1.4 Die Ackermannfunktion

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1 a : N 2 N : Beispiele: a(0, y) = y + 1, a(x, 0) = a(x 1, 1), x > 0, a(x, y) = a(x 1, a(x, y 1)), x, y > 0. Beh.: a(1, y) = y + 2 Bew. durch Induktion über y: a(1, 0) = a(0, 1) = 2 = 0+2. a(1, y + 1) = a(0, a(1, y)) = I.V. a(0, y + 2) = y + 3 = (y + 1)+2. Beh.: a(2, y) = 2y + 3 Bew. durch Induktion über y: a(2, 0) = a(1, 1) = s.o. 3 = a(2, y + 1) = a(1, a(2, y)) = I.V. a(1, 2y + 3) = s.o. 2y + 5 = 2(y + 1)+3. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 63 / 309

2 Lemma 1.20 a ist eine totale Funktion, d.h. a(x, y) ist für alle x, y N definiert. Beweis durch Induktion über x: x = 0 : a(0, y) = y + 1 x 1 x : a(x, y) = a(x 1, a(x, y 1)) = a(x 1, a(x 1, a(x, y 2))) =... = a(x 1,...,a(x 1, a(x, 0))...) = a(x 1,...,a(x 1, a(x 1, 1))...) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 64 / 309

3 Lemma 1.21 (a) y < a(x, y). (b) a(x, y) < a(x, y + 1). (c) a(x, y + 1) a(x + 1, y). (d) a(x, y) < a(x + 1, y). (b)+(d): x x y y : a(x, y) a(x, y ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 65 / 309

4 Beweis von (a) durch Induktion über x: I.A.: x = 0 : a(0, y) = y + 1 > y. I.V.: a(x, y) > y für alle y. I.B.: a(x + 1, y) > y für alle y. I.S: Induktion über y: I.A.: y = 0: a(x + 1, 0) = a(x, 1) > I.V. x 1 > 0. I.V.: a(x + 1, y) > y für ein y 0. I.B.: a(x + 1, y + 1) > y + 1. I.S: a(x + 1, y + 1) = a(x, a(x + 1, y)) > I.V. x a(x + 1, y) > I.V. y y, d.h., a(x + 1, y + 1) > y + 1. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 66 / 309

5 Die Funktion f P : N N für ein LOOP-Programm P Sei P ein LOOP-Programm mit den Variablen x 0, x 1,...,x k. Seien n 0, n 1,...,n k die Startwerte für diese Variablen, und seien n 0, n 1,...,n k die Endwerte für diese Variablen. Definiere: f P : N N : f P (n) = max{ i 0 n i i 0 n i n}. Lemma 1.22 Für jedes LOOP-Programm P gibt es eine Konstante k, sodass für alle n folgendes gilt: f P (n) < a(k, n). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 67 / 309

6 Beweis Induktion über den Aufbau von P: (i) x i := x j ± 1 f P (n) 2n+1 < a(2, n), d.h. k = 2. (ii) P 1 ; P 2 I.V.: f P1 (n) < a(k 1, n), f P2 (n) < a(k 2, n). Wähle k 3 := max{k 1 1, k 2 }. Dann : f P (n) f P2 (f P1 (n)) < a(k 2, a(k 1, n)) a(k 3, a(k 3 + 1, n)) = a(k 3 + 1, n+1) a(k 3 + 2, n), d.h. k = k Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 68 / 309

7 (iii) LOOP x i DO Q END I.V.: f Q (n) < a(k 1, n). O.B.d.A.: x i kommt in Q nicht vor. f P (n) = max{ n j n j n} j 0 j 0 Sei m n der Wert von x i bei dem annimmt. m = 0 : f P (n) = n < a(0, n). m = 1 : f P (n) f Q (n) < a(k 1, n). j 0 n j den maximalen Wert Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 69 / 309

8 m 2 : f P (n) f Q (f Q (...(f }{{ Q (n m))...))+m. } m-mal < a(k 1, f Q (f Q (...(f }{{ Q (n m))...)))+m } (m 1)-mal. < a(k 1, a(k 1,...,a(k }{{ 1, n m)...))+m } m-mal f P (n) a(k 1, a(k 1,...,a(k 1, n m)...)) < a(k 1,...a(k }{{ 1, a(k } 1 + 1, n m)...)) (m 1)-mal = a(k 1 + 1, n 1) < a(k 1 + 1, n), d.h. k = k Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 70 / 309

9 Satz 1.23 Die Ackermannfunktion ist nicht LOOP-berechenbar, d.h. sie ist nicht primitiv rekursiv. Beweis (Indirekt): Sei P ein LOOP-Programm, das g(n) := a(n, n) berechnet. Dann gilt g(n) f P (n). Es gibt eine Konstante k mit: n 0 : f P (n) < a(k, n), d.h. g(k) f P (k) < a(k, k) = g(k) Widerspruch! Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 71 / 309

10 Satz 1.24 Die Ackermannfunktion ist eine totale, WHILE-berechenbare Funktion, die nicht LOOP-berechenbar ist. Beweis: Vorüberlegung 1 Gleichungen Rechenregeln a(0, y) = y + 1 (0, y) y + 1 a(x + 1, 0) = a(x, 1) (x + 1, 0) (x, 1) a(x + 1, y + 1) = a(x, a(x + 1, y)) (x + 1, y + 1) (x, x + 1, y) Beispiel: a(2, 1) = a(1, a(2, 0)) = a(1, a(1, 1)) = a(1, a(0, a(1, 0))) =... (2, 1) (1, 2, 0) (1, 1, 1) (1, 0, 1, 0) (1, 0, 0, 1) (1, 0, 2) (1, 3) (0, 1, 2) (0, 0, 1, 1) (0, 0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 0, 1) 4 5 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 72 / 309

11 Beweis: Vorüberlegung 2 Folgende Operationen müssen realisiert werden: 1 Speichere Folge (x 1,...,x r 1, x r ) von natürlichen Zahlen. 2 Teste, ob Folge die Länge r = 1 hat. 3 Bestimme (und entferne) das letzte Element der Folge. 4 Füge eine Zahl an die Folge an. Hierzu verwenden wir die Speicherstruktur Stack (oder Keller). Ein Stack speichert eine Folge von Elementen (z.b. Zahlen), wobei nur folgende Operationen erlaubt sind: - Initialisieren: Ein leerer Stack wird bereitgestellt. - Test: Ist der Stack leer? - Push: Ein Element auf den Stack legen. - Pop: Das oberste Element des Stacks lesen und vom Stack entfernen. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 73 / 309

12 Beweis von Satz 1.24: Noch z.z.: a(x, y) ist WHILE-berechenbar. 1. Schritt: Ein Programm, das a(x, y) mit Hilfe eines Stacks berechnet: INIT(st) : Stack st initialisieren size(st) : Anzahl der Elemente im Stack st bestimmen PUSH(x, st) : x auf den Stack st legen y := POP(st) : oberstes Element vom Stack st entfernen und an y übergeben Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 74 / 309

13 Ein STACK-Programm zur Berechnung von a(x, y) INPUT(x, y); INIT(stack); PUSH(x,stack); PUSH(y,stack); WHILE size(stack) 1 DO y := POP(stack); x := POP(stack); IF x = 0 THEN PUSH(y + 1,stack) ELSE IF y = 0 THEN PUSH(x 1,stack); PUSH(1,stack) ELSE PUSH(x 1,stack); PUSH(x,stack); PUSH(y 1,stack) END{IF} END{WHILE} result := POP(stack); OUTPUT(result). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 75 / 309

14 Realisierung der Stack-Operationen Sei (n 1, n 2,...,n k ) der aktuelle Stackinhalt. n := c(n k + 1, c(n k 1 + 1,...,c(n 2 + 1, c(n 1 + 1, 0))...)) die Kodierung des Stackinhalts. Operation INIT(stack) n := 0 Realisierung PUSH(a,stack) n := c(a+1, n) y := POP(stack) y := e(n) 1; n := f(n) size(stack) 1 f(n) 0 Also ist a(x, y) WHILE-berechenbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 76 / 309

15 Übersicht GOTO WHILE µ-rekursiv LOOP prim. rekursiv Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 77 / 309