewechselt um den Keller zu leeren), aber nicht gleichzeitig. 4

5 z 3 : Rest von x einlesen 1 Zusammen mit z 4 überprüft dieser Zustand, ob die entsprechende Position von y ein b enthält. Insbesondere, liest dieser Zustand die restlichen Symbole von x ein, ohne den Keller zu ändern, und wechselt dann in z 4. z 4 : Position überprüfen 1 Wenn es noch Symbole auf dem Keller gibt, wird ein Symbol von der Eingabe eingelesen und das oberste Kellersymbol gepopt. Sonst, wird b eingelesen und in den Akzeptanzzustand z 7 gewechselt. (Es gibt in diesem Fall keine Übergänge, wo ein a eingelesen wird.) z 5 und z 6 : Anolog zu z 4 und z 5, aber es wird auf a geprüft und nicht auf b. z 7 : Akzeptanzzustand 1 Der Rest des Eingabewortes wird eingelesen und schließlich das Kellerbodenzeichen vom Keller entfernt. z 8 : Akzeptanzzustand 2 In diesem Zustand wird den Keller abgebaut, aber kein Teil der Eingabe gelesen. Der Automat M 2 wird formal wie folgt dargestellt: M 2 = (Z, Σ, Γ, δ, z 1, #) 5

6 wobei Z = {z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, z 7 }, Σ = {a, b, $}, Γ = {1, #} und δ enthält die folgende Übergänge: Zustand z 1 Zustand z 2 (z 1, a, #) (z 1, 1#) (z 2, a, 1) (z 2, ɛ) (z 1, a, 1) (z 1, 11) (z 2, b, 1) (z 2, ɛ) (z 1, a, #) (z 3, #) (z 2, a, #) (z 7, #) (z 1, a, 1) (z 3, 1) (z 2, b, #) (z 7, #) (z 1, b, #) (z 1, 1#) (z 2, ɛ, 1) (z 8, ɛ) (z 1, b, 1) (z 1, 11) (z 1, b, #) (z 5, #) (z 1, b, 1) (z 5, 1) (z 1, $, #) (z 2, #) (z 1, $, 1) (z 2, 1) Zustand z 3 Zustand z 5 (z 3, a, #) (z 3, #) (z 5, a, #) (z 5, #) (z 3, a, 1) (z 3, 1) (z 5, a, 1) (z 5, 1) (z 3, b, #) (z 3, #) (z 5, b, #) (z 5, #) (z 3, b, 1) (z 3, 1) (z 5, b, 1) (z 5, 1) (z 3, $, #) (z 4, #) (z 5, $, #) (z 6, #) (z 3, $, 1) (z 4, 1) (z 5, $, 1) (z 6, 1) Zustand z 4 Zustand z 6 (z 4, a, 1) (z 4, ɛ) (z 6, a, 1) (z 6, ɛ) (z 4, b, 1) (z 4, ɛ) (z 6, b, 1) (z 6, ɛ) (z 4, b, #) (z 7, #) (z 6, a, #) (z 7, #) Zustand z 7 Zustand z 8 (z 7, a, #) (z 7, #) (z 8, ɛ, 1) (z 8, ɛ) (z 7, b, #) (z 7, #) (z 8, ɛ, #) (z 8, ɛ) (z 7, ɛ, #) (z 7, ɛ) Kontextfreie Grammatik PDA (Folie 258/259) Kellerautomaten können in einem Konfigurationsübergang ein Symbol auf dem Keller durch mehrere verschiedene ersetzen. Deswegen können wir den Keller verwenden, um das ableiten eines Wortes zu simulieren. Weil wir über kontextfreie Grammatiken reden, können Terminalsymbole nicht mehr durch etwas anderes ersetzt werden (nur einzelne Variablen können ersetzt werden). Das heißt, dass Terminalsymbolen, die links von der ersten Variable vorkommen (über der höchsten Variable auf dem Stack) und die mit der Eingabe übereinstimmen, ohne Probleme entfernt werden können, damit eine Variable wieder das erste Symbol ist. Beispiel von Folie 259: Wenn wir die Konstruktion auf die Beispielgrammatik anwenden, kommt folgender Kellerautomat M raus: M = ({z}, {[, ]}, {S, [, ]}, δ, z, S), 6

7 wobei δ wie folgt gegeben ist: (z, [, [) (z, ɛ) (z, ], ]) (z, ɛ) (z, ɛ, S) (z, [S]S) (z, ɛ, S) (z, ɛ) PDA kontextfreie Grammatik (Folien ) Produktionformen: S (z 0, #, z) für alle z Z. Aus (z 0, #, z) können, nach Beweisidee, die Wörter abgeleited werden, die der Kellerautomat einliest, wenn er im Anfangszustand startet, in z (der beliebig ist) endet, und dabei das Kellerbodenzeichen abbaut. Das heißt, dass aus S alle Wörter der Sprache abgeleitet werden können, wie gewünscht. (z, A, z ) a falls (z, ɛ) δ(z, a, A). Der Kellerautomat kann, wenn er sich im Zustand z befindet, bei Einlesen von a und Abbauen von A, in Zustand z wechseln. (z, A, z ) a(z 1, B 1, z 2 )(z 2, B 2, z 3 )... (z k, B k, z ) falls (z 1, B 1... B k ) δ(z, a, A), wobei z 2,..., z k Z. Der Kellerautomat kann, bei Einlesen von a, von Zustand z den Zustand z 1 erreichen, indem das oberste Kellerzeichen A durch B 1... B k ersetzt wird. Um den Keller um ein Symbol zu verringern, müssen nun die Kellersymbolen B 1,..., B k entfernt werden. Wir haben die folgende Situation: B 1 B 2 B 2 A B k B k Bk z z 1 z 2 z k z a x 1 x 2... x k 1 x k Wenn wir annemen, dass, für 1 i k, (z i, B i, z i+1 ) x i (mit z = z k ), dann kann der Kellerautomat bei Einlesen von ax 1... x k und Entfernen von A von dem Keller von Zustand z in Zustand z kommen. Beispiel von Folie 268: Wenn wir die Konstruktion auf den Beispielautomaten anwenden, kommt folgende kontextfreie Grammatik G raus: G = (V, Σ, P, S) wobei V = {S} Z Γ Z (d.h., dass V aus S und 3-Tupeln von Zustand, Kellersymbol und Zustand besteht) und P aus den folgenden Produktionen besteht: Produktionen der ersten Form: S (z 1, #, z 1 ) S (z 1, #, z 2 ) 7

8 Produktionen der zweiten Form: (z 1, A, z 2 ) b (z 2, A, z 2 ) b (z 2, #, z 2 ) ɛ Produktionen der dritten Form: (z 1, #, z 1 ) a(z 1, A, z 1 )(z 1, #, z 1 ) (z 1, #, z 2 ) a(z 1, A, z 1 )(z 1, #, z 2 ) (z 1, #, z 1 ) a(z 1, A, z 2 )(z 2, #, z 1 ) (z 1, #, z 2 ) a(z 1, A, z 2 )(z 2, #, z 2 ) (z 1, A, z 1 ) a(z 1, A, z 1 )(z 1, A, z 1 ) (z 1, A, z 2 ) a(z 1, A, z 1 )(z 1, A, z 2 ) (z 1, A, z 1 ) a(z 1, A, z 2 )(z 2, A, z 1 ) (z 1, A, z 2 ) a(z 1, A, z 2 )(z 2, A, z 2 ) Als ein Hinweis darauf, dass die Ergebnisgrammatik tatsächlich die richtige Sprache akzeptiert, folgt hier ein Syntaxbaum für das Wort aabb: S (z 1, #, z 2 ) a (z 1, A, z 2 ) (z 2, #, z 2 ) a (z 1, A, z 2 ) (z 2, A, z 2 ) ɛ b b 8