Datenstrukturen und Algorithmen

Transkript

1 Datenstrukturen und Algorithmen VO D&A: 1. Einführung 1

2 Organisatorisches VO ( ) & UE ( ) bei beiden extra anmelden, zwei Zeugnisse Vortragende: VO: Robert Legenstein UE: Gernot Griesbacher Homepage: Newsgroup: tu-graz.lv.datenalgo D&A: 1. Einführung 2

3 Ablauf der VO Do. 11:15 12:45 Folien und Hilfsblätter werden online gestellt (Inoffizielles) Skriptum im CopyShop- Infelldgasse erhältlich Homepage: Literatur, Java Applets D&A: 1. Einführung 3

4 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden 5. Suchen in linearen Feldern 6. Bäume D&A: 1. Einführung 4

5 Kapitel 1 Einführung und Grundlagen D&A: 1. Einführung [email protected] 5

6 1. Einführung und Grundlagen Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Grundlagen Was ist ein Algorithmus? Was ist eine Datenstruktur? Beispiele: Einfache Sortieralgorithmen InsertionSort Asymptotische Schranken zur Laufzeitanalyse Elementare Datenstrukturen D&A: 1. Einführung 6

7 Warum Datenstrukturen und Algorithmen? D&A ist eine Kernkompetenz jedes Informatikers (Softwareentwicklers, Telematikers, ) Informatik = Computer Science Die Wissenschaft des (automatisierten) Rechnens. Man rechnet mit Algorithmen. Flut an Daten, z.b. Videos im Internet, sollen "effizient" verarbeitet werden. Algorithms are at the heart of every nontrivial computer application [K. Mehlhorn and P. Sanders] Online verfügbar, siehe HP D&A: 1. Einführung [email protected] 7

8 Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Algorithmendesign Programmieren Schrittweiser Prozess der Software-Entwicklung (Wasserfall-Modell, Royce 1970]: D&A: 1. Einführung 8

9 Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Algorithmendesign Programmieren Analysieren des Problems: was ist gegeben? was ist gesucht? welche Rahmenbedingungen? Abschätzen der grundsätzlichen Machbarkeit. D&A: 1. Einführung 9

10 Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Algorithmendesign Programmieren Entwickeln einer Lösungsidee: skizzieren der erforderlichen Schritte dies ist ein kreativer Prozess! aber: wir werden Tools (=Lösungsmethoden) kennenlernen D&A: 1. Einführung 10

11 Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Algorithmendesign Programmieren Transformieren der Lösungsidee: in eine algorithmische Form Ausformulieren der Lösungsidee in algorithmischer Form Dies ist noch kein Programm! D&A: 1. Einführung 11

12 Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Algorithmendesign & Analyse Wichtige Fragen der Analyse von Algorithmen: Wie schnell ist mein Algorithmus (Programm)? Wie kann ich ihn schneller machen? Wie kann ich beweisen, dass er immer so schnell läuft? Wie kann ich den maximalen Speicherverbrauch abschätzen bzw. reduzieren? Wie kann ich sicher sein dass mein Algorithmus korrekt ist? D&A: 1. Einführung 12

13 Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Warum sollten Sie D&A beherrschen? Weil Sie nicht nur programmieren wollen, sondern Probleme algorithmisch lösen. Weil Sie effiziente Lösungen für Probleme suchen. Weil Effiziente Algorithmen sehr mächtig sein können. Das Imperium basiert auf PageRank, einem Algorithmus zur Informationssuche im www. D&A: 1. Einführung 13

14 1. Einführung und Grundlagen Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Grundlagen Was ist ein Algorithmus? Was ist eine Datenstruktur? Beispiele: Einfache Sortieralgorithmen InsertionSort Asymptotische Schranken zur Laufzeitanalyse Elementare Datenstrukturen D&A: 1. Einführung 14

15 1. Einführung u. Grundlagen Was ist ein Algorithmus? Addition zweier Dezimalzahlen: D&A: 1. Einführung 15

16 1. Einführung u. Grundlagen Was ist ein Algorithmus? Bsp: Addition zweier n-stelliger Dezimalzahlen c = a + b Idee: Wir summieren die Stellen mit Übertrag Schritt 1: Summiere die niederwertigsten Stellen. Einerstelle des Ergebnisses ist Einerstelle von c. Behalte Zehnerstelle des Ergebnisses als Übertrag. Schritt 2 bis n: Summiere alle weiteren Stellen (i-te Stelle im i-ten Schritt) zusammen mit dem Übertrag Einerstelle des Ergebnisses ist i-te Stelle von c. Behalte Zehnerstelle des Ergebnisses als Übertrag. Schritt n+1: Falls Übertrag vorhanden, stelle ihn an die höchstwertige Stelle von c. D&A: 1. Einführung [email protected] 16

17 1. Einführung u. Grundlagen Definition von Algorithmen Genaue Definition schwierig Ein Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung eines Problems (im Unterschied zu seiner Implementation!) Grobe Definition: Ein Algorithmus ist eine endliche Folge von Anweisungen, die die Lösung eines bestimmten Problems erlaubt. Jede Anweisung hat eine klare Bedeutung und kann mit endlichem Aufwand und in endlicher Zeit ausgeführt werden. D&A: 1. Einführung 17

18 1. Einführung u. Grundlagen Was ist eine Datenstruktur? Bsp: Addition zweier n-stelliger Dezimalzahlen c = a + b Frage: Wie speichern wir die Zahlen a, b, c, wie greifen wir auf die Stellen zu? z.b.: Speichere a, b, c, jeweils in einem linearen Feld (Array) A, B, C, wobei A[i] die i-te Stelle der Zahl a ist A[1] A[2] A[3]. A[n-1] A[n] a = D&A: 1. Einführung [email protected] 18

19 Definition von Datenstrukturen Definition: Eine Datenstruktur ist eine bestimmte Art Daten zu verwalten und zu verknüpfen, damit man in geeigneter Art und Weise auf sie zugreifen und diese manipulieren kann. Datenstrukturen sind immer mit speziellen Operationen verbunden (z.b.: i-tes Element, Einfügen, Entfernen, Maximum, Nachfolger, ) Diese Operationen sind wiederum durch Algorithmen implementiert. D&A: 1. Einführung [email protected] 19

20 Interaktion Datenstrukturen Algorithmen

21 Datenstrukturen und Algorithmen können nicht getrennt voneinander betrachtet werden Algorithmen und Datenstrukturen gehen Hand in Hand Ein Algorithmus (Methode, Verfahren, Rezept) nimmt bestimmte Daten als Input und transformiert diese nach festen Regeln in einen Output Dabei greift der Algorithmus auf Daten zu, die in einer Datenstruktur organisiert sind D&A: 1. Einführung 21

22 1. Einführung u. Grundlagen Formulierung in Pseudocode Bsp: Addition zweier n-stelliger Dezimalzahlen c = a + b Idee: Wir summieren die Stellen mit Übertrag Sum(A,B): // Input: A: Array[1..n], B: Array[1..n], kodieren a,b // Output: C: Array[1..n+1], kodiert c = a+b 1: carry 0 2: FOR i 1 TO n 3: (res, carry) = FullAdd(A[i],B[i],carry) 4: C[i] res 5: C[n+1] carry 6: RETURN C D&A: 1. Einführung [email protected] 22

23 Analyse von Algorithmen Wir wollen Algorithmen und Datenstrukturen systematisch analysieren und vergleichen. Was ist ein guter Algorithmus? Er muss korrekt sein, d.h. das richtige Ergebnis für alle möglichen Inputinstanzen liefern. Er muss schnell sein. Er soll wenig Ressourcen (Zeit, Speicher, Bandbreite, CPUs, logische Gatter, ) benötigen. D&A: 1. Einführung [email protected] 23

24 1. Einführung u. Grundlagen Wie schnell ist unser Algorithmus? Bsp: Addition zweier n-stelliger Dezimalzahlen c = a + b Sum(A,B): // Input: A: Array[1..n], B: Array[1..n], kodieren a,b // Output: C: Array[1..n+1], kodiert c = a+b 1: carry 0 2: FOR i 1 TO n 3: (res, carry) = FullAdd(A[i],B[i],carry) 4: C[i] res 5: C[n+1] carry 6: RETURN C T(n) = d+k n (d,k sind Konstanten) D&A: 1. Einführung [email protected] 24

25 Wir wollen wissen wie viel Zeit (allg.: Ressourcen) der Algorithmus in Abhängigkeit der Inputgröße benötigt. Abstraktion des Algorithmus (und der Datenstruktur) (Unabhängig von der eigentlichen Implementierung Sprache, OS, Protokolle, Hardware etc.) Mathematische Werkzeuge: O-Notation, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, etc. D&A: 1. Einführung 25

26 Food For Thought Gibt es für jedes mathematisch beschreibbare Problem einen korrekten Algorithmus? Nein: Halteproblem [Alan Turing, 1936] Gibt es für jedes berechenbare Problem einen effizienten Algorithmus? Nein: Nichthandhabbare (intractable) Probleme NP-Vollständigkeit [Cook, 1972] D&A: 1. Einführung 26

27 1. Einführung und Grundlagen Warum Datenstrukturen und Algorithmen? Grundlagen Was ist ein Algorithmus? Was ist eine Datenstruktur? Beispiele: Einfache Sortieralgorithmen InsertionSort Asymptotische Schranken zur Laufzeitanalyse Elementare Datenstrukturen D&A: 1. Einführung 27

28 1 Annahmen Sortieren von Zahlenfolgen: Input: eine Sequenz von n Zahlen a, a2,, 1 Output: eine Permutation der Inputsequenz sodass a a 1 2 a n a n a, a2,, 1 a n Instanz des Sortierproblems: Input: 31,41,59,26,41,58 Output: 26,31,41,41,58, 59 Ein Algorithmus ist korrekt, wenn er für jede Instanz des Inputs einen korrekten Output liefert. D&A: 1. Einführung [email protected] 28

29 2 Formulierung (Idee) Sortieren durch Einfügen (InsertionSort) D&A: 1. Einführung 29

30 Formulierung: InsertionSort Arbeitet in n-1 (= Anzahl der Zahlen-1) Durchgängen Nach dem i-ten Durchgang sind die Zahlen 1..i+1 sortiert. Im i-ten Durchgang wird die (i+1)-te Zahl von links betrachtet und solange nach links verschoben bis sie in die Sortierung passt D&A: 1. Einführung 30

31 3 Pseudo Code Pseudo Code ist präziser als verbale Formulierungen allerdings nicht so präzise wie eine spezielle Implementierung (z.b. in Java oder C++). Viele Definitionen existieren. Wir verwenden eine Definition angelehnt an Java Code. Kommentare //Mein Kommentar Einrückungen Dienen zur Strukturierung der Anweisungen D&A: 1. Einführung 31

32 3 Pseudo Code Schleifen FOR <variable-increment-definition> <actions> REPEAT <actions> UNTIL <condition> WHILE <condition> DO <actions> D&A: 1. Einführung 32

33 3 Pseudo Code Bedingte Anweisung IF <condition> THEN <true-actions> [ELSE <false-actions>] Ein- und Ausgabe input <variable> (brauchen wir nicht) output <variable text> print <variable text> D&A: 1. Einführung 33

34 3 Pseudo Code Algorithmen Deklaration Algorithm name(param1, param2,...) : //Input: Beschreibung der Eingabevariablen //Output: Beschreibung der Ausgabevariablen... weitere Anweisungen... Rückgabewert: RETURN value D&A: 1. Einführung [email protected] 34

35 Lösungsvorschlag: InsertionSort Pseudocode: Input: lineares Feld A[1..n] Output: aufsteigend sortiertes lineares Feld A[1..n] InsertionSort(A, n) 1: FOR i = 2 TO n 2: h = A[i] 3: j = i - 1 4: WHILE j>0 AND h<a[j] DO 5: A[j+1] = A[j] 6: j = j - 1 7: A[j+1] = h 8: RETURN A D&A: 1. Einführung [email protected] 35

36 Zusammenfassung Design und Analyse von Algorithmen -> zentrales Thema in der Informatik Algorithmen und Datenstrukturen können nicht getrennt voneinander behandelt werden, Definitionen. Wir wollen wissen wie viel Zeit (allg.: Ressourcen) der Algorithmus in Abhängigkeit der Inputgröße benötigt. Analyse-Vorgehensweise: Annahme->Formulierung ->Pseudocode->Analyse D&A: 1. Einführung 36

37 Danke für Ihre Aufmerksamkeit D&A: 1. Einführung 37