LOOP-Programme 1. Def (Meyer/Ritchie). LOOP-Programme werden induktiv aufgebaut aus den (Basis-) Anweisungen. Führe P X-mal aus ) LOOP-Programme 2

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1 LOOP-Programme 1 LOOP-Programme verwenden (jeweils) endlich viele Variablen aus VAR := {X 0,X 1,X 2,...}, oft nur mit X,Y,Z,U,V,W bezeichnet, die als Register fungieren. Slide 1 Def (Meyer/Ritchie). LOOP-Programme werden induktiv aufgebaut aus den (Basis-) Anweisungen mittels X :=Y Weise X den Wert von Y zu X :=X +1 Erhöhe X um 1 X := 0 Setze X auf Null Anweisungsfolgen P 1 ; P 2 FOR-Schleifen LOOPX [P]. (lies Führe P X-mal aus ) LOOP-Programme 2 Def. Eine Umgebung (ENV) ist eine Abbildung ϕ: VAR N. Die denotationale Semantik von LOOP-Programmen ist eine Abbildung [ ]: LOOP-Programme (ENV ENV) Slide 2 und ist rekursiv über den Aufbau von LOOP-Programmen definiert: { ϕ(x [X i = X j ](ϕ)(x k ) := j ) falls k = i ϕ(x k ) sonst [X i :=X i +1](ϕ)(X k ) := analog [X i = 0](ϕ)(X k ) := analog [P 1 ; P 2 ](ϕ) := [P 2 ]([P 1 ](ϕ)) [LOOP X i [P]](ϕ) := [P] ϕ(xi) (ϕ) Bem. [P](ϕ) hängt nur von ϕ auf den Variablen var(p) von P ab.

2 LOOP-Programme 3 Def. Ein LOOP-Programm P berechnet eine Funktion f : N n N, falls für gewisse Input Register X i1,...,x il und Output-Register O gilt: (x 1,...,x n ) N n : {X i1 =x i1,...,x il =x il } P {O=f(x 1,..., x n )} Slide 3 Kurzform: { X= x} P {O=f( x)} Bsp. 1. PRED(Z) berechnet z. 1:=max(z 1, 0) via verzögerter Addition: PRED(Z) : L = Z; U = 0; Z = 0; LOOPL [Z = U; U :=U+1] Leicht: {Z,U = z, u} body m {Z = u + (m. 1),U = u + m} = {Z = z} PRED(Z) {Z = z. 1} 2. SUB(Y;X) : LOOPY [PRED(X)] berechnet x. y:=max(x y, 0) in X. LOOP-Programme 4 3. Implementierung des Konditionals if X Y [Q] (Kontrollstruktur). Für ein beliebiges LOOP-Programm Q implementiere if X Y [Q] mit neuen Hilfsregistern U,V wie folgt: Slide 4 if X Y [Q] : V = X; SUB(Y;V); U = 0; U :=U+1; SUB(V;U); LOOPU [Q] Korrektheit: Nach Ausführung von if X Y [Q] gilt V=X. Y und somit: V = 0 X Y U = 1 V = 0 Also gilt: Q wird ausgeführt (genau einmal) X Y.

3 Die primitiv rekursiven Funktionen 1 Def. f : N k N heißt durch Einsetzung aus h: N m N und g 1,..., g m : N k N definiert, in Zeichen f :=E(h, g 1,..., g m ), falls gilt: f( x) = h(g 1 ( x),..., g m ( x)) Slide 5 Def. f : N k+1 N heißt durch primitive Rekursion aus g: N k N und h: N k+2 N definiert, in Zeichen f := R(g, h), falls f die folgenden Rekursionsgleichungen erfüllt (für alle x, y): f( x, 0) = g( x) f( x, y + 1) = h( x, y, f( x, y)) In f( x, y) heißen x die Parameter und y das Rekursionsargument; ferner heißt f( x, y) der Vorgängerwert von f( x, y + 1). Die primitiv rekursiven Funktionen 2 Bem. Maximales Ausfalten der Rekursionsgleichungen ergibt: f( x, y)=h( x, y 1, h( x, y 2,..., h( x, 0, g( x))...)) für f =R(g, h) Slide 6 Def. Die Menge PR der primitiv rekursiven Funktionen ist die kleinste Menge zahlentheoretischer Funktionen, die folgende Basisfunktionen enthält die Null 0 als 0-stellige Funktion aufgefaßt den Successor S: N N mit S(x) = x + 1 alle Projektionen Π m i : N m N mit Π m i ( x) = x i für 1 i m und abgeschlossen ist unter Einsetzung und primitiver Rekursion. Bem. Mittels Projektionen und Einsetzung kann man Funktionen in jedem Parameter durch primitive Rekursion definieren.

4 Die primitiv rekursiven Funktionen 3 Bem. Jede natürliche Zahl a kann als 0-stellige Funktion C 0 a aufgefaßt werden, die mittels Einsetzung aus der Null definiert werden kann. Damit gewinnt man jede n-stellige konstante Funktion C n a Slide 7 mittels Einsetzung aus C 0 a. C n a (x 1,...,x n ) := a Def (Einsetzungsschema). Für m, n N ist E m,n ein Funktional, das Funktionen h: N m N und Funktionenfolgen g 1,..., g m : N n N die Funktion E m,n (h, g 1,..., g m ): N n N zuordnet, wobei E m,n (h, g 1,..., g m )( x) := h(g 1 ( x),..., g m ( x)) Bem. Damit besitzt C n a für n 1 die Darstellung Cn a = E0,n (C 0 a, ()). Die primitiv rekursiven Funktionen 4 Bsp. 1. Die Fallunterscheidung C: N 3 N mit C(0, y, z):=y und C(x+1, y, z):=z besitzt die Rekursionsgleichungen : Slide 8 C(0, y, z) = y C(x+1, y, z) = z = Darstellung C=R(Π 2 1, h) mit h(u, y, z, v) := z = Π4 3 (u, y, z, v) 2. Der Predecessor P: N N mit P(x) = x. 1 besitzt die Rekursionsgleichungen : P(0) = 0 P(x+1) = x = Darstellung P= R(C0 0, h) mit h(u, v) := u = Π2 1 (u, v)

5 Die primitiv rekursiven Funktionen 5 3. Die Addition add: N 2 N besitzt die Rekursionsgleichungen : add(x, 0) = x add(x, y+1) = S(add(x, y)) Slide 9 = add = R(Π 1 1, h) mit h(x, u, v) := S(v) = E 1,3 (S, Π 3 3)(x, u, v)) 4. Die abgeschnittene Subtraktion. : N 2 N, x. y = max(x y, 0) besitzt die Rekursionsgleichungen : x. 0 = x x. (y+1) = P(x. y) = Darstellung. = R(Π 1 1, E 1,3 (P, Π 3 3)) Die primitiv rekursiven Funktionen 6 5. Die Multiplikation mult: N 2 N hat die Rekursionsgleichungen : mult(x, 0) = 0 mult(x, y + 1) = mult(x, y) + x Slide 10 = mult=r(c0 1, h), h(x, u, v) := v+x = E2,3 (add, Π 3 3, Π3 1 )(x, u, v)). 6. Die Exponentiation exp: N 2 N, exp(x, y) = x y besitzt die Rekursionsgleichungen : exp(x, 0) = 1 exp(x, y + 1) = exp(x, y) x = Darstellung exp = R(C 1 1, E 2,3 (mult, Π 3 3, Π 3 1)).

6 Die primitiv rekursiven Funktionen 7 Slide 11 Def. f : N n N ist explizit definierbar aus Funktionen g 1,..., g m, falls es einen (wohlgeformten) Ausdruck E mit Symbolen unter g 1,..., g m, x 1,...,x n gibt, so daß für alle a = a 1,..., a n N gilt: f( a) = I(E)( a) Notation: f( x) = E. Dabei ist die Interpretation von E als Funktion I(E): N n N induktiv über den Aufbau von Ausdrücken mit Symbolen unter g 1,...,g m, x 1,..., x n definiert: I(x i ) = Π n i I(g i (E 1,..., E mi )) = E mi,n (g i, I(E 1 ),..., I(E mi )) Bsp. f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + (x 1 x x2 3 )). (x 2 x 3 ) Lemma. f ist explizit definierbar aus g 1,...,g m f ist mittels Einsetzung aus g 1,...,g m und Projektionen definierbar. Die primitiv rekursiven Funktionen 8 Folg (Praktischer Umgang). Für die Existenz einer Darstellung f = E m,k (h, g 1,...,g m ) in PR genügt die Angabe einer expliziten Definition f =E aus Fktn. in PR. Slide 12 Für die Existenz einer Darstellung f =R(g, h) in PR genügt die Angabe von Rekursionsgleichungen für f in der Form f( x, 0) = E b f( x, y + 1) = E s wobei E b ein Ausdruck in x und Symbolen g 1,...,g b PR ist, und E s ein Ausdruck in x, y und Symbolen h 1,...,h s PR sowie in f( x, y). Dann ist g = I(E b ) und h = I(E s), wobei E s aus E s entsteht, indem man alle Vorkommen von f( x, y) durch eine neue Variable v ersetzt.

7 PR und LOOP-Programme 1 Lemma (PR LOOP). f PR LOOP-Programm P[f]: { X= x}p[f] { X= x, O=f( x)} Slide 13 Beweis. Induktion über den Aufbau von PR. f ist Basisfunktion. P[0] : O:= 0 P[S] : O:=X 1 ; O :=O+1 P[Π n i ] : O:=X i f =E(h, g 1,...,g m ) Die I.V. liefert P[h],P[g 1 ],...,P[g m ] mit: { X= x}p[g i ] { X= x, O i =g i ( x)} für i = 1,..., m { O= y}p[h] { O= y, O=h( y)} O.E. seien O verschieden und var(p[g i ]) var(p[g j ]) X für i j. P[f] : P[g 1 ];...; P[g m ]; P[h] PR und LOOP-Programme 2 f = R(g, h). Also erfüllt f die Rekursionsgleichungen f( x, 0)=g( x) und f( x, y + 1)=h( x, y, f( x, y)). Slide 14 Idee: Es gilt f( x, y)=h( x, y 1, h( x, y 2,..., h( x, 0, g( x))...)). Also muß f( x, y) von innen nach außen berechnet werden. Die I.V. liefert LOOP-Programme P[g],P[h] mit: { X= x}p[g] { X= x, O=g( x)} { X,U,V= x, u, v}p[h] { X,U,V= x, u, v, O=h( x, u, v)} O.E. haben P[g],P[h] nur die Variablen X, O gemeinsam. Damit setze P[f] : P[g]; U:=0; LOOPY [V :=O; P[h]; U :=U +1].

8 Die Grzegorcyk-Hierarchie 1 Slide 15 A. Grzegorczyk (1953) definierte eine Schichtung von PR in eine Hierarchie E 0 E 1 E 2... mit E n = PR. n 0 Def. Die Klasse E n ist die kleinste Klasse zahlenth. Funktionen, die die Basisfunktionen 0, S, alle Projektionen Π m i und A n enthält und abgeschlossen ist unter Einsetzung und beschränkter primitiver Rekursion. Def. f : N k+1 N heißt durch beschränkte primitive Rekursion aus g: N k N, h: N k+2 N und b: N k+1 N definiert, in Zeichen f := BR(g, h, b), falls f = PR(g, h) und f b (punktweise) gilt. Idee: Eine Definition f =PR(g, h) in E n mit g, h E n ist so lange erlaubt wie f b für eine bereits definierte Fkt. b E n sichergestellt ist. Für E n E n+1 sorgen die immer schneller wachsenden Funktionen A n. Die Grzegorcyk-Hierarchie 2 Slide 16 Def. Der n-te Ackermannsche Zweig A n : N 2 N ist induktiv wie folgt definiert: A 0 (x, y) = y+1 x falls n = 0 A n+1 (x, 0) = 0 falls n = 1 1 sonst A n+1 (x, y + 1) = A n (x, A n+1 (x, y)) Bem. A 1 =add, A 2 =mult, A 3 =exp, A 4 (x, y) = x y mit x 0 := 1 und x l+1 := x x l, und so weiter. Satz (Wachstum). Zu jedem f E n, n 0, findet man eine Konstante c f, so daß stets gilt: f( x) A n+1 (max(2, x), c f ) Bem. A n+1 (x, c) = A n (x, A n (x,..., A n (x, 0)...)), c+1 Vorkommen von A n, ist eine Funktion in E n. = A n ist die Hauptfunktion in E n.

9 LOOP-Programme und PR 1 Ziel: Jede LOOP-berechenbare Funktion ist primitiv rekursiv. Benötigen: Tupel-Kodierung und Dekodierung sowie Abschluß von PR (bzw. E n, n 2) unter simultaner beschränkter Rekursion Slide 17 Lemma (Paarkodierung). Die Paarkodierung π: N N N π(x, y):=( i x+y i) + y ist eine Bijektion und besitzt die folgenden Dekodierungsfunktionen π 0, π 1 : N N: π 0 (z) := µ x z [ y z: π(x, y) = z] π 1 (z) := µ y z [ x z: π(x, y) = z] Projektion auf x Projektion auf y d.h. es gilt π(π 0 (n), π 1 (n))=n und π i (π(x 0, x 1 ))=x i. Ferner ist π monoton wachsend und es gilt x, y π(x, y) sowie π, π 0, π 1 E 2. LOOP-Programme und PR 2 Folg (Tupel-Kodierung und Dekodierung). Zu jedem m 1 findet man eine m-tupel-kodierung π m : N m N und Dekodierungen π m 1,..., π m m : N N, so daß gilt: Slide 18 (a) π m ist eine monoton wachsende Bijektion mit x i π m (x 1,..., x m ) und π m, π m 1,...,π m m E 2. (b) π m (π m 1 (z),...,π m m(z)) = z und π m i (πm (x 1,...,x m )) = x i (c) Für n 2 ist E n abgeschlossen unter simultaner beschränkter Rekursion, d.h. sind g: N k N und h: N k+1+m N sowie b: N k+1 N Funktionen in E n, so auch f 1,..., f m : N k+1 N mit f 1 b 1,..., f m b m und den folgenden Rekursionsgleichungen: f i ( x, 0) = g i ( x) f i ( x, y+1) = h i ( x, y, f 1 ( x, y),..., f m ( x, y)) (i = 1,...,m)

10 LOOP-Programme und PR 3 Beweis. Übung bis auf (c). Seien f 1,..., f m durch simultane beschränkte Rekursion aus g, h, b E n definiert, wobei n 2. Idee: Wir definieren durch beschränkte Rekursion in E n die Funktion Slide 19 f( x, y) = π m (f 1 ( x, y),..., f m ( x, y)) Nach (b) gilt f i ( x, y)=π m i (f( x, y)) und somit f 1,..., f m E n nach (a). Nach (a), (b) erfüllt f die folg. beschränkten Rekursionsgleichungen: f( x, 0) = π m (g 1 ( x),..., g m ( x)) f( x, y+1) = π m (h 1 ( x, y, T 1,...,T m ),..., h m ( x, y, T 1,..., T m )) f( x, y) π m (b 1 ( x, y),..., b m ( x, y)) wobei T i := πi m (f( x, y)) für i=1,..., n. Mittels Folg. (Praktischer Umgang) erhält man hieraus eine Darstellung f = BR(g, h, b) in E n. LOOP-Programme und PR 4 Lemma (LOOP PR). Jede durch ein LOOP-Programm berechnete Funktion ist primitiv rekursiv. Slide 20 Beweis. Wir zeigen durch Induktion über den Aufbau, daß man zu jedem LOOP-Programmen P mit var(p) X := X 1,...,X n eine Funktion f P : N n N in PR findet, so daß gilt: { X = x} P { X = y} f P ( x) = π n ( y) P ist Basisanweisung Dann setze π n (x 1,...,x i 1, x j, x i+1,...,x n ) falls P X i = X j f P ( x) := π n (x 1,...,x i 1, x i +1, x i+1,...,x n ) falls P X i = X i +1 π n (x 1,...,x i 1, 0, x i+1,...,x n ) falls P X i = 0. P P 1 ; P 2 Dann setze f P ( x) := f P2 (π n 1 (f P1 ( x)),...,π n n(f P1 ( x))).

11 LOOP-Programme und PR 5 Slide 21 P LOOPX i [Q] Idee: Nach I.V. liefert f Q ( x) den Code der Inhalte von X nach einer Runde von Q bzgl. Belegung x. Wir definieren daher durch primitive Rekursion eine Funktion it Q, so daß it Q( x, y) den Code der Inhalte von X nach y Runden von Q bzgl. initialer Belegung x liefert. Dann setze f P ( x) := it Q( x, x i ). Offenbar besitzt it Q die folgenden Rekursionsgleichungen: it Q( x, 0) = π n ( x) it Q( x, y+1) = f Q (π1 n (it Q( x, y)),..., πn n (it Q( x, y))) Nach I.V. gilt it Q PR und somit f P PR wie gewünscht.