Willkommen zur Vorlesung Komplexitätstheorie

Transkript

1 Willkommen zur Vorlesung Komplexitätstheorie WS 2011/2012 Friedhelm Meyer auf der Heide V5,

2 Themen 1. Turingmaschinen Formalisierung der Begriffe berechenbar, entscheidbar, rekursiv aufzählbar Komplexitätsklassen 2. Eine untere Schranke für 1-Band DTMs 3. Hierarchiesätze 4. Nichtdeterminismus: Eigenschaften nichtdeterministischer Platzkomplexitätsklassen NP- und PSPACE-Vollständigkeit 5. Die polynomielle Hierarchie 6. Randomisierte Komplexitätsklassen 2

3 Nichtdeterministische Turingmaschinen 3

4 Definition von nichtdeterministischen Turingmaschinen Eine nichtdeterministische (1-Band) Turingmaschine (1-Band)- NTM kann durch ein 6-Tupel M=(Q,,,, q 0, F) beschrieben werden. Q,,, q 0, F sind wie bei deterministischen TMs, ist nun wie folgt definiert: : Q! P(Q {R, N, L}) (q, a) =, falls q 2 F ist. 4

5 Rechnungen einer NTM Berechnungsbaum einer NTM bei Eingabe w 5

6 Wann akzeptieren NTMs? Definition: Eine NTM akzeptiert eine Eingabe x, falls es mindestens eine akzeptierende Rechnung von M gestartet mit x gibt. 6

7 Laufzeit / Speicherplatz von NTMs Laufzeit: T M (x) = { Länge einer kürzesten akz. Rechnung, 1 sonst falls M die Eingabe x akzeptiert Platz: S M (x) = { geringster Platzbedarf einer akz. Rechnung, 1 sonst falls M die Eingabe x akzeptiert 7

8 Nichtdeterministische Komplexitätsklassen NSPACE NSPACE NSPACE NSPACE 8

9 Nichtdeterministischer Speicherplatz 9

10 Deterministischer versus nichtdeterministischer Platzbedarf, der Satz von Savitch Die einfache Simulation aus EBKFS zeigt: Satz: Jede NTM M kann durch eine DTM M simuliert werden. Falls M t(n)-zeitund s(n)-platzbeschränkt ist, so ist M 2 O(t(n)) -zeit- und O(s(n). t(n))-platzbeschränkt. Da t(n) exponentiell in s(n) sein kann, liefert diese Simulation nur ein exponentiell beschränktes Blowup. Das geht viel besser!!! Satz (von Savitch): Sei s: N N sei platzkonstruierbar. Dann gilt: NSPACE(s(n)) DSPACE(s(n)²). Nur quadratisches beschränktes Blowup!! 10

11 Beweis des Satzes von Savitch I Satz (von Savitch): Sei s: N N sei platzkonstruierbar. Dann gilt: NSPACE(s(n)) DSPACE(s(n)²). Beweis: M sein c s(n) platzbeschränkte 1-Band NTM mit einer akz. Endkonfiguration K*. Wir beschreiben nun einen Algorithmus, der bei Eingabe Konfigurationen von M der Länge höchstens l, entscheidet, ob es in M eine Rechnung von K 1 nach K 2 gibt, die Länge höchstens t und Platzbedarf höchstens l hat. Das Problem kann wie folgt interpretiert werden: Betrachte den gerichteten Graphen, dessen Knoten alle (höchstens 2 O(l) viele) Konfigurationen der Länge höchstens l sind. Eine gerichtete Kante von K nach K existiert genau dann, wenn K direkte Nachfolgekonfiguration von K ist. Dann möchten wir testen, ob es in diesem Graphen einen gerichteten Weg von K 1 nach K 1 gibt. (Erreichbarkeit) (Dabei ist der Graph nicht Teil der Eingabe, seine Knoten und Kanten sind implizit gegeben.) 11

12 Beweis des Satzes von Savitch I Satz (von Savitch): Sei s: N N sei platzkonstruierbar. Dann gilt: NSPACE(s(n)) DSPACE(s(n)²). Beweis: M sein c s(n) platzbeschränkte 1-Band NTM mit einer akz. Endkonfiguration K*. Wir beschreiben nun einen Algorithmus, der bei Eingabe Konfigurationen von M der Länge höchstens l, entscheidet, ob es in M eine Rechnung von K 1 nach K 2 gibt, die Länge höchstens t und Platzbedarf höchstens l hat. 12

13 Beweis des Satzes von Savitch II Beweis: t > 1: Organisation des Bandes Die rekursiven TEST-Aufrufe benutzen für alle K 3 und jeweils beide Tests den gleichen Speicherbereich R. Rekursion: SP(1) 3 l Für t>1: SP(t ) ( 3 l + log(t)) + SP(t/2) SP(t ) ( 3 l + log(t)) (log(t)+1) 13

14 Beweis des Satzes von Savitch III Bemerkung: Also folgt: K* O(s( x )²) 14

15 Eine wichtige Folgerung Korollar: PSPACE = NPSPACE 15

16 Komplementklassen und Abschlusseigenschaften Einige einfache Beziehungen von Komplementklassen: Ist NSPACE(s(n)) abgeschlossen gegenüber Komplement -bildung? DSPACE Co-DSPACE NSPACE Co-NSPACE Co-NSPACE NSPACE 16

17 Ist NSPACE(s(n)) abgeschlossen gegenüber Komplementbildung? JA!! Satz (Immerman, Szelepcsenyi, 1988): Sei s(n) platzkonstruierbar. Dann gilt: NSPACE(s(n)) = Co-NSPACE(s(n)). Ein wichtiges Korollar: Aus EBKFS ist CS, die Menge der kontextsensitiven Sprachen, bekannt. Eventuell haben sie dort in Übungsaufgaben gezeigt: Satz: CS = NSPACE(n) Damit ergibt sich: Korollar: CS =Co-CS, d.h.: die kontextsensitiven Sprachen sind gegen Komplementbildung abgeschlossen. 17

18 Beweis des Satzes von Immerman und Szelepcsenyi - I Satz (Immerman, Szelepcsenyi): Sei s(n) platzkonstruierbar. Dann gilt: NSPACE(s(n)) = Co-NSPACE(s(n)). Wir zeigen NSPACE(s(n)) Co-NSPACE(s(n)). Die andere Richtung funktioniert analog. Sei L NSPACE(s(n)), M eine O(s(n))-platzbeschr.1-Band NTM für L, x Input der Länge n. Wegen s(n) platzkonstruierbar : o.b.d.a. gilt: Jede Rechnung von M gestartet mit x hat Länge höchstens 2 c s(n) und besteht aus Konfigurationen der Länge höchstens c s(n), für geeignetes c>0. Gesucht: Eine O(s(n))-platzbeschränkte NTM, die x genau dann akzeptiert, wenn alle Rechnungen von M gestartet mit x verwerfend sind. Erste Idee: Probiere alle Rechnungen aus benötigt auf DTM Platz O(s(n)²). Wie können wir das Verfahren mithilfe von Nichtdeterminismus platzeffizienter machen?? 18

19 Beweis des Satzes von Immerman und Szelepcsenyi - II Wir zeigen: NSPACE(s(n)) Co-NSPACE(s(n)). Sei L NSPACE(s(n)), M eine 1-Band NTM für L, x Input, x =n. Jede Rechnung von M gestartet mit x hat Länge höchstens 2 c s(n) und besteht aus Konfigurationen der Länge höchstens c s(n), für geeignetes c>0. Gesucht: Eine O(s(n))-platzbeschränkte NTM, die x genau dann akzeptiert, wenn alle Rechnungen von M gestartet mit x verwerfend sind. Angenommen, wir kennen die Zahl N der (indirekten) Nachfolgekonfigurationen von q 0 x. Haupt-Algorithmus (Eingabe: x, N): - Zähler:=0 - For i:=1 to l(m) do K 1, K 2,, K l(m) ist lex. Aufz. der Konf. Der Länge höchstens m. - Rate eine Rechnung R startend in q 0 x der Länge höchstens 2 c s(n). - If R ist akzeptierend Then verwerfe, stoppe. - Else If R endet in Konfiguration K i Then erhöhe Zähler um 1. - If Zähler = N, Then akzeptiere. 19

20 Beweis des Satzes von Immerman und Szelepcsenyi - III Haupt-Algorithmus (Eingabe: x, N): - Zähler:=0 - For i:=1 to l(m) do - Rate eine Rechnung R startend in q 0 x der Länge höchstens 2 c s(n). - If R ist akzeptierend Then verwerfe, stoppe. - Else If R endet in Konfiguration K i Then erhöhe Zähler um 1. - If Zähler = N, Then akzeptiere. Korrektheit: Algorithmus akzeptiert x Es wurden für alle N Nachfolgekonfigurationen von q 0 x Rechnungen gefunden und keine war akzeptierend x ist nicht in L. Platzbedarf: Auf dem Band stehen maximal 3 Konfigurationen (q 0 x, K, aktuelle Konfiguration der simulierten Rechnung), sowie N ( 2 c s(n) ), und 2 c s(n). Platzbedarf O(s(n)). Wir müssen N berechnen! 20

21 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Heinz Nixdorf Institut Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Fürstenallee Paderborn Tel.: / Fax.: / fmadh@hni.upb.de 21