2.3 Endliche abelsche Gruppen

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1 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Endliche abelsche Gruppen In diesem Abschnitt wollen wir die Struktur von endlichen abelschen Gruppen behandeln. Die Grundidee ist, die Gruppe als ein direktes Produkt von kleineren und einfacheren Gruppen darzustellen. Für abelsche Gruppen ist dieses tatsächlich möglich: Jede abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt von zyklischen Gruppen, deren Ordnung Potenz einer Primzahl ist; solche speziellen zyklischen Gruppen können nicht weiter zerlegt werden, und die Zerlegung der gesamten Gruppe ist eindeutig in dem Sinne, dass Ordnungen und Anzahlen der zyklischen Faktoren nicht von der Wahl der Zerlegung abhängen ( Erster Struktursatz Theorem 2.3.8). Dieses Resultat liefert die Möglichkeit, für eine gegebene Gruppenordnung n ein Vertretersystem für alle Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung n aufzuschreiben und insbesondere deren Anzahl zu bestimmen. Ein erster wichtiger Reduktionsschritt für den Beweis ergibt sich aus Satz 2.3.7; er reduziert das Problem auf den Fall von Gruppen von Primzahlpotenz-Ordnung n = p ν.für diesen Fall werden wir die Eindeutigkeit der Zerlegung ausführlich besprechen und beweisen, weil an dieser Stelle ohne allzu komplizierte Technik einige wichtige Ideen sichtbar werden. Auf den Beweis der Existenz einer Zerlegung in zyklische Gruppen verzichten wir, da sich eine systematische Behandlung besser an anderer Stelle, nämlich in der Theorie der sogenannten Moduln über Hauptidealringen, ergibt. In einem abschließenden Zweiten Struktursatz wird noch eine andere Zerlegung in zyklische Faktoren (bzw. Summanden) besprochen, bei der die Ordnungen keine Primzahlpotenzen mehr sind, aber sukzessiv Vielfache voneinander sind. Diese Version des Satzes (wieder eine Art Normalform für endliche abelsche Gruppen) hängt eng mit dem sogenannten Elementarteilersatz für ganzzahlige Matrizen zusammen, auf den wir an dieser Stelle aber nicht eingehen. Wir erinnern daran (siehe Bemerkung ), dass das kartesische Produkt A B zweier Gruppen mit der komponentenweisen Verknüpfung wieder eine Gruppe ist und als direktes Produkt von A und B bezeichnet wird. Genauer wollen wir vom externen direkten Produkt von A und B sprechen. Wir wollen zunächst klären, wann eine gegebene Gruppe als ein solches Produkt dargestellt werden kann, präzise: wann sie isomorph zu einem direkten Produkt ist. In diesem Zusammenhang wird der folgende Schluss häufig benutzt, der übrigens später auch für nicht-abelsche Gruppen nützlich ist: Lemma Es sei G eine Gruppe und A G, B G zwei endliche Untergruppen mit A B = {e}. DannbestehtAB := {ab a A, b B} aus A B Elementen. Beweis: Die Abbildung A B AB, (a, b) ab ist nach Definition surjektiv, und aus der Voraussetzung folgert man leicht ihre Injektivität. Die Voraussetzung A B = {e} ist insbesondere erfüllt, wenn die Ordnungen A und B teilerfremd sind.

2 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Die Gruppe A B besitzt zwei kanonisch zu A bzw. B isomorphe Untergruppen, nämlich A = A {e B } A B und B = {e A } B A B. DieBedingungaus dem letzten Lemma ist für A und B erfüllt, außerdem ist A B = A B. Es gilt noch mehr, nämlich a b = ba für alle a =(a, e) A und b =(e, b) B. Dieses führt uns auf folgende Definition, und eine erste Antwort auf die oben gestellten Frage: Definition und Bemerkung (Internes Direktes Produkt) Eine Gruppe G heißt (internes) direktes Produkt von zwei Untergruppen A und B, wennfolgendesgilt: (DP1) G = AB (DP2) (DP3) A B = {e} A und B sind elementweise vertauschbar, d.h. für alle a A, b B gilt ab = ba. Unter diesen Voraussetzungen gilt: G = A B. Beweis: Unter der Voraussetzung von (DP3) ist die Abbildung (a, b) ab aus ein Homomorphismus, also ein Isomorphismus. Bei additiver Schreibweise der Verknüpfung in der Gruppe würde man die Bedinung (DP1) natürlich als G = A + B notieren, wenn (DP1) und (DP2) beide vorliegen, schreibt man G = A B und spricht von einer direkten Summe, genau wie bei Vektorräumen. Die Bedingung (DP3) entfällt dann, weil eine Verknüpfung +immerkommutativist. Externe und interne direkte Produkte sind nach bis auf Isomorphie dasselbe, aber der Standpunkt ist ein anderer: Beim internen direkten Produkt liegt die Gruppe bereits vor, und ihre Struktur wird durch zwei Untergruppen beschrieben; ein externes direktes Produkt wird erst konstruiert. Die Definition eines direkten Produktes verallgemeinert sich leicht auf mehr als zwei Untergruppen A 1,...,A r. Hier muss man verlangen, dass jedes A i mit dem Produkt der übrigen A j trivialen Schnitt hat, genau wie bei der direkten Summe von mehr als zwei Untervektorräumen. Außerdem muss jedes A i mit jedem A j elementweise vertauschbar sein, eine Voraussetzung, die in abelschen Gruppen immer erfüllt ist. G ist genau dann das direkte Produkt der Untergruppen A 1,...,A r, wenn die Abbildung A 1 A 2 A r G, (x 1,x 1,...,x r ) x 1 x 2...x r ein Isomorphismus ist. Bevor wir abelsche Gruppen genauer untersuchen, noch eine kleine Definition (eigentlich nur eine Sprechweise).

3 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Definition Es sei p eine Primzahl. a) Ein Element einer Gruppe heißt p-element, fallsseineordnungeinepotenz von p ist. b) Eine endliche Gruppe heißt p-gruppe, falls ihre Ordnung eine Potenz von p ist. Lemma Für eine abelsche Gruppe G und m N ist G(m) :={x G x m = e} eine Untergruppe von G. Wenn G = km ist mit ggt(k, m) =1,dannistG das interne direkte Produkt G = G(k)G(m). Beweis: Die Bedingung (DP3) aus Bemerkung ist in abelschen Gruppen immer erfüllt; die Bedingung (DP2) folgt sofort aus der Voraussetzung und dem Satz von Lagrange: Jedes Element aus G(k) G(m) hat die Ordnung 1. Zum Beweis von (DP1) schreibe mit dem Lemma von Bezout 1 = sk + tm, s, t, Z. Dann zerlegt sich ein beliebiges Element x G als x = x tm x sk,undesgilt (x tm ) k = x tmk = e, alsox tm G(k), analog x sk G(m). Wir weisen noch einmal darauf hin, dass bei additiver Schreibweise der Verknüpfung, also für eine Gruppe (G, +) die Formeln des Lemmas natürlich anders aussehen. Wir haben dann G(m) ={x G m.x =0}, G = G(k) G(m) (direktesumme). Die Untergruppe G(m) aus dem letzten Lemma heißt auch die m-torsions- Untergruppe oder kurz die m-torsion von G. Allgemein bezeichnet man als Torsionselement einer Gruppe jedes Element von endlicher Ordnung. Die m-torsion von G besteht aus allen Elementen von G, derenordnungeinteilervonm ist. Das Lemma kann übrigens als eine Verallgemeinerung von Satz , also der Isomorphie Z/mZ Z/nZ = Z/mnZ für ggt(m, n) =1angesehenwerden. Allerdings ist der Standpunkt ein anderer: Dort ging es darum, dass Z/mZ Z/nZ zyklisch ist, jetzt geht es darum, dass Z/mnZ in ein direktes Produkt zerlegt werden kann. Es ist richtig, aber an dieser Stelle noch nicht bewiesen, dass in der Situation von Lemma G(k) = k und G(m) = m ist. Hierzu dient das nächste Lemma: Lemma Es sei G eine endliche abelsche Gruppe und p ein Primteiler der Gruppenordnung. Dann enthält G ein Element der Ordnung p.

4 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Beweis durch Induktion über die Gruppenordnung, bzw. über G /p.wähle in G ein beliebiges von e verschiedenes Element y.fallsp ord(y), nimm eine geeignete Potenz von y. Anderenfalls wende die Induktionsannahne auf die Faktorgruppe G/y an. (Details in der Vorlesung.) Das Lemma gilt (mit schwierigerem Beweis) auch im nicht-abelschen Fall (sogenanntes Lemma von Cauchy, siehe das spätere Kapitel 2.5). Lemma Unter den Voraussetzungen von Lemma gilt G(k) = k und G(m) = m. Beweis: Setze kurz k := G(k), m := G(m). Es reicht zu zeigen: Jeder Primteiler p von k teilt auch k, entsprechendfür m.wegenk m = G = km und ggt(k, m) =1folgtdanndieBehauptung. Sei also p ein Primteiler von k.nachlemma2.3.5,angewendetaufg(k), gibt es in G(k)einElementx der Ordnung p.wennp nicht k teilen würde, dann würde es m teilen. Dann würde aber x auch in G(m) liegen,wäre also ein nichttriviales Element von G(k) G(m). Widerspruch. Wenn wir die Lemmata und mehrfach anwenden (also eine Induktion über die Anzahl der verschiedenen Primteiler von G machen), erhalten wir den folgenden Satz: Satz Jede endliche abelsche Gruppe G zerlegt sich eindeutig als ein direktes Produkt von p-gruppen. Genauer: Betrachte die kanonische Primfaktorzerlegung G = p ν 1 1 p ν p νr r, wobei die p i paarweise verschiedene Primzahlen sind und ν i N. Setze G i = {x G x pν i i = e}. Dann sind die G i, i =1,...,r Untergruppen von G mit G i = p ν i i, und G ist das interne direkte Produkt der G i, also auch G = G 1 G 2... G r. Die Untergruppe G i aus dem Satz heißt auch die p i -primäre Komponente von G. Gegeben ein endliche abelsche Gruppe G und ein Primteiler p ihrer Ordnung, so ist also die p-primäre Komponente von G die p ν -Torsions-Untergruppe von G, für genügend großes ν. Man spricht von einer Komponente, weil diese Untergruppe sogar ein direkter Faktor von G ist. Die p-primäre Komponente ist, für sich betrachtet, eine p-gruppe im Sinne der Definition Zusammengefasst sagt also der Satz 2.3.7, dass jede endliche abelsche Gruppe eindeutig in ein direktes Produkt von p-gruppen zerlegt werden kann. Die Frage nach der Struktur und letztlich einer vollständigen Klassifikation endlicher abelscher Gruppen ist nunmehr auf den Fall von p-gruppen reduziert. Die eigentliche Antwort gibt der folgende Satz:

5 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Theorem (Struktursatz für abelsche Gruppen, Version 1) Jede endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einem Produkt von zyklischen p- Gruppen Z/p j Z. Die auftretenden Primzahlpotenzen p j sind dabei einschließlich ihrer Vielfachheiten eindeutig bestimmt (bis auf Reihenfolge). Der Beweis des Theorems reduziert sich mittels des Satzes unmittelbar auf den Fall, dass nur eine Primzahl p auftritt, d.h. G eine p-gruppe ist. Der Beweis der Existenz der Zerlegung ist etwas komplizierter als die bisherigen Beweise in diesem Abschnitt. Er wird üblicherweise in weiterführenden Vorlesungen im Kontext von Moduln über Hauptidealringen (siehe Kapitel 3.1) behandelt. 4 Die Eindeutigkeitsaussage des Satzes wollen wir hingegen jetzt noch etwas genauer erklären und letztlich auch vollständig beweisen. Betrachten wir als Beispiel die Gruppe G = Z/2Z Z/4Z Z/4Z Z/8Z der Ordnung 256 = 2 8.Die Vielfachheit des Faktors Z/4Z bzw. der Primzahlpotenz 2 2 ist hier gleich 2, wir können die Gruppe auch als Z/2Z (Z/4Z) 2 Z/8Z schreiben. Da es hier und im Folgenden nicht auf die konkrete Gruppe Z/mZ ankommt, sondern nur auf die (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte, siehe 2.1.9) zyklische Gruppe der Ordnung m, schreibenwirabjetztz m für diese Gruppe. ferner benutzen wir für eine endliche Folge natürlicher Zahlen m 1,m 2,...m r die Abkürzung Z[m 1,m 2,...,m r ]:=Z m1 Z m2 Z mr. (2.3.1) Die als Beispiel betrachtete Gruppe ist also Z[2, 4, 4, 8]. Wenn die Zahlen m 1,m 2,...m r lediglich eine Permutation von m 1,m 2, m r sind, dann ist natürlich Z[m 1,m 2,...,m r] = Z[m 1,m 2,...,m r ]. Da wir Gruppen nur bis auf Isomorphie auflisten wollen, können wir also immer m 1 m 2 m r annehmen. Auf das Beispiel angewendet ist die Behauptung des Satzes, dass aus Z[m 1,m 2,...,m r ] = Z[2, 4, 4, 8] folgt, dass r =4und weiter m 1 =2,m 2 = m 3 =4,m 4 =8ist;wirkommenuntenbeimBeweisdes allgemeinen Falls darauf zurück. Wenn man mittels des Theorems für gegebene Primzahlpotenz m = p ν eine Liste aller Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung m aufstellen möchte, so muss man also Möglichkeiten aufschreiben, m als ein Produkt von natürlichen Zahlen m i zu schreiben, wobei die Faktoren notwendig von der Form m i = p ν i sind und ihre Anzahl r höchstens gleich ν werden kann. Die m i sollen ferner aufsteigend der Größe nach geordnet sein. Wenn man diese Bedingungen in die Exponenten ν i übersetzt, so muss man alle Partitionen, genauer Zahlpartitionen ν = ν 1 + ν ν r, 1 ν 1 ν 2 ν r (2.3.2) 4 Einen im Kontext dieser Vorlesung direkt verständlichen Beweis findet man z.b. in dem Buch Algebra von J.C. Jantzen und J. Schwermer, Satz 5.15

6 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, der natürlichen Zahl ν auflisten. Eine naheliegende Art, all diese Partitionen (und damit die zugehörigen Gruppen) in eine Reihenfolge zu bringen, besteht darin, allen Partitionen von ν durch Auffüllen mit Nullen die Länge r = ν zu geben und diese ν-tupel dann lexikographisch anzuordnen. Insbesondere stehen dann Gruppen mit weniger Faktoren vor denen mit mehr Faktoren. Beispiele (1) Die vollständige Liste der (Isomorphieklassen von) abelschen Gruppen der Ordnung 64 enthält 11 Gruppen und lautet Z[64] Z[2, 32],Z[4, 16],Z[8, 8], Z[2, 2, 16],Z[2, 4, 8],Z[4, 4, 4], Z[2, 2, 2, 8],Z[2, 2, 4, 4], Z[2, 2, 2, 2, 4], Z[2, 2, 2, 2, 2, 2]. (2) Die vollständige Liste der (Isomorphieklassen von) abelschen Gruppen der Ordnung 128 enthält 15 Gruppen und lautet Z[128], Z[2, 64],Z[4, 32],Z[8, 16], Z[2, 2, 32],Z[2, 4, 16],Z[2, 8, 8],Z[4, 4, 8], Z[2, 2, 2, 16],Z[2, 2, 4, 8],Z[2, 4, 4, 4], Z[2, 2, 2, 2, 8],Z[2, 2, 2, 4, 4], Z[2, 2, 2, 2, 2, 4], Z[2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]. Ein Spezialfall des Struktursatzes ist, dass eine zyklische Gruppe von Primzahlpotenzordnung niemals isomorph ist zu einem Produkt (zyklischer Gruppen) mit mehr als einem Faktor ist. Wir halten diesen wichtigen Spezialfall als eigenen Satz fest und geben einen unabhängigen Beweis (der allerdings auf der gleichen Grundidee beruht wie der später folgende Beweis zu 2.3.8). Proposition Eine zyklische Gruppe Z = Z p ν, deren Ordnung eine Primzahlpotenz p ν ist, ist unzerlegbar, d.h. sie kann nicht als direktes Produkt von zwei (Unter-)Gruppen echt kleinerer Ordnung dargestellt werden. Beweis: Wir nehmen an, dass Z isomorph zu einem direkten Produkt U V ist, wobei U und V nicht-trivial seien und notwendig selbst p-gruppen sind. Nun benutzen wir die p-torsion aus Lemma 2.3.4, um einen Widerspruch zu erhalten. Aus der Isomorphie Z = Z p ν = Z/p ν Z erhält man leicht Z p ν(p) = p (denn es ist offenbar (Z/p ν Z)(p) =[p ν 1 ] p ν = Z p ). Ein Isomorphismus ϕ : Z U V induziert einen Isomorphismus ϕ : Z(p) (U V )(p). Auf der anderen Seite ergibt sich unmittelbar aus der Definition (U V )(p) =U(p) V (p). Die beiden Faktoren sind nach dem Lemma von Cauchy jeweils nicht-trivial, also nach Lagrange U(p) p, V (p) p und somit (U V )(p) p 2 >p= Z(p). Widerspruch.

7 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Beweis der Eindeutigkeitsaussage in Theorem 2.3.8: Es reicht, eine p-gruppe der Gestalt G = Z p µ 1 Z p 2 µ 2 Z p l µ l bzw. in der oben eingeführten Notation G = Z[ p,..., p,p 2,...,p 2,...,p l,...,p l ] µ 1 Mal µ 2 Mal µ l Mal zu betrachten und zu zeigen, dass für eine isomorphe Gruppe der gleichen Bauart alle Exponenten µ 1,µ 2,...,µ l (also die Vielfachheiten von zyklischen Faktoren derselben Ordnung) übereinstimmen. (Für nicht vorhandene Faktoren sind Exponenten µ j = 0 zu setzen.) Dieses geschieht mit Hilfe der p i -Torsions-Untergruppen G(p),G(p 2 ),...,G(p l 1 ),G(p l )=G. Für zwei isomorphe Gruppen G und H haben auch diese Untergruppen jeweils die gleiche Ordnung, etwa G(p i ) = p λ i,i= 1,...,l.FernerergebensichwieimBeweisvon2.3.10dieG(p i ) in der Produktzerlegung komponentenweise: G(p i )=Z p (p i ) µ 1 Z p 2(p i ) µ 2 Z p l(p i ) µ l. Für eine zyklische Gruppe Z überlegt man sich wie im Beweis von , was Z(p i )ist: Z p j(p) = p für alle j 1, Z p j(p 2 ) = p 2 für alle j 2, Z p j(p 3 ) = p 3 für alle j 3 usw. Die zu bestimmenden Zahlen µ i,i=1,...,l ergeben sich aus den bekannten Zahlen λ i also durch die folgenden Gleichungen: λ i λ i 1 = l µ j für i =1,...,l, (2.3.3) j=i wobei noch λ 0 =0zusetzenist. Schauen wir uns den gerade geführten Beweis noch für das obige Beispiel der Gruppe G = Z[2, 4, 4, 8] der Ordnung 2 8 an. Da der größte Faktor die Ordnung 2 3 hat, gilt λ i = λ 3 =8für i 4, es sind also µ 1,µ 2,µ 3 zu bestimmen. Betrachten von G(4) und G(2) liefert die Werte λ 2 =7,λ 1 =4,mittels(2.3.3)alsoµ 3 = 1, µ 2 =(7 4) 1=2,µ 1 =4 3=1,wiegewünscht. Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer anderen Produktdarstellung von abelschen Gruppen, die mit weniger Faktoren auskommt: Theorem (Struktursatz für abelsche Gruppen, Version 2) Jede endliche abelsche Gruppe G ist isomorph zu einem Produkt Z/m 1 Z Z/m 2 Z Z/m t Z, m 1 m 2 m t, m 1 > 1. Die Anzahl t und die auftauchenden Ordnungen m i mit ihren Vielfachheiten sind durch diese Teilbarkeitsbedingungen eindeutig bestimmt.

8 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Der Beweis dieses Theorems erfordert keinen neuen Aufwand mehr. Sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit führt man mit auf den früheren Satz zurück. Wir verzichten auf den förmlichen Beweis, geben aber noch ein Beispiel für den Übergang von der ersten Darstellung zur zweiten Darstellung: Z[2, 4, 4, 8, 3, 3, 9, 27, 27, 5, 5, 25] = Z[2, 4, 4, 3, 3, 9, 27, 5, 5, ] = Z[2, 4, 3, 3, 9, 5, , ] = Z[2, 3, 3, 4 9 5, , ] = Z[3, 2 3, 4 9 5, , ] = Z[3, 6, 180, 540, 5400]. Die Potenzen von verschiedenen Primzahlen werden sukzessiv von rechts nach links zusammengefasst.