Beweis des Satzes von Euler

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1 (Z/nZ) hat '(n) Elemente g 1, g 2,...,g '(n). Nach Teil c) des Satzes aus Einheit 26 definiert x 7! ax eine Bijektion auf Z/nZ und daher auch auf (Z/nZ). Also gilt: Beweis des Satzes von Euler (Z/nZ) = {g 1, g 2,...,g '(n) } = {ag 1, ag 2,...,ag '(n) } Wir definieren g als das Produkt aller Elemente von (Z/nZ). Dann folgt: '(n) Q '(n) Q g = ag i = a '(n) g i = a '(n) g i=1 i=1 Diese Berechnungen sind natürlich modulo n zu verstehen. Da g invertierbar ist, folgt die Behauptung. Einheit 20 Folie 20.1

2 Wie berechnet man '(n)? Wir zeigen zunächst, dass für teilerfremde Zahlen m und n gilt: '(mn) ='(m)'(n) Denn der Isomorphismus zwischen Z/mnZ und Z/mZ Z/nZ, den wir aus dem Chinesischen Restsatz kennen, bildet Einheiten auf Einheiten ab. Also liefert die Einschränkung auf (Z/mnZ) einen Isomorphismus zwischen (Z/mnZ) und (Z/mZ) (Z/nZ), d.h. '(mn) = (Z/mnZ) = (Z/mZ) (Z/nZ) = '(m)'(n) Daher gilt mit der Primfaktorzerlegung n = p e 1 1 pe r r '(n) ='(p e 1 1 ) '(pe r r ) die Formel: und aus der letzten Einheit kennen wir bereits die Werte '(p e ) für Primzahlen p. DarausfolgtdieFormel '(n) =n Q 1 (1 Einheit 20 Folie 20.2 p n p )

3 Noch ein Satz über die '-Funktion Satz: P t n '(t) =n Beachte, dass t hier von 1 bis n alle Teiler von n durchläuft! Zum Beweis betrachtet man die Menge N = { 0 n, 1 n,..., n 1 n }. Nun kürzen wir alle Brüche in N, dannerhaltenwirbrüche, deren Nenner Teiler von n sind und deren Zähler teilerfremd zum jeweiligen Nenner sind. Für jeden Teiler t von n enthält N genau '(t) viele Brüche mit Nenner t. Und insgesamt sind es n Brüche. Damit folgt die Behauptung! Beispiel: n = 12, N = { 0 1, 1 12, 1 6, 1 4, 1 3, 5 12, 1 2, 7 12, 2 3, 3 4, 5 6, } Einheit 20 Folie 20.3

4 Verallgemeinerung des Satzes von Euler Der folgende Satz verallgemeinert den kleinen Satz von Fermat und den Satz von Euler: Satz: Für jede kommutative Gruppe G und jedes a 2 G gilt: a G = 1 Wie in den Spezialfällen beweisen wir auch diesen Satz, indem wir die Gruppe G einmal als {b 1,...,b G } schreiben, und dann als {ab 1,...,ab G }.Daa invertierbar ist, sind diese beiden Mengen gleich, d.h. das Produkt aller Elemente hat jeweils den selben Wert. Daher muss a G = 1gelten. Dieser Satz gilt übrigens auch für beliebige endliche Gruppen. In dieser allgemeineren Form heißt er Satz von Lagrange. Einheit 20 Folie 20.4

5 Ein exaktes Primzahlzertifikat Satz: Es sei n 2, n 2 N. Falls für alle Primzahlen p mit n 1modp eine Zahl a 2 Z existiert, so dass a n 1 1modn und a n 1 p 6 1modn gilt, dann ist n eine Primzahl. Bemerkung (ohne Beweis): Dieses Kriterium erfüllen alle Primzahlen. Zum Beweis des Satzes genügt es zu zeigen, dass '(n) durch n 1 teilbar ist. Dazu zeigen wir für jede Primzahl p: p r n 1 =) p r '(n) Denn daraus folgt, dass n 1einTeilervon'(n) ist, aber es gilt ja immer '(n) < n, alsofolgt'(n) =n 1, d.h. n ist prim. Einheit 20 Folie 20.5

6 Beweis Sei p ein beliebiger Primteiler von n 1, und sei p r die größte Potenz von p, dieinn 1aufgeht.WirwähleneineganzeZahl a gemäß der Voraussetzung, d.h. a n 1 1modn, aber a n 1 p 6 1modn. Fernerseim die Ordnung von a, d.h. die kleinste positive ganze Zahl mit a m 1modn. Da a teilerfremd zu n ist, gilt auch a '(n) 1modn. Damit ist m sowohl Teiler von n 1, als auch Teiler von '(n). Andererseits ist m nicht Teiler von n 1 p,daherteiltpr auch m. Nun ist p r ein Teiler von m und m ein Teiler von '(n), also teilt p r auch '(n), wiezubeweisenwar. Einheit 20 Folie 20.6

7 Fibonacci-Zahlen Benannt nach Sohn des Bonacci: Filius Bonacci (um 1200 n.chr.) F 0 = 0 F 1 = 1 F n+2 = F n+1 + F n Die ersten Folgenglieder: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,... Rekursive Berechnung (Funktion Fib mit Inputparameter n): IF n < 2 RETURN n ELSE RETURN Fib(n 1)+Fib(n 2); Iterative Berechnung ist geschickter: Pseudocode bitte selbst entwerfen... Einheit 20 Folie 20.7

8 Fibonacci-Zahlen: Interpretation Es gibt viele Möglichkeiten, Interpretationen für diese Zahlen zu konstruieren oder in Flora und Fauna zu finden. Die Dominostein-Interpretation: Es stehen beliebig viele Dominosteine von zwei Sorten zur Verfügung, nämlich solche der Länge 1 und solche der Länge 2. Wieviele Möglichkeiten gibt es, damit eine Sequenz der Länge n zu legen? Länge 1: eine Möglichk., Länge 2: zwei Mögl., Länge 3: drei Mögl. Für Längen größer als 3: F n+1 Möglichkeiten. Der Beweis durch vollständige Induktion bleibt den Teilnehmern überlassen. Einheit 20 Folie 20.8

9 Fibonacci-Zahlen: Abschätzungen Wir behaupten, dass für alle n 3gilt: F n apple 2 n apple F 2n Induktionsanfang für n = 3undn = 4: F 3 apple 2 3 apple F 6 ist korrekt, da F 3 = 2, 2 3 = 8undF 6 = 8gilt.EbensogiltF 4 apple 2 4 apple F 8, denn F 4 = 3, 2 4 = 16 und F 8 = 21. Induktionsschritt: Es sei n 3unddieFormelgeltefürn und n + 1. Dann: F n+2 = F n+1 + F n apple 2 n n < 2 2 n+1 = 2 n+2 und 2 n+2 = 2 2 n+1 apple 2F 2n+2 + F 2n+1 = F 2n+2 + F 2n+3 = F 2n+4 Anders ausgedrückt: 2 n apple F 2n apple 2 2n bzw. ( p 2) n apple F n apple 2 n Einheit 20 Folie 20.9