2.2 Zyklische Gruppen

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1 Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau Zyklische Gruppen Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie aus den Potenzen eines festen Elementes besteht (bei multiplikativer Schreibweise). Solche Gruppen tauchen in ganz unterschiedlichen Kontexten auf, von der elementaren Zahlentheorie bis zu geometrischen Situationen verschiedener Art. Trotzdem haben alle die gleiche Struktur. Der Prototyp einer endlichen zyklischen Gruppe ist die aus der Linearen Algebra bekannte Reste-Gruppe bzw. Restklassen-Gruppe (Z m, + m )bzw.(z/mz, +); siehe [LinA, und ]. Im unendlichen Fall hat man die Gruppe Z als im wesentlichen einzige zyklische Gruppe. Im Zusammenhang mit der Untersuchung zyklischer Gruppen steht der Begriff der Ordnung eines Elementes. Er wird in diesem Abschnitt eingeführt und in einigen wichtigen Situationen studiert. Er spielt eine grundlegende Rolle für jegliche Untersuchung endlicher Gruppen, sei es in der abstrakten Gruppentheorie, der Zahlentheorie oder der Geometrie. Die Bedeutung der zyklischen Gruppen in der (ebenen) Geometrie wird durch die Sätze und beleuchtet, die zum Abschluss dieses Abschnittes formuliert und bewiesen werden. Vor dem eigentlichen Thema noch eine kleine Ergänzung zur allgemeinen Gruppentheorie. Satz Es seien (G, ) und (H, ) Gruppen und ϕ : G H ein Homomorphismus. a) Für jede Untergruppe A G ist das Bild ϕ(a) ={ϕ(x) x A} eine Untergruppe von H. b) Für jede Untergruppe B H ist das Urbild ϕ 1 (B) ={x G ϕ(x) B} eine Untergruppe von G. c) Insbesondere ist der Kern von ϕ Ker ϕ := {x G ϕ(x) =e H } eine Untergruppe. ϕ ist injektiv genau dann, wenn der Kern trivial ist: Ker ϕ = {e G }. Die entsprechenden Sachverhalte für Vektorräume, lineare Abbildungen und Teilräume sind sicher vertraut. Die letzte Aussage ist eine Variante der bekannten Tatsache, daß eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn ihr Kern nur aus der Null besteht. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist übrigens keine beliebige Untergruppe, sondern ein sogenannter Normalteiler; wir kommen darauf zurück. Vor der folgenden Definition führen wir in naheliegender Weise die Potenzschreibweise für beliebige (multiplikativ geschriebene) Gruppen ein.

2 114 Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau Definition und Bemerkung (Potenzgesetze) Es sei G eine Gruppe mit Verknüpfung und neutralem Element e. Für a G sowie n Z definiere a a... a,fallsn>0 a n n-mal = e,fallsn =0 a 1 a 1... a 1,,fallsn<0. n -Mal Dann gilt für alle m, n Z a m+n = a m a n. Insbesondere ergibt sich für jedes m Z D.h. das Inverse von a m ist (a 1 ) m. e = a 0 = a m (a 1 ) m, also (a m ) 1 =(a 1 ) m. Ergänzung Die Notation a n verwendet man nur bei multiplikativer Schreibweise der Verknüpfung, z.b. a b, ab (ohne Symbol), a b, a b, abernichtfür die Addition +. In einer Gruppe mit Verknüpfungssymbol + schreibt man für a G, n Z n.a = a + a a,wennn>0 n-mal 0, wenn n =0 ( a)+( a)+...+( a) n -Mal Bemerkung und Definition 2.2.3,wennn<0 a) Es sei G eine beliebige Gruppe und a G. Definiere bei multiplikativer bzw. a := {a n n Z}, a := {n.a n Z} bei additiver Schreibweise der Verknüpfung. Dieses ist eine Untergruppe von G, die sogenannte von a erzeugte Untergruppe. b) Eine Gruppe G heißt zyklisch, fallseina G existiert mit a = G. In diesem Fall heißt a Erzeuger oder erzeugendes Element von G.

3 Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau 115 Die drei Eigenschaften einer Unterguppe prüft man unmittelbar anhand der Potenzgesetze nach. Man kann sich auch auf a) berufen: die Teilmenge a ist das Bild eines Homomorphismus, nämlich der Abbildung n a n, Z G und als solches eine Untergruppe von G. Ebenfalls aus den Potenzgesetzen ergibt sich folgende Tatsache: Bemerkung Jede zyklische Gruppe ist abelsch. Denn wenn x und y zwei beliebige Elemente aus G = a sind, so schreibe x = a n, y = a m.esist x y = a n a m = a n+m = a m+n = a m a n = y x. Beispiele (Zyklische Gruppen) (1) Die Gruppen (Z, +) und (Z/mZ, +) sind zyklisch mit Erzeuger 1 bzw. 1. Ein Erzeuger ist nicht eindeutig bestimmt. Für Z ist die einzige weitere Möglichkeit 1; bei Z/mZ hängt die Antwort natürlich von m ab: so gilt etwa für m =10genaudanna = Z/10Z, wenna {1, 3, 7, 9} ist. (2) Allgemein gilt für beliebiges m N,m>1unda Z [a] m = Z/mZ [a] m (Z/mZ), d.h. eine Restklasse ist Erzeugendes der additiven Restklassengruppe genau dann, wenn sie Einheit (invertierbar) im Restklassenring ist. Siehe [LinA, ] für die Einheiten in Z/mZ. (3) Die Vielfachenmenge mz = {mz z Z} ist die von m erzeugte (zyklische) Untergruppe von Z (insbesondere überhaupt eine Untergruppe, siehe Beispiel (1)). (4) Die (multiplikative) Gruppe (Z/5Z) ist zyklisch mit Erzeuger g = 2, denn (Z/5Z) = {2, 4, 3, 1} = {g, g 2,g 3,g 4 = e}. (5) Die Gruppe (Z/8Z) = {1, 3, 5, 7} ist nicht zyklisch, denn für jedes Gruppenelement g gilt g 2 = 1=e; für einen Erzeuger g müsste aber g 2 = e gelten. Aus ähnlichen Gründen ist auch die (additive) Gruppe Z/2Z Z/4Z nicht zyklisch; siehe unten (6) Entgegen dem ersten Anschein ist die Gruppe Z/2Z Z/3Z zyklisch. Als Erzeuger kann man das Paar (1, 1) nehmen (wobei natürlich 1=[1] 2,,1 = [1] 3 ist). Fortgesetztes Addieren dieses Elementes liefert nämlich alle sechs Elemente von Z/2Z Z/3Z.

4 116 Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau Der folgende Satz beantwortet im Anschluß an Beispiel (3) die naheliegende Frage, ob es in Z noch weitere Untergruppen gibt. Satz Jede Untergruppe von (Z, +) ist zyklisch, also von der Form mz für ein m Z. Beweis: Die in Frage stehende Untergruppe H sei o.b.d.a = {0}. Seim das kleinste positive Element von H. Offenbar ist m = 0. Wir wollen zeigen, daß dieses m das gesuchte erzeugende Element ist, also jedes andere Element a H ein Vielfaches von m ist. Hierzu teilt man a durch m mit Rest r. Dannliegt r = a qm ebenfalls in H und ist kleiner als m, alsonachwahlvonm gleich 0. Beachte: Für eine gegebene Untergruppe von Z ist das erzeugende Element m eindeutig bestimmt, wenn wir noch m 0verlangen.Dennfür zwei Erzeuger m, n gilt m n m. Wir geben nun zwei Anwendungen von Satz Die erste Anwendung ist eine Beschreibung der von einem Gruppenelement a erzeugten Untergruppe a von G. Im Hinblick auf den diesbezüglichen Satz treffen wir zunächst die folgende Definition. Definition Sei (G, ) einegruppeunda G. Dannheißt ord(a) :=min{n N a n = e} die Ordnung von a. Wir setzen ord(a) =, fallskeinsolchesn existiert. Das neutrale Element einer Gruppe, und nur dieses, hat die Ordnung 1. Jede Spiegelung hat die Ordnung 2 (etwa in Iso(E)). Die Restklasse [1] m in Z/mZ hat die Ordnung m; dieklasse[2] 6 hat die Ordnung 3; in Z hat jedes Element = 0die Ordnung unendlich. Eine weitere Sorte von Gruppenelementen, deren Ordnung man unmittelbar sieht, sind die Zyklen in der symmetrischen Gruppe: Bemerkung Es sei ρ =(i 1,i 2,...,i )einzyklusderlänge in der symmetrischen Gruppe S n.dannist auch die Ordnung von ρ. Der Beweis ergibt sich durch Ausschreiben von ρ =(x 0,x 1,...,x 1 )undscharfes Hinsehen: für 0 m < bildet ρ m das Element x i auf x (i+m) mod ab, also jedenfalls nicht auf sich selbst, und folglich ist ρ m nicht die Identität. Aus dem gleichen Grund gilt ρ =id. Zurück zur allgemeinen Theorie. Der folgende Satz beinhaltet insbesondere, daß die Ordnung eines Gruppenelementes genau die Anzahl der Elemente der davon erzeugten Untergruppe ist.

5 Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau 117 Satz Es sei (G, ) eine Gruppe, a G, m =ord(a) die Ordnung von a. a) Es sei m < angenommen. Für n Z gilt a n = e m n und allgemeiner für k, l Z Weiter ist a k = a l k m l. a = {e = a 0, a, a 2,...,a m 1 }, und die angegebenen Elemente sind paarweise verschieden. Insbesondere ist a = m. b) Es sei m =. Dann sind die Elemente a n, n Z alle voneinander verschieden. Beweis: Die Menge H = {n Z a n = e} ist der Kern des Homomorphimus ϕ : n a n, Z a, also eine Untergruppe von Z. NachSatz2.2.6istH = Zm für ein m Z, m 0. Im Fall a) ist m H, alsoh = {0}. Nach Definition der Ordnung ist m das kleinste positive Element von H; diegleicheeigenschafthatwegenh = Zm offenbar auch m. Also ist m = m, was genau die erste Behauptung unter a) beweist. Die zweite Behauptung wird durch betrachten von n := l k unmittelbar auf die erste zurückgeführt. Die dritte folgt schließlich aus der zweiten (und der selbstverständlich verwendeten Tatsache, daß die Zahlen 0, 1,...,m 1einRe- präsentantensystem für die Kongruenzklassen bilden; man kann für die Exponenten auch jedes andere Repräsentantensystem nehmen, etwa 0, ±1,...±(m 1)/2 für ungerades m.) Im Fall b) ist definitionsgemäß H = {0}, undsomitϕinjektiv, was genau die Behauptung ist. Korollar Eine endliche Gruppe G mit n Elementen ist dann und nur dann zyklisch, wenn sie ein Element der Ordnung n enthält. Genauer gilt für a G die Äquivalenz: a erzeugt G ord(a) =n. Beweis: a besteht aus m := ord(a) Elementen, ist also genau dann gleich ganz G, wennm = n ist. Dieses Korollar liefert auch die prinzipielle Methode zu begründen, daß eine vorgelegte Gruppe G nicht zyklisch ist: wenn man eine Zahl m< G angeben kann mit a m = e für alle a G, dannkanng nicht zyklisch sein, denn alle Ordnungen von Elementen von G sind kleiner gleich m (sogar Teiler von m). In dem oben unter (5) erwähnten Fall Z/2Z Z/4Z kann man m =4nehmen(man

6 118 Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau beachte die additive Schreibweise: die Bedingung lautet 4.a = 0, was offenbar zutrifft). Die Frage, wann ein allgemeines Produkt Z/mZ Z/nZ zyklisch ist, wird in der Algebra abschließend geklärt: genau dann, wenn m und n teilerfremd sind. Wir kommen zurück zu dem Homomorphismus ϕ aus dem Beweis von Satz Er (bzw. schon das zugrundeliegende Potenzgesetz) beschreibt eine zyklische Gruppe vollständig, d.h. bis auf Isomorphie. Mit anderen Worten, für gegebenes m gibt es bis auf Isomorphie nur eine zyklische Gruppe mit m Elementen. Der folgende Satz (der wie gesagt im Wesentlichen schon bewiesen ist), hält dieses genau fest: Satz Es seien wie eben (G, ) eine Gruppe, a G, a die von a erzeugte Untergruppe und m =ord(a) die Ordnung von a. a) Für m< ist a = Z/mZ. Ein Isomorphismus ist gegeben durch n a n, Z/mZ a. b) Für m = ist a = Z. Ein Isomorphismus ist gegeben durch n a n, Z a. Beweis: Es ist allenfalls bei a) noch etwas zu beweisen. Wenn wir die dort angegebene Abbildung mit ψ bezeichnen, so ist vor allem einzusehen, daß ψ wohldefiniert ist. D.h. für k, n Z mit k = n ist a k = a n einzusehen. Das folgt aber sofort aus Teil a) des vorigen Satzes, aus dem sich auch die Injektivität ergibt. Die Surjektivität ist nach Definition von a klar, die Homomorphie-Eigenschaft folgt aus der von ϕ (und aus der Definition der Restklassenaddition). In der Algebra lernt man, daß die Definition von ψ sowie die Eigenschaften dieser Abbildung Spezialfall eines ganz allgemeinen Sachverhaltes, nämlich des sog. Homomorphiesatzes sind. Hier wird Z/mZ durch eine allgemeinere sogenannte Faktorgruppe ersetzt. Es folgen nun zwei Sätze, die für das häufige Auftreten von zyklischen Gruppen in der Diskreten Geometrie mit verantwortlich sind. In der Geometrie werden, bedingt durch das Vorhandensein von Translationen, auch unendliche Gruppen von Isometrien betrachtet. Die folgende Definition klärt (zumindest für Translationen), in welchem Sinn die von uns betrachteten Gruppen wesentlich weniger Elemente enthalten als die vollständige Isometrie- bzw. Translationsgruppe des euklidischen Raumes. Definition Essei (E,, ) ein euklidischer Vektorraum. Eine Untergruppe G von (E,+) heißt diskret, falls eine Zahl ε>0existiertmitv G, v < ε v = 0. Satz Jede diskrete Untergruppe von (R, +) ist zyklisch.

7 Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau 119 Beweis: siehe Vorlesung. Eine beliebige diskrete Untergruppe von R sieht also geometrisch bis auf den Maßstab, d.h. den Abstand zwischen zwei benachbarten Elementen, genauso aus wie Z als Teilmenge von R. Diskrete Untergruppen von höherdimensionalen Vektorräumen sind sogenannte Gitter, sie werden in späteren Kapiteln ausführlich studiert. Siehe insbesondere Abschnitt 2.6 und Definition Endliche zyklische Gruppen sind von besonderer Bedeutung in der ebenen (zweidimensionalen) Geometrie. Der Grund steckt in dem folgenden Satz. Satz Jede endliche Untergruppe der Drehgruppe SO 2 (R) ist zyklisch. Beweis: siehe Vorlesung. Wir runden diesen Abschnitt ab, indem wir die Ordnungen von Elementen der symmetrischengruppeallgemein (nichtnur für Zyklen) bestimmen. Hierzu benötigen wir den eventuell noch nicht offiziell bekannten Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfachen: Definition Gegeben seien zwei ganze Zahlen a und b. EineganzeZahl k heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn sie folgende Eigenschaften hat: (1) a k und b k, (2) l Z, a l und b l = k l. In Worten: k ist ein Vielfaches von a und von b, undjedezahl,diegleichzeitig Vielfaches von a und b ist, ist ein Vielfaches von k. Der Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgv) ist also dual zum aus der Linearen Algebra (Satz 1.2.9) bekannten Begriff des größten gemeinsamen Teilers: die Definition hat die gleiche Struktur, aber alle Teilbarkeitsbeziehungen werden umgedreht. Es ist nach bekannten Einsichten über den ggt nicht mehr überraschend, dass ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existiert und (bis auf das Vorzeichen) eindeutig ist. Der folgende Satz hält dieses fest und stellt auch ein Beziehung zum ggt her. Satz Zu je zwei ganzen Zahlen a und b gibt es ein kleinstes gemeinsames Vielfaches k. Es ist unter der zusätzlichen Forderung k 0 eindeutig bestimmt und wird mit kgv(a, b) bezeichnet. Falls a und b nicht beide Null sind, gilt kgv(a, b) =± ab ggt(a, b).

8 120 Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau Nun kehren wir zurück zur symmetrischen Gruppe. Satz Es sei σ ein beliebiges Element der symmetrischen Gruppe S n und σ = ρ 1 ρ 2... ρ r seine Zerlegung in elementfremde Zykel; mit i sei die Länge von ρ i bezeichnet. Dann ist die Ordnung von σ das kleinste gemeinsame Vielfache der i. Beweis: Grundlage ist die uns bekannte Aussage für einen Zyklus (d.h. für r =1).FürdieVerallgemeinerung ist entscheidend, dass die Faktoren ρ i alle miteinander vertauschbar sind: ρ i ρ j = ρ j ρ i für elementfremde Zykel ρ i und ρ j. Dieses liegt einfach daran, dass die Wirkungsbereiche in {1, 2,...,n} disjunkt sind. (Mit Wirkungsbereich einer Permutation meinen wir die Menge derjenigen Ziffern, die nicht auf sich selbst abgebildet werden.) Hieraus folgt, dass für jeden Exponenten m gilt σ m = ρ m 1 ρ m 2 ρ m r. Wieder wegen der disjunkten Wirkungsbereiche ist diese Abbildung nur dann gleich der Identität, wenn alle Faktoren ρ m i die Identität sind. Dieses gilt genau dann, wenn m ein Vielfaches der Ordnung von jedem ρ i ist, also i m für i =1,...,r nach Teil a). Nach Definition des kgv gilt dieses genau für kgv( 1,..., r ) m, wiegewünscht.