Übung Algorithmen und Datenstrukturen

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1 Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2017 Marc Bux, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Agenda 1. Die Landau-Notation (Wiederholung und Vertiefung) 2. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 1 & 2 3. Pseudocodeanalyse 4. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 3 & 4 2

3 Agenda 1. Die Landau-Notation (Wiederholung und Vertiefung) 2. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 1 & 2 3. Pseudocodeanalyse 4. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 3 & 4 3

4 O-Notation (Wiederholung) Ο g = f: N R 0 c R + n 0 N n n 0 : f n c g(n) a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 : Wir definieren Ο(g) a 2 : als Menge aller Funktionen f, für die gilt: a 3 und a 4 : es existieren zwei Konstanten c und n 0, a 5 : sodass für alle Werte n ab n 0 gilt, dass a 6 : c g(n) obere Schranke für f(n) ist. c g(n) = obere Schranke f(n) n 0 4

5 Weitere Landau-Terme (Wiederholung) Definitionen: Ο g = f: N R 0 c R + n 0 N n n 0 : f n c g(n) Ω g = f: N R 0 c R + n 0 N n n 0 : f n c g(n) Θ g = f: N R 0 f Ο g f Ω g ο g = f: N R 0 c R + n 0 N n n 0 : f n < c g(n) ω g = f: N R 0 c R + n 0 N n n 0 : f n > c g(n) Bedeutung: g wächst... mindestens so schnell wie f (ist obere Schranke für f) höchstens so schnell wie f (ist untere Schranke für f) ungefähr genauso schnell wie f schneller als f langsamer als f 5

6 Zusammenhänge, Grenzwerte (Wiederholung) Zusammenhänge zwischen Ο, Ω, Θ, ο und ω Satz: f Ο g Satz: f ο g Satz: f ο g Satz: f ω g g Ω(f) g ω f f Ω(g) f Ο g Grenzwert als hinreichendes Kriterium f(n) Satz: lim n g(n) f(n) Satz: lim n g(n) f(n) Satz: lim n g(n) f(n) Satz: lim n g(n) < f Ο(g) > 0 f Ω(g) = 0 f ο(g) = f ω g Satz von L Hôpital: Seien f und g zwei differenzierbare Funktionen, deren Grenzwerte entweder beide gegen 0 oder f n beide gegen gehen. Dann gilt lim = lim f n (falls n g(n) n g (n) der Grenzwert existiert). 6

7 Ausnutzen der Transitivität Satz: f Ο g g Ο h Beweis: Voraussetzungen: f Ο h c n 0 n n 0 : f n c g(n) c n 0 n n 0 : g n c h(n) Zu zeigen: c n 0 n n 0 : f n c h(n) Beweis: Wähle n 0 = max n 0, n 0 n n 0 : f n c g n c c h(n) Für c = c c folgt f Ο h Anwendungsbeispiel: f n = 3n 5 + 4n g n = n 5 h n = 7n 7 + 2n 4 + 3n f Ο g haben wir bereits gezeigt Für c = 1 7, n 0 = 1 gilt: n 1: n n7 + 2n 4 + 3n g Ο h f Ο h 7

8 Ausnutzen der Monotonie Satz: Seien f, g und h Funktionen von R 0 nach R 0. Sei h streng monoton wachsend (d.h. n 1 < n 2 h n 1 < h n 2 ). Dann gilt n 0 > 0 n n 0 : f n g n n 0 > 0 n n 0 : h f n h g n Beweis: folgt aus Monotonie von h, wobei n 0 = n 0 : n 0 > 0 n n 0 : h f n h g n Angenommen, es gibt ein n 0 n 0 mit f n 0 > g n 0 Aus der Monotonie von h folgt: h f n 0 > h g n 0 Anwendungsbeispiel: f n = log n g n = n h n = 2 n log n Ο n haben wir bereits gezeigt 2 log n Ο 2 n 8

9 Agenda 1. Die Landau-Notation (Wiederholung und Vertiefung) 2. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 1 & 2 3. Pseudocodeanalyse 4. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 3 & 4 9

10 Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 1 Beweisen oder widerlegen Sie für die Teilaufgaben (a) bis (e) die folgenden Aussagen: f Ο(g), f Ω(g). (a) f(n) n g(n) n 3 4 (b) n + log n 2 n (c) 2 n 2 n+1 (d) ln ln n ln n (e) 2 n n! 10

11 Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 2 Beweisen Sie die folgenden Aussagen: 1. Seien außerdem a, b R + Konstanten. Dann gilt a n+b Θ a n. 2. Es gibt monoton wachsende Funktionen f und g, die von N nach R + abbilden, so dass f Ο(g) und g Ο(f). 11

12 Agenda 1. Die Landau-Notation (Wiederholung und Vertiefung) 2. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 1 & 2 3. Pseudocodeanalyse 4. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 3 & 4 12

13 Pseudocodeanalyse 13

14 Pseudocode informelle, abstrahierte Beschreibung eines Algorithmus unabhängig von Plattform und Programmiersprache kein einheitlicher Standard liegt zwischen natürlicher Sprache, mathematischen Ausdrücken und beliebigen Programmiersprachen Beispiel: for each i from one to ten: increment x by i for each i 1,2,, 10 x x + i for i 1 to 10 x x + i; endfor for (i = 1; i <= 10; i + +) { x += i; } 14

15 Schreibtischtest händisches Verfahren zur Verständnisgewinnung und Überprüfung der Korrektheit eines Algorithmus Festlegung einer Eingabe angemessener Größe schrittweises Durchrechnen des Algorithmus Aufschreiben der Belegungen von Variablen nach bestimmten (interessanten) Schritten / Zeilen 15

16 Laufzeitanalyse elementare Operationen haben konstante Laufzeit: x 0; x x + 1; B[4] A[5]; Ο(1) Ο(1) Ο(1) bedingte Anweisungen haben konstante Laufzeit: if x < 0 then Ο(1) x 1 x; + Ο 1 endif = Ο 1 16

17 Laufzeitanalyse bei Schleifen hängt die Laufzeit davon ab, wie oft die Schleifen durchlaufen werden: for i 1 to Ο(1) x x + 1; Ο 1 endfor = Ο 1 for i 1 to n n Ο(n) x x + 1; Ο 1 endfor = Ο n for i 1 to n n Ο(n) for j 1 to m m Ο(m) x x + (i j); Ο 1 endfor = Ο n m endfor bei rekursiven Algorithmen hängt die Laufzeit davon ab, wie oft der Algorithmus aufgerufen wird 17

18 Agenda 1. Die Landau-Notation (Wiederholung und Vertiefung) 2. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 1 & 2 3. Pseudocodeanalyse 4. Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 3 & 4 18

19 Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 3 19

20 Vorbereitung Aufgabenblatt 1, Aufgabe 4 20

21 Ausblick zu nächster Woche: Aufgabenblatt 1 bearbeiten und abgeben nächste Woche: Vorbereitung Aufgabenblatt 2 Stacks & Queues Rekursion und vollständige Induktion Divide&Conquer-Algorithmen 21