Übungsblatt 14. Lineare Algebra II, Prof. Dr. Plesken, WS 2008/09

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1 Übungsblatt 14 Lineare Algebra II, Prof. Dr. Plesken, WS 2008/09 Aufgabe 3. (Symmetrisches Produkt. 4 Punkte.) Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis B V n und ϕ: V K[x 1,...,x n ] 1 der Isomorphismus, welcher durch ϕ(b i ) = x i gegeben ist. 1. Definiere die Abbildung : V k K[x 1,...,x n ] k : (V 1,...,V k ) ϕ(v 1 ) ϕ(v k ). Zeige: (,K[x 1,...,x n ] k ) ist ein symmetrisches Produkt (dabei ist K[x 1,...,x n ] k der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad k). 2. Zeige: Es gilt SV = K[x 1,...,x n ] (Isomorphismus von K-Algebren). Lösung. 1. Die angegebene Abbildung ist offensichtlich multilinear und die Symmetrie folgt sofort aus der Kommutativität von K[x 1,..., x n ]. Wir müssen also die universelle Eigenschaft zeigen d.h. wir zeigen, dass zu einer gegebenen multilinearen und symmetrischen Abbildung Ψ : V k U genau eine lineare Abbildung κ Ψ : K[x 1,..., x n ] k U existiert, sodass V k Ψ kommutiert, wobei R k := K[x 1,..., x n ] k. Es ist bekannt, dass die Monome der Form x i1...x ik K[x 1,..., x n ] mit 1 i 1... i k n eine Basis von K[x 1,..., x n ] k bilden. Weiterhin ist klar, dass die multilineare Abbildung Ψ : V k U durch Werte auf Tupeln von Basisvektoren, für die gegebene Basis B V n, festgelegt ist (vgl. Grammatrix für k = 2). Da Ψ zusätzlich symmetrisch ist benötigen wir nicht alle Tupel von Basisvektoren, sondern können uns zum Beispiel auf solche der Form (B i1,..., B ik ) V k mit 1 i 1... i k n beschränken (vgl. symmetrische Bifos welche durch die Werte auf (B 1, B 1 ), (B 1, B 2 ) und (B 2, B 2 ) eindeutig bestimmt sind). Jetzt ist jedoch klar, wie wir das Diagramm zum Kommutieren bringen. Wir setzen κ(x i1...x ik ) = Ψ(B i1,..., B ik ) und da die Werte auf einer Basis von K[x 1,..., x n ] k festgelegt sind, folgt auch die Eindeutigkeit von κ. 2. Da nach (9.45) das symmetrische Produkt eindeutig bestimmt ist, bekommen wir einen K-VR Isomorphismus k von S k V nach K[x 1,..., x n ] k gegeben durch: V V k a V V 1... V k V V k a V ϕ(v 1 )... ϕ(v k ). Da SV eine direkte Summe der einzelnen S k V ist, können wir für jede Komponente den gerade definierten Isomorphismus benutzen und bekommen somit einen wohldefinierten Isomorphismus ι (als K-Vektorräume) von SV = S k V K[x 1,..., x n ] k = K[x 1,..., x n ] mit ι S k V = k R k κ Ψ U

2 . Wir müssen nur noch zeigen, dass dieser Isomorphismus auch Produkte respektiert. Da ι eine lineare und Graderhaltende d.h. S k V wird nach K[x 1,..., x n ] k abgebildet und SV = S k V gilt, reicht es ι((v 1... V k ) (W }{{} 1... W l )) = ι(v }{{} 1... V k ) ι(w 1... W l ) S k V S l V zu zeigen. Dies ist jedoch aufgrund der Assoziativität von SV bzw. K[x 1,..., x n ] und der Definition von ι klar. Aufgabe 4. (Euklidische Ringe. 4 Punkte.) Sei (R,ν) ein Euklidischer Ring. 1. Seien a,b R mit a ggt(a,b). Zeige, dass man ggt(a,b) = r so wählen kann, dass ν(r) < ν(a) gilt. (Beachte: der größte gemeinsame Teiler von a und b ist nur bis auf Multiplikation mit Einheiten bestimmt, d.h. ist r ein größter gemeinsamer Teiler und e R eine Einheit, so ist auch er ein größter gemeinsamer Teiler.) Hinweis: Benutze den Euklidischen Algorithmus. 2. Es sei a R mit minimalem positiven ν-wert (d.h. ν(a) = min{ν(b) b R {0}}). Zeige, dass a eine Einheit in R ist. 3. Sei zusätzlich ν multiplikativ, d.h. ν(ab) = ν(a)ν(b) für alle a,b R. Zeige, dass a R genau dann eine Einheit ist, wenn ν(a) = 1 gilt. Zeige weiter, dass ν(r) < ν(a) für alle echten Teiler r von a gilt (also mit r a und a r), a,r R. Freiwilliger Zusatz: Sei R := Z und ν : R Z 0 : x { x, falls x 0, 2x, falls x < 0. Zeige, dass (R,ν) ein Euklidischer Ring ist, für den die Aussagen aus 3. nicht gelten. Lösung. 1. Der Euklidische Algorithmus liefert b = q 1 a + r 1 mit ν(r 1 ) < ν(a) a = q 2 r 1 + r 2 mit ν(r 2 ) < ν(r 1 ) r 1 = q 3 r 2 + r 3 mit ν(r 3 ) < ν(r 2 ). r n 2 = q n r n 1 + r n mit ν(r n ) < ν(r n 1 ) r n 1 = q n 1 r n Wegen a ggt(a, b) gilt r 1 0 und somit ist r n ein größter gemeinsamer Teiler von a und b, der außerdem ν(r n ) < ν(a) erfüllt.

3 2. Sei a R mit minimalem positiven ν-wert gegeben. Dann existieren q, r R mit 1 = ba + r mit ν(r) < ν(a). Aus der Minimalität von ν(a) folgt ν(r) = 0, also r = 0. Somit ist a invertierbar (mit a 1 = b). 3. Gilt ν(a) = 1 so ist a eine Einheit nach (2). Weiter gilt ν(1) = ν(1 1) = ν(1)ν(1), also ν(1) = 1. Ist a eine Einheit, so existiert ein b R mit ab = 1, und es folgt also ν(a) = 1. 1 = ν(1) = ν(ab) = ν(a)ν(b), Seien jetzt a, r R, so dass r ein echter Teiler von a ist. Dann gilt a = br für ein b R, und es folgt ν(a) = ν(b)ν(r). Ist ν(b) = 1, so ist b eine Einheit, also r = b 1 a, d.h. a r, im Widerspruch zur Annahme. Also gilt ν(b) > 1 und somit ν(r) < ν(a). Freiwilliger Zusatz: LA I, Bemerkung 2.13: Zu a, b Z mit b 0 existieren eindeutige q Z, r Z 0 mit a = qb + r und r < b. Wegen b = ν( b ) ν(b) folgt also, dass (R, ν) ein Euklidischer Bereich ist. Gegenbeispiel zur ersten Aussage in 3: ν( 1) = 2 1, aber 1 ist eine Einheit in Z. Gegenbeispiel zur zweiten Aussage in 3: 3 ist ein echter Teiler von 6, aber ν( 3) = 6 = ν(6). Aufgabe 5. (Simultane Kongruenzen und Differentialgleichungen. 4 Punkte.) Bestimme alle Lösungen x Z 3 1 bzw. x R 3 1 von Ax b (mod 27Z 3 1 ) für A := , b := Seien x 1,x 2,x 3 unendlich oft differenzierbare Funktionen auf R. Bestimme die Lösungen des Differentialgleichungssystems x 1 + x 1 + x 2 + 3x 2 + 2x 2 + x 3 + 4x 3 + 3x 3 = 0, x 1 x 1 2x 1 + x 2 + 2x 2 4x 2 5x 2 + x 3 + 2x 3 5x 3 6x 3 = 0.

4 Lösung. 1. Wir bringen die Matrix A auf Smith-Normalform und merken uns die Spaltenumformungen: Wir haben nur im letzten Schritt Spaltenumformungen gemacht, und zwar mit der Matrix W := Man sieht, dass das System keine Lösungen in Z 3 1 hat (da 3z 2 1 (mod 27Z) nicht lösbar ist), und die Lösungen in R 3 1 sind gegeben durch z 1 10/3 + 27z z 2 + 9z 3 W 1/3 + 9z 2 = 1 + 9/2z 3 1/3 + 9z /2z 3 mit z 1, z 2, z 3 Z. 2. Analog zu Beispiel 10.6 schreiben wir das Differentialgleichungssystem um als mit M = x 1 M x 2 = 0 x 3 x + 1 x 2 + 3x + 2 x 2 + 4x + 3 x 2 x 2 x 3 + 2x 2 4x 5 x 3 + 2x 2 5x 6 Wieder berechnen wir die Smith-Normalform von M und merken uns nur die Spaltenumformungen: x + 1 x M = 2 + 3x + 2 x 2 + 4x + 3 x 2 x 2 x 3 + 2x 2 4x 5 x 3 + 2x 2 5x 6 x + 1 x 2 + 3x + 2 x 2 + 4x x x x

5 Nur im letzten Schritt wurden Spaltenumformungen gemacht, und zwar mit der 1 (x + 2) (x + 3) Matrix W := Die Lösung des modifizierten Systems ist λ 1 e t λ 2 e t + λ 3 e t mit λ 1, λ 2, λ 3 R und f(t) C (R, R), und Transformieren mit f(t) W liefert die Lösung λ 1 e t λ 2 ( e t + 2e t ) λ 3 (e t + 2e t ) (f (t) + 3f(t)) λ 2 e t + λ 3 e t f(t) (λ 1 λ 2 )e t 3λ 3 e t (f (t) + 3f(t)) = λ 2 e t + λ 3 e t f(t). Aufgabe 6. (Teilmoduln von Euklidischen Ringen. 4 Punkte.) Sei (R, ν) ein Euklidischer Ring. Gib ein Verfahren an, welches für endliche Teilmengen M R ein Element e R findet mit Re = M. Führe dieses Verfahren für R := Z und M := {492,936,690,567} durch. Lösung. Sei M = {m 1,...,m k }. Sei g der größte gemeinsame Teiler von m 1 und m 2. Der erweiterte Euklidische Algorithmus liefert Elemente a, b R mit g = am 1 + bm 2. Also gilt g m 1, m 2, und umgekehrt ist klar, dass m 1, m 2 g liegt. Also folgt m 1,..., m k = g, m 3,...,m k. Die Menge {g, m 3,...,m k } hat nur noch k 1 Elemente, also führt Induktion zum Ziel: m 1,..., m k = ggt(m 1,..., m k ). Wir führen das Verfahren durch für M := {492, 936, 690, 567} Z. Es gilt ggt(492, 936) = 12, also M = 12, 690, 567. Weiter: ggt(12, 690) = 6, also M = 6, 567, und ggt(6, 567) = 3, d.h. M = 3. Alternativ kann man schon nach der ersten ggt-berechnung aufhören, da die vierte Zahl (567) ungerade ist, d.h. der ggt der vier Zahlen ist 1 oder 3 und es ist klar, dass 3 alle vier Zahlen teilt. Aufgabe 7. (Struktursatz. 4 Punkte.) Schreibe alle Isomorphietypen endlicher abelscher Gruppen der Ordnung 72 hin Benutze den Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über Euklidischen Bereichen (bzw. dessen Folgerung 10.41) um einen Beweis dafür zu geben, daß eine quadratische Matrix zu ihrer Transponierten ähnlich ist.

6 Lösung. 1. Nach Satz (10.42) bekommen wir bis Isomorphie alle abelschen Gruppen A der Ordnung 72 in der Form A = i Z/d iz + Z t mit d i d i+1. Da unsere Gruppe von endlicher Ordnung ist, folgt t = 0 und 72 = i d i. Wir bekommen also alle abelschen Gruppen der Ordnung 72 dadurch, dass wir alle möglichen aufsteigenden Ketten d 1,..., d n mit d i N, d i > 1, d i d i+1 und i d i = 72 finden. Durch sukzessives Abdividieren von Teilern erhalten wir die folgenden Möglichkeiten: (72), (2, 36), (2, 6, 6), (2, 2, 18), (3, 24) und (6, 12). Somit sind alle abelschen Gruppen der Ordnung 72 Isomorph zu einer der Folgenden: Z/72Z, Z/2Z Z/36Z, Z/2Z Z/6Z Z/6Z Z/2Z Z/2Z Z/18Z, Z/3Z Z/24Z, Z/6Z Z/12Z 2. Nach dem Struktursatz bzw. Satz sind die Matrizen A, A tr K n n genau dann ähnlich, wenn die Matizen xi n A und xi n A tr diesselben Invariantenteiler haben. Seien nun U, V GL n (K[x]), sodass U(xI n A)V = diag(1,..., 1, d 1,..., d k ) in Invariantenteilerform ist, dann gilt, da Diagonalmatrizen symmetrisch sind, diag(1,..., 1, d 1,..., d k ) = V tr (xi n A tr )U tr und somit stimmen die Invariantenteiler der Matrizen überein. Damit ist die Ähnlichkeit bewiesen. Aufgabe 8. (Frobenius-Normalform. 4 Punkte.) Bestimme die Frobenius-Normalformen der vier Matrizen aus Übung 9, Aufgabe Sei A K n n mit charakteristischem Polynom χ A = p c für ein irreduzibles Polynom p K[x]. Bestimme die zu A gehörige Partition von c in Abhängigkeit der Invariantenteiler von xi n A. Lösung. 1. MAPLE 2. In der hier vorliegenden Situation gilt für V K n 1 : λ(v ) = min{r N p(a) r V = 0} (Vgl. 7.10). Desweiteren ergibt sich die zu A gehörende Partition von c aus den Längen der Vektoren in einer (absteigend nach Länge geordneten) Zerlegung K n 1 = k i=1 V i A. Wählen wir nun für V i A die Basis V i, AV i,..., A Grad(p)λ(Vi) 1 V, so ist A ähnlich zu Diag(M p1,..., M pk ) wobei p i = µ A,Vi. Da sich die Invariantenteiler unter Basiswechsel nicht ändern, folgt aus Teil 2, dass die p i gerade den Invariantenteilern entsprechen. Weiterhin gilt p i = p λ(vi) und somit erhalten wir aus den Exponenten der Invariantenteiler die zu A gehörende Partition von c.