2. Teil: Diskrete Strukturen

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1 2. Teil: Diskrete Strukturen Kenntnis der Zahlenbereiche N, Z, Q, R, C setzen wir voraus. Axiomatische Einführung von N über Peano-Axiome. Z aus N leicht abzuleiten. Wie wird Q definiert? R ist der erste überabzählbare Zahlenbereich. Von R gelangt man zu C durch Hinzunahme von i = p 1. In N gibt es die wichtige Teilmenge der Primzahlen. Einheit 14 Folie 14.1

2 Halbgruppen und Monoide Sei M eine Menge und eine zweistellige Verknüpfung, d.h. : M M! M, (m, n) 7! (m, n) Man schreibt dann oft m n statt (m, n). Wenn eine assoziative Verknüpfung ist, sagen wir: (M, ) bildet eine Halbgruppe. Hierbei bedeutet assoziativ, dass 8a, b, c 2 M :(a b) c = a (b c). Wenn in einer Halbgruppe (M, ) außerdem noch ein neutrales Element existiert, d.h. ein e 2 M, fürdasa e = e a = a für alle a 2 M, dannsagenwir (M, ) bildet ein Monoid. Manchmal schreibt man auch (M,, e), um das neutrale Element herauszuheben. Einheit 14 Folie 14.2

3 Gruppen Wenn ein Monoid für jedes Element ein sogenanntes beidseitiges Inverses enthält, so nennen wir es eine Gruppe: (G,, e) Wir zählen noch einmal alle Bedingungen an die Gruppenstruktur auf, man nennt sie auch Gruppenaxiome: : G G! G, (g 1, g 2 ) 7! g 1 g 2 (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) für alle g 1, g 2, g 3 2 G g e = e g = g für alle g 2 G Für jedes g 2 G gibt es ein h 2 G mit g h = h g = e Gilt außerdem g h = h g für alle g, h 2 G, dannistg eine kommutative oder abelsche Gruppe. Einheit 14 Folie 14.3

4 Ringe und Körper Ein Ring R besteht aus einer additiven Gruppe mit neutralem Element 0, d.h. (R, +, 0) ist eine abelsche Gruppe, sowie einer zusätzlichen Operation (der Multiplikation), so dass (R,, 1) mit einem Element 1 2 R ein Monoid bildet und die Distributivgesetze gelten: a (b + c) =a b + a c und (a + b) c = a c + b c. Ein Körper K ist ein kommutativer Ring (also ein Ring, bei dem auch die Multiplikation kommutativ ist, d.h. a b = b a für alle a, b), bei dem die Menge K \{0} mit der Multiplikation ebenfalls eine Gruppe bildet, d.h. für jedes a 2 K \{0} gibt es ein Inverses b 2 K \{0}, sodassa b = b a = 1gilt. Einheit 14 Folie 14.4

5 Unterstrukturen Wenn X eine algebraische Struktur ist, dann ist eine Teilmenge Y X eine Unterstruktur, falls Y ebenfalls die von X geforderten Struktureigenschaften hat. So gibt es also Untergruppen in Gruppen, Untermonoide in Monoiden, Unterhalbgruppen in Halbgruppen, und natürlich auch Unterringe in Ringen und Unterkörper in Körpern. Beispiele: In der Gruppe (Z, +, 0) ist für festes n 2 N die Menge nz = {n z z 2 Z} eine Untergruppe. Im Körper R ist Q ein Unterkörper. Im Monoid aller Wörter über dem Alphabet {a, b, c} bilden die Wörter, die nur aus a s und b s bestehen, ein Untermonoid. Einheit 14 Folie 14.5

6 Homomorphismen Ein Homomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung. So ist z.b. ein Monoid-Homomorphismus eine Abbildung ' von einem Monoid (M 1, 1, e 1 ) in ein Monoid (M 2, 2, e 2 ) mit der Eigenschaft, dass '(m 1 m 0 )='(m) 2 '(m 0 ) und '(e 1 )=e 2 gilt. In ähnlicher Weise gibt es auch Gruppenhomomorphismen, Ringhomomorphismen und Körperhomomorphismen. Homomorphismen mit zusätzlichen Eigenschaften haben spezielle Namen: Monomorphismus (injektiver Homomorphismus), Epimorphismus (surjektiver Homomorphismus), Isomorphismus (bijektiver Homomorphismus). Einheit 14 Folie 14.6

7 Euklidischer Algorithmus Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers mit Euklid: function ggt (m, n) Hierbei ist m begin 0undn 0vorausgesetzt. if m = 0 then return n else return ggt (n mod m, m) fi end Man sieht leicht, dass die folgende Gleichheit gilt: ggt (n mod m, m) =ggt (m, n) Denn jeder Teiler von m und n teilt auch n mod m, undjeder Teiler von m und n mod m teilt auch n. Daraus folgt unmittelbar die Korrektheit des Algorithmus. (Die Termination des Algorithmus ist klar, da die Zahlen immer kleiner werden.) Einheit 14 Folie 14.7

8 Beispiele Wir illustrieren die Arbeit des Euklidischen Algorithmus bei der Berechnung des ggt von 68 und 171: 171 = = = = = = = = = Rechts die Variante mit negativen Zahlen der ggt ist 1 und wird in beiden Varianten korrekt berechnet. Zur Übung berechnen wir noch ggt (210, 78): 210 = = = = Also: ggt (210, 78) =6 Einheit 14 Folie 14.8

9 Lemma von Bézout Das Lemma von Bézout besagt, dass man ggt (m, n) immer als Linearkombination von m und n darstellen kann: Lemma: Für alle m, n 2 Z existieren a, b 2 Z, sodass ggt (m, n) = am + bn Beweis: Es sei ohne Einschränkung m > n > 0. Mit Euklids Algorithmus erhalten wir Reste r 0 > r 1 > > r k,sodass r 0 = m, r 1 = n, r k = 0, r k 1 = ggt (m, n) und für alle 1 apple i < k: r i 1 = q i r i + r i+1 Damit ist r k 1 eine Linearkombination von r k 2 und r k 3,undmankann induktiv schließen, dass r k 1 auch eine Linearkombination von r 1 = n und r 0 = m ist. Da aber r k 1 = ggt (m, n) ist, erhalten wir die Behauptung. Einheit 14 Folie 14.9

10 Zwei Aufgaben Aufgabe 1.1: Zeige, dass log 10 (p) 62 Q für beliebige Primzahl p. Lösung: Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, log 10 (p) = a b mit a, b 2 N. Dann folgt: p b =(10 log 10 (p) ) b = 10 a = 2 a 5 a. Damit müssten sowohl 2, als auch 5 Teiler von p b, und damit von p sein, ein Widerspruch, da ja p eine Primzahl ist! Aufgabe 1.2: a) Berechne x, y 2 Z mit ggt (35, 56) =x 35 y 56. b) Und jetzt dasselbe für x, y 2 N. Bitte selbst lösen. Zur Kontrolle die Ergebnisse: 7 =( 3) 35 ( 2) 56 und 7 = Einheit 14 Folie 14.10