Automaten und Formale Sprachen 14. Vorlesung

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1 Automaten und Formale Sprachen 14. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 24. Januar 2006 Bis 31. Januar 2006: Folien studieren. Details und Beispiele im Skript, Seiten Definitionen lernen, Beispiele ansehen, Fragen vorbereiten. Übungsaufgaben vorbereiten. Klausur: Montag, 20. Februar :00 Uhr, Audimax FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Kapitel 5: Kellerautomaten Kellerautomat PushDown Automaton Eingabeband: c a c b b c # c b b c a c Maschinenmodell für die kontextfreien Sprachen Lesekopf: Keller: Parsing: Syntaxcheck und Konstruktion von Syntaxbäumen Steuereinheit: B B C A C liest Buchstaben eines Eingabeworts von links nach rechts hat als Speicher: Keller/Stack/Pushdown store und eine Steuereinheit mit endlich vielen Zuständen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

2 NPDA M = (Q,Σ,Γ,q 0,Z 0,δ) Konfigurationen (Zustand q, Restwort w, Kellerinhalt α) Relation Nachfolge-Konfiguration k M k (legaler Schritt) Konstruktion eines NPDA M G aus einer kontextfreien Grammatik G: Top-Down-Parsing LL-Parsing Bottom-Up-Parsing LR-Parsing Berechnung: mehrere legale Schritte akzeptierende Berechnung (legale Schrittfolge, startend in init M (x), endend in (q, ε, ε)) Satz Wenn L kontextfrei ist, dann gibt es einen NPDA M G mit L = L M. L M FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Satz Von Kellerautomaten zu Grammatiken Wenn M ein NPDA ist, dann gibt es (konstruktiv) eine kontextfreie Grammatik G mit L M = L(G). Beweis: Tripelkonstruktion (Skript, nicht Stoff) Also: L = L M für einen NPDA L = L(G) für eine kfg G Von Kellerautomaten zu Grammatiken Tripelkonstruktion. Gegeben: M = (Q,Σ,Γ,q 0,Z 0,δ). V := {S} { q, A, p p, q Q,A Γ}. Das Maschinenmodell für die L 2 -Sprachen ist der NPDA. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

3 Von Kellerautomaten zu Grammatiken Absicht: Für q, p Q, A Γ und w Σ soll gelten: q, A,p G w (q, w,a) M (p, ε,ε). ( ) In Worten: Es gibt einen G-Ableitungsbaum mit Wurzel q, A,p und Ergebnis (Blattinschrift) w M kann von Zustand q mit A als oberstem Kellersymbol die Teileingabe w lesen, dabei Zustand p erreichen und das Zeichen A aus dem Keller streichen. Von Kellerautomaten zu Grammatiken Produktionen: (i) S q 0,Z 0,p, für jedes p Q. (ii) q, A,q m+1 a q 1,A 1,q 2 q 2,A 2,q 3 q m,a m,q m+1, für (q, a, A) Q (Σ {ε}) Γ,q 1,...,q m+1 Q,m 0, wo (q 1,A 1 A m ) δ(q, a, A). Beachte Spezialfälle: m = 0: führt zur Produktion q, A,q 1 a; a = ε. Beachte: G wird aus M ganz formal, mechanisch gebildet. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Von Kellerautomaten zu Grammatiken Angenommen, folgendes gilt: q, A,p G w (q, w,a) M (p, ε,ε). ( ) Von Kellerautomaten zu Grammatiken Die Äquivalenz q, A,p G w (q, w,a) M (p, ε,ε). ( ) Dann: w L M p Q : (q 0,w, Z 0 ) M (p, ε,ε) p Q : q 0,Z 0,p G w S G w w L(G). beweist man und, für jede Richtung einzeln, jeweils mit einer geeigneten Induktion. Details: Skript. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

4 5.4 Akzeptierungsmodi Akzeptierungsmodi Leerer Keller (bisher) ( LK-NPDA ) Akzeptierende Zustände (wie bei NFA) ( Z-NPDA ) Definition M = (Q,Σ,Γ,q 0,Z 0,F,δ) wie gewöhnlicher NPDA, mit F Q (Menge der akzeptierenden Zustände) Äquivalent! M akzeptiert w falls (q 0,w, Z 0 ) M (q,ε,γ) für ein q F und ein beliebiges γ Γ. Lese Eingabe vollständig, erreiche akzeptierenden Zustand, Kellerinhalt gleichgültig FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Akzeptierungsmodi Von Z-NPDA zu LK-NPDA : Sei M = (Q,Σ,Γ,q 0,Z 0,F,δ ) ein Z-NPDA. Äquivalenter LK-NPDA M = (Q,Σ,Γ {Z 0 },q 0,Z 0,δ) arbeitet so: Anfang: Packe Z 0 Z 0 in den Keller. Arbeite wie M. Immer wenn M in Zustand q F ist, kann (nichtdeterministisch) M per ε-zug in einen Leere-den-Keller-Modus (Zustand q evac ) wechseln (unwiderruflich!): Akzeptierungsmodi Von Z-NPDA zu LK-NPDA :... in Zustand q evac wird der Keller geleert, aber nichts mehr gelesen: δ(q evac,ε,z) = {(q evac,ε)}, für Z Γ {Z 0 }. δ(q,ε,z) = {(q evac,z)} δ (q,ε,z), für q F,Z Γ {Z 0 }; FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

5 Akzeptierungsmodi Von LK-NPDA zu Z-NPDA : Sei M = (Q,...,Z 0,δ) ein LK-NPDA. Äquivalenter Z-NPDA M = (Q,...,Z 0,F,δ ) arbeitet so: Anfang: Packe Z 0 Z 0 in den Keller. Arbeite wie M. Wenn Kellerzeichen Z 0 sichtbar ist, (d.h. M hat leeren Keller, kann nicht weiterrechnen) wechsle (deterministisch) per ε-zug in den akzeptierenden Zustand q acc. Von q acc aus kann nicht weitergerechnet werden. Satz 5.5 Abschlusseigenschaften II Wenn L 1 kontextfrei ist und L 2 ist regulär, dann ist L 1 L 2 kontextfrei. Kontrast: Es gibt L,L kontextfrei mit L L nicht kontextfrei. Beweis: Wähle einen NPDA M 1 = (Q 1,...) für L 1, der mit akzeptierenden Zuständen (Menge F 1 ) akzeptiert. Wähle einen DFA M 2 = (Q 2,...) für L 2. Menge F 2 : Akzeptierende Zustände von M 2. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Baue einen neuen NPDA M ähnlich wie bei Kreuzproduktkonstruktion für DFA s: Ergänze Steuereinheit von M 1 um ein Register, das den Zustand von M 2 mitführt, aktualisiert immer nach dem Lesen eines Eingabezeichens. Es ist egal, wenn M 1 nichtdeterministisch in verschiedenen Berechnungen verschieden schnell liest (!) Das Zustandspaar (q 1,q 2 ) Q 1 Q 2 gilt als akzeptierend q 1 F 1 und q 2 F 2. Dann: w wird von M akzeptiert w L 1 L Die Keller von zwei Kellerautomaten sind nicht so einfach in einen Keller kombinierbar. Tatsächlich ergibt ein deterministischer Automat mit zwei unabhängigen Kellern ein Maschinenmodell, das beweisbar stärker ist als die NPDA s.? Wieso kann man nicht genauso zeigen, dass L 2 unter Durchschnittsbildung abgeschlossen ist? FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

6 5.6 Deterministische Kellerautomaten (DPDA s) In jeder Situation ist Eventuell auch keiner! höchstens ein Zug möglich Berechnungsbaum ist ein Pfad, keine Verzweigungen. Wortproblem für DPDA s: Gegeben DPDA M und w Σ, ist w L M? hat einfache Lösung: Lasse M auf w ablaufen, schaue nach, ob M akzeptiert. ((!) Geht nur, wenn M Eingabe komplett liest. Siehe unten: Bemerkungen zur Komplementierung.) Akzeptierungsmodus? Beispiel: Klammersprache L. w 1 = 0101 L ist Präfix von w 2 = L Deterministische Maschine kann nicht mit leerem Keller akzeptieren. Sonst nach Lesen von w 1 = 0101 Keller leer w 2 wird nicht akzeptiert. Ausweg: Akzeptieren über Zustände. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Definition Ein deterministischer Kellerautomat (DPDA) M hat 7 Komponenten: Zustandmenge Q; Startzustand q 0 Q Eingabe-Alphabet Σ Keller-Alphabet Γ; Keller-Anfangs-Zeichen Z 0 Γ Menge F Q (akzeptierende Zustände) Konfigurationen k, Definition Nachfolgekonfigurationsrelation k M k, iterierte Nachfolgerelation k M k definiert wie bei NPDA s Achtung! Jede Konfiguration hat maximal eine Nachfolgekonfiguration; Berechnung von M auf w entwickelt sich eindeutig. Übergangsfunktion δ wie bei NPDA s mit δ(q, a, A) + δ(q, ε, A) 1, für a Σ, A Γ, q Q FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

7 M akzeptiert w falls Definition init M (w) = (q 0,w, Z 0 ) M (q, ε, γ), für ein q F und ein γ Γ gilt. (Berechnung führt zu vollständigem Lesen der Eingabe und zum Erreichen eines akzeptierenden Zustands.) L M := {w Σ M akzeptiert w} Beispiel: Klammerausdrücke Idee: Zähle offene Klammern im Keller. Lese ( : Zähle eins hoch Lese ) : Zähle eins herunter Fehler, wenn bei leerem Keller ) kommt. Akzeptiere, wenn der Keller leer ist aber nicht Rechnung beenden! Wird erreicht durch Wechsel in akzeptierenden Zustand (ε-schritt). Wichtig: Nie die Keller-Ende-Markierung löschen. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen DPDA für die Klammersprache: DPDA für die Klammersprache Q = {A,V }, q 0 = V Σ = {(,)} Γ = {1, }, Z 0 = F = {A} Start (,1 11 V ε, (, 1 A δ als Graph ),1 ε FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

8 Eingabe: ()(())((()())) schon gelesen Keller Zustand V A ( 1 V () V () A ()( 1 V ()(( 11 V ()(() 1 V ()(()) V ()(()) A ()(())( 1 V Beispiel: L = {a i b j i j} Ideen: Kontrolliere Abfolge a b im Zustand Zähle a s im Keller Für jedes b zähle eins herunter Akzeptiere, solange der Keller nicht leer ist Verwerfe, wenn der Keller exakt leer ist Akzeptiere, wenn weitere b s folgen Wichtig Nie die Keller-Ende-Markierung löschen Wichtig Erst auf Keller leer testen, dann akzeptieren FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen DPDA für L = {a i b j i j} DPDA für L = {a i b j i j} Q = {S, A,B,C,D}, q 0 = S a,1 11 b, Σ = {a,b} Γ = {1, }, Z 0 = a, 1 Start S A b, 1 ε B b, D F = {A,C, D} δ als Graph ε,1 1 b, 1 ε C b, Prüfe DPDA-Bedingung: Nie 2 Möglichkeiten! FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

9 Eingabe: aaabbbbbbb schon gelesen Keller Zustand S S a 1 A aa 11 A aaa 111 A aaab 11 B aaab 11 C aaabb 1 B aaabb 1 C aaabbb B aaabbbb D aaabbbbb D Definition Eine Sprache L heißt deterministisch kontextfrei, falls L = L M für einen DPDA M gilt. Zugehöriger Grammatiktyp: LR(k)-Grammatiken, k 1 Deterministischer Bottom-Up-Parser mit k Zeichen lookahead hier nicht behandelt Vorlesung Übersetzerbau FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Behauptung: Die det. kontextfreien Sprachen sind unter Komplementbildung abgeschlossen. Einfache Idee: Lasse M die Eingabe w bis zum Ende lesen. Vertausche akzeptierende und verwerfende Zustände. Kleinere technische Schwierigkeiten! Lemma Es sei M ein DPDA. Dann kann man einen zu M äquivalenten DPDA M konstruieren, der jede Eingabe w bis zum Ende liest. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

10 Einfach: Fall 1: M gelangt in eine Sackgasse, d.h.: kein weiterer Übergang möglich. An leicht erkennbar. δ(q, a, A) δ(q, ε, A) = Modifiziere M: gehe in neuen verwerfenden Zustand q aus, in dem beliebige Buchstaben gelesen werden, ohne den Keller zu ändern. Fall 2: Viel komplizierter: M gerät in eine Endlosschleife aus ε-zügen, in der kein Buchstabe gelesen wird. Viel schwieriger zu erkennen! ε-zustandsübergänge (ohne nächstes Zeichen anzusehen!) Kellerveränderungen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Zentraler Ansatz: Für jedes Paar q Q, Z Γ, finde heraus ob (q, ε, Z) M (p, ε,ε) für ein p Wird, startend in Zustand q, ein Z oben im Keller nach einer Reihe von ε-zügen gelöscht? Fall 2a: Das Z wird irgendwann gelöscht. Keine Änderung erforderlich. Fall 2b: Das Z wird nie gelöscht; es ergibt sich eine Endlosschleife, in der sich Konfigurationen wiederholen. Der Keller bleibt beschränkt hoch. Ändere δ(q, ε,z) auf {(ˆq, ε, Z)}, wobei ˆq ein neuer Zustand ist. Zustand ˆq ist akzeptierend in der Schleife wird ein akzeptierender Zustand durchlaufen. Von ˆq wechsle mit einem ε-zug in Zustand q aus, siehe oben. Fall 2c: Das Z wird nie gelöscht; es ergibt sich eine Endlosschleife ohne Wiederholung von Konfigurationen. Dann wächst der Keller unbeschränkt hoch; es stellt sich FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

11 jedoch ein periodischer Ablauf ein (bei Wiederholung einer Kombination Kellerzeichen Y, Zustand p). Ändere δ(q, ε, Z) ebenso wie im Fall 2b. Haben erreicht: Modifizierte Version von M (wieder M genannt) liest jede Eingabe bis zum Ende. Letztes, kleineres Problem: M könnte nach Lese-Ende noch 50 ε-schritte machen und dabei von F- in F-Zustände und zurück wechseln. Wann muss M akzeptieren? FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Problem: Wechseln Zustandsfolge nach Lesen des letzten Buchstabens (Kellerinhalt ist gleichgültig): Fall (a): M : p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 kein ε-übergang mehr / F / F / F F Makzeptiert M : v. v. v. v. v. v. M verwirft! Fall (b): M : p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 kein ε-übergang mehr / F / F / F / F / F / F M verwirft M : v. v. v. v. v. a. M akzeptiert! Satz Wenn L deterministisch kontextfrei ist, dann auch L = Σ L. Korollar Die deterministisch kontextfreien Sprachen sind eine echte Teilklasse von L 2. Beweis: Klar: Jede deterministisch kontextfreie Sprache ist kontextfrei. L = {a i b j c k i j j k} ist kontextfrei (letzte Vorlesung!) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

12 L = {a i b j c k i j j k} ist kontextfrei. Annahme: L ist deterministisch kontextfrei. Dann: L auch kontextfrei, also auch (siehe 5.7, Durchschnitt mit regulären Sprachen) L L(a b c ) = {a i b j c j i = j = k} kontextfrei, Widerspruch. Korollar Die deterministisch kontextfreien Sprachen sind weder unter Vereinigung noch unter Durchschnitt abgeschlossen. Beweis: Deterministisch kontextfrei: (Gute Übung!) L 1 = {a i b j c k i j,0 k} L 2 = {a i b j c k j k,0 i} Aber nicht L 1 L 2! Deterministisch kontextfrei: L 1 = {a i b j c k i = j,0 k} L 2 = {a i b j c k j = k,0 i} Aber nicht L 1 L 2! FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Beispiel: Palindrome ohne Mittezeichen: {w w {0,1},w = w R } ist kontextfrei (!), aber nicht deterministisch kontextfrei. Intuitiv einleuchtend (wann soll man vom Einlesen in die Kontrollphase umschalten?) Formaler Beweis aufwendig. Satz Wenn L 1 deterministisch kontextfrei ist und L 2 regulär, dann ist L 1 L 2 deterministisch kontextfrei. Beweis: Genau wie für NPDA s. Kontrast: Es gibt L,L deterministisch kontextfrei mit L L nicht kontextfrei. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen