Der Satz von Savitch

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1 Der Satz von Savitch Satz (Savitch, 1970): Sei s 2 (log(n)). Danngilt NSPACE(s) DSPACE(s 2 ). Wir führen den Beweis für den Fall, dass s eine platzkonstruierbare Funktion ist: Sei M eine NTM, deren Platzbedarf durch s beschränkt ist. Sei Conf(M, w) die Menge aller Konfigurationen der Größe maximal s( w ). (Beachte: s( w ) können wir ermitteln.) Ohne Einschränkung gehen wir davon aus, dass Conf(M, w) genau eine akzeptierende Konfiguration f enthält. Einheit 33 Folie 33.1

2 Nun sollen wir herausfinden, ob von der Startkonfiguration aus die Konfiguration f erreichbar ist. Wir können diese Aufgabe als Erreichbarkeitsproblem auf dem Graph der Konfigurationen auffassen. Ein Prädikat namens Reach(, Beweis (Satz von Savitch) Reach(,, i) () 9k apple 2 i :, i) sei wie folgt definiert: Aus Konfiguration kann man in k Schritten zur Konfiguration gelangen. Reach(,, i) kann rekursiv so berechnet werden: Reach(,, i) () 9 2 Conf(M, w) :Reach(,, i 1) ^ Reach(,,i 1) Einheit 33 Folie 33.2

3 Algorithmus (zum Beweis) Der rekursive Reach-Algorithmus hat einen Haken: Wir haben in der deterministischen Simulation keine Möglichkeit, den Existenzquantor durch Raten oder Ähnliches aufzulösen. Unser Trick besteht ganz einfach darin, alle Möglichkeiten der Reihe nach durchzuprobieren: FUNCTION Reach(,, i): BOOLEAN; b := FALSE; IF i = 0 THEN b := [ = OR ` ] ELSE FORALL 2 Conf (M, w) DO IF (NOT b) AND Reach(,, i 1) THEN b := Reach(,,i 1); RETURN b END FUNCTION Einheit 33 Folie 33.3

4 Wir behaupten, dass der für Reach(,, i) benötigte Platz für geeignete Konstante c beschränkt ist durch c (i + 1) s( w ) und führen hierfür einen Induktionsbeweis durch: i = 0: Der Aufruf Reach(,, 0) hat einen Speicherbedarf in O(s( w )). Dasistleichtzuüberprüfen. i > 0: Platzbedarf Die rekursiven Aufrufe brauchen nach Induktionsvoraussetzung je maximal c i s( w ) Speicherplatz. Dazu kommt ein Platzbedarf in O(s( w )) für lokale Variablen, wie z.b.. Wirgehendavonaus, dassdie beteiligten Konstanten gleich sind (gegebenenfalls wählt man die höhere der beiden Konstanten) und erhalten c i s( w )+c s( w ) =c (i + 1) s( w ). Einheit 33 Folie 33.4

5 Beweis (Abschluss) Um für gegebene Eingabe w zu entscheiden, ob w 2 L(M) gilt, genügt es also, den Wert k s( w ) zu berechnen, wobei k so gewählt sei, dass es maximal 2 k s( w ) verschiedene erreichbare Konfigurationen gibt, und dann folgenden Aufruf zu nutzen: Reach( w, f, k s( w )) Dabei sei w die Anfangskonfiguration von M bei Eingabe w. Der Gesamtplatzbedarf liegt offensichtlich in O(s( w ) 2 ). Man beachte aber, dass hierbei Platzkonstruierbarkeit von s benutzt wurde! Einheit 33 Folie 33.5

6 NEIN: Ist Platzkonstruierbarkeit nötig? Statt die Schranke s( w ) zu kennen, genügt es uns, den tatsächlichen Platzbedarf von M bei Eingabe w zu berechnen! Wie geht das? Starte mit n = Länge der Startkonfiguration (also z.b. n = w + c für geeignete Konstante c) Nutze Reach-Funktion, um herauszufinden, ob es erreichbare Konfigurationen der Länge mindestens n + 1 gibt. Wenn ja: Erhöhe n um 1. So ermitteln wir den realen Speicherbedarf ohne Überschreitung der Platzschranke. Einheit 33 Folie 33.6

7 1) Das Grapherreichbarkeitsproblem liegt in DSPACE(log 2 (n)). (Das folgt aus dem Satz von Savitch, weil das Grapherreichbarkeitsproblem in NSPACE(log n) liegt.) 2) PSPACE kann sowohl als S S k 1 Folgerungen aus dem Satz von Savitch k 1 NSPACE(n k ) definiert werden. DSPACE(n k ) als auch als (Wegen NSPACE(n k ) DSPACE(n 2k ) sind diese beiden Vereinigungen gleich.) Einheit 33 Folie 33.7