Lösungsvorschläge zu Blatt Nr. 6

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1 Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme Dr. Jörn Müller-Quade Carmen Kempka Christian Henrich Nico Döttling Vorlesung Informatik III Lösungsvorschläge zu Blatt Nr. 6 Aufgabe 1 (K) (4 Punkte) i.) Beweisen Sie, dass es while-programme mit nur einer Variablen gibt, für die kein äquivalentes while-programm existiert, das keine while-schleife enthält. Bemerkung: Es kusiert evtl. eine Version des Blattes, wo statt nur einer Variable höchstens zwei Variablen steht. Was mit einer Variablen geht, geht mit 2 Variablen natürlich auch. Unten sind aber trotzdem Gegenbeispiele für beides angegeben. Lösungsidee: while-programme ohne while-schleife terminieren immer, weil sie ja ohne while keine Endlosschleife enthalten können. Zum Beweis kann man also ein while-programm mit einer (bzw. höchstens 2) Variablen angeben, das nicht terminiert. Bemerkung: Bei unserer Definition von while-programmen gibt es Programme mit nur einer Variablen, die man als Gegenbeispiel verwen kann. In der Literatur existieren allerdings auch Definitionen von while-programmen, die genauso mächtig sind, wie unsere"while-programme, für die man aber mindestens 2 Variablen braucht, um eine Endlosschleife zu erzeugen, weil Schleifenbedingungen die Form x 1 x 2 haben müssen, wobeix 1 undx 2 Variablen sind. Deshalb war diese Aufgabe ursprünglich etwas lockerer formuliert mit höchstens 2 Variablen. Mögliche Gegenbeispiele wären: Beispiele mit nur einer Variablen: x 0 := 0; whilex 0 = 0 do oder x 0 := 1; whilex 0 0 do Beispiele mit 2 Variablen: x 0 := 0;x 1 := 1; whilex 0 x 1 do oder x 0 := 0;x 1 := 0; whilex 0 =x 1 do Der Beweis würde also so aussehen: Betrachte folges while-programm: Hier muss ein while-programm stehen, das nicht terminiert, z.b. eins der oben genannten Beispiele. i

2 Dieses Programm terminiert nicht. Programme ohne while-schleife bestehen jedoch nur aus einer lichen Folge von Zuweisungen (und wenn man die Erweiterungen auch betrachtet if-then-else-anweisungen). Solche Programme terminieren immer. Deshalb lässt sich oben stehes while-programm, das nicht terminiert, nicht in ein Äquivalentes while-programm ohne while-schleife umwandeln. ii.) Geben sei das folge while-programm: a := 0;b := 0; whilez 0 do a :=a + 1; z :=x (a 2 +b 2 ) ifa 2 +b 2 =x theny:= 1 elseb :=b + 1;a := 0;z := 1 Welche Funktion berechnet das angegebene while-programm? Geben Sie ein äquivalentes while-programm an, da nur eine einzige while-schleife enthält. Hinweis: Die bereits im Programm verweten Makros dürfen für das neue Programm ebenfalls verwet werden und zählen nicht als while-schleifen. Lösungsvorschlag: Das while-programm (a,b):=squaresum(x) berechnet die Funktion { { minb (a,b) a,b N0 :a squaresum(x) = 2 +b 2 =x,a b }, fallsx>0 a,b N 0 :a 2 +b 2 =x, sonst wobei das Tupel (a,b) zurückgegeben wird, bei dembminimal ist. Umwandlung in ein goto-programm: 1: a := 0 2: b := 0 3: y := 0 4: z := 1 5: ify 0 goto 17 6: ifz = 0 goto 10 7: a :=a + 1; 8: z :=x (a 2 +b 2 ) 9: goto 6 10: ifa 2 +b 2 x goto 13 11: y := 1 12: goto 16 13: b :=b : a := 0 15: z := 1 16: goto 5 17: stop Umwandlung des goto-programms in ein while-programm mit einer while-schleife:, ii

3 k := 1; whilek 0 ifk = 1 thena := 0;k :=k+ 1 ; ifk = 2 thenb := 0;k :=k+ 1 ; ifk = 3 theny:= 0;k :=k+ 1 ; ifk = 4 thenz:= 1;k :=k+ 1 ; ifk = 5 then ify 0 thenk:= 17 ; ifk = 6 then ifz = 0 thenk:= 10 ; ifk = 7 thena :=a + 1;k :=k+ 1 ; ifk = 8 thenz:=x (a 2 +b 2 );k :=k+ 1 ; ifk = 9 thenk:= 6 ; ifk = 10 then ifa 2 +b 2 x thenk:= 13 ; ifk = 11 theny:= 1;k :=k+ 1 ; ifk = 12 thenk:= 16 ; ifk = 13 thenb :=b + 1;k :=k+ 1 ; ifk = 14 thena := 0;k :=k+ 1 ; ifk = 15 thenz:= 1;k :=k+ 1 ; ifk = 16 thenk:= 5 ; ifk = 17 thenk:= 0 Man kann das ursprüngliche while-programm durch scharfes Hinschauen in ein äquivalentes while-programm mit nur einer while-schleife überführen: a := 1;b := 0; z :=x (a 2 +b 2 ) ifz 0 thena :=a + 1 else ifa 2 +b 2 =x theny:= 1 elseb :=b + 1;a := 1 Alte Version der Aufgabe: Geben sei das folge while-programm. a := 0;b := 0; whilez 0 do a :=a + 1; z :=x (a 2 +b 2 ) ifa 2 +b 2 =x theny:= 1 elseb :=b + 1;a := 0 Welche Funktion berechnet das angegebene while-programm? Geben Sie ein äquivalentes while-programm an, da nur eine einzige while-schleife enthält. Hinweis: Die bereits im Programm verweten Makros dürfen für das neue Programm iii

4 ebenfalls verwet werden und zählen nicht als while-schleifen. Lösungsvorschlag: Das while-programm (a,b):=squaresum(x) berechnet die Funktion squaresum(x) = { (a, 0), falls a N0 :a 2 =x, sonst. Umwandlung in ein goto-programm: 1: a := 0 2: b := 0 3: y := 0 4: z := 1 5: ify 0 goto 16 6: ifz = 0 goto 10 7: a :=a + 1; 8: z :=x (a 2 +b 2 ) 9: goto 6 10: ifa 2 +b 2 x goto 13 11: y := 1 12: goto 15 13: b :=b : a := 0 15: goto 5 16: Umwandlung des goto-programms in ein while-programm mit einer while-schleife: k := 1; whilek 0 ifk = 1 thena := 0;k :=k+ 1 ; ifk = 2 thenb := 0;k :=k+ 1 ; ifk = 3 theny:= 0;k :=k+ 1 ; ifk = 4 thenz:= 1;k :=k+ 1 ; ifk = 5 then ify 0 thenk:= 16 ; ifk = 6 then ifz = 0 thenk:= 10 ; ifk = 7 thena :=a + 1;k :=k+ 1 ; ifk = 8 thenz:=x (a 2 +b 2 );k :=k+ 1 ; ifk = 9 thenk:= 6 ; ifk = 10 then ifa 2 +b 2 x thenk:= 13 ; ifk = 11 theny:= 1;k :=k+ 1 ; ifk = 12 thenk:= 15 ; ifk = 13 thenb :=b + 1;k :=k+ 1 ; ifk = 14 thena := 0;k :=k+ 1 ; ifk = 15 thenk:= 5 ; ifk = 16 thenk:= 0 Man kann das ursprüngliche while-programm durch scharfes Hinschauen in ein äquivalentes while-programm mit nur einer while-schleife überführen: iv

5 a := 1;b := 0; z :=x a 2 ifz 0 thena :=a + 1 else ifa 2 +b 2 =x theny:= 1 elseb :=b + 1;a := 1 Aufgabe 2 (K) (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die Funktionf : N 0 N 0 mit { 1, fallsφx 1 f(x) = 0, sonst nicht berechenbar ist, wobeiφ x die von dem While-ProgrammP x berechnete Funktion bezeichnet. Lösungsidee: Bemerkung: Wir nutzen die gängige Methode zum Zeigen, dass eine Funktion nicht berechenbar ist, nämlich zeigen wir, dass ein Algorithmus, der f berechnen könnte, auch das Halteproblem lösen würde. EDIT: Eine frühere Version des Beweises war etwas mißverständlich (weil unvollständig ausformuliert). Es reicht natürlich nicht, zu zeigen, dass f halt(n) für ein bestimmtes n berechnen kann. Man muss zeigen, dass f für jede Eingabe x halt(x) berechnen könnte. Und hier ist der Beweis, dassf nicht berechenbar ist: Angenommen,f sei berechenbar. Dann gibt es ein while-programmp n, dassf berechnet. Dieses ProgrammP n liefert für jede Eingabex N eine 1 als Ausgabe, wennφ x 1, und 0 sonst. Konstruiere daraus das ProgrammP n wie folgt: x 1 :=n;p n x 1 := 1; P n setzt also zuerst die Variablex 1 aufnund gibt damitp n seinen eigenen Index als Eingabe. Danach führt esp n aus, und dann hält es mit Ausgabe 1 (Anweisungx 1 := 1 am Ende), aber natürlich nur, fallsp n terminiert. D.h.P n hält genau dann mit Ausgabe 1, wennp n bei Eingabenhält. Es gilt alsoφ n 1 φ n (n). D.h. es ex. eine totale berechenbare Funktiong mitg(n) =n (man kann ja ausp n P n basteln). Die Funktion g kann man sich also vorstellen als eine Programmtransformation, die ein beliebiges ProgrammP x auf das Programmx 1 :=x;p x x 1 := 1; abbildet. Wir nennen das transformierte ProgrammP g(x). Es gilt:p g(x) liefert genau dann die Ausgabe 1, wennp x bei Eingabe vonxhält. So können wir nunf benutzen um zu testen, ob ein ProgrammP x bei Eingabe seines Indexes hält: Wir testen einfach mitf, ob das transformierte ProgrammP g(x) immer eine 1 ausgibt, also obφ g(x) 1. Es gilt: f(g(x)) = 1, fallsφ g(x) 1, und 0 sonst. Daraus folgt, dass v

6 f(g(x)) = 1, fallsφ x (x), und 0 sonst. Die Funktionf könnte somithalt(x) berechnen. Dies ist ein Widerspruch dazu, dasshalt nicht berechenbar ist, damit kann f nicht berechenbar sein. Bemerkung: Mitlerweile seid ihr in der Vorlesung auf einem Stand, in dem ihr das ganze auch anders und viel einfacher beweisen könntet: die Funktionf ist genau die charakteristische Funktion der Menge{x N ϕ x 1}. Von dieser Menge lässt sich ganz leicht mit dem Satz von Rice zeigen, dass sie nicht entscheidbar ist (wie?). Damit kann auch ihre charakteristische Funktion f nicht berechenbar sein. vi