Elemente der Algebra. Eine Einführung in Grundlagen und Denkweisen. Von Doz. Dr. Peter Göthner Universität Leipzig

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1 Elemente der Algebra Eine Einführung in Grundlagen und Denkweisen Von Doz. Dr. Peter Göthner Universität Leipzig B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart Leipzig 1997

2 Inhalt 1 Strukturen mit einer binären Operation Gruppen und Halbgruppen Der Gruppenbegriff Additive bzw. multiplikative Schreibweise von Gruppen Halbgruppen, Ordnung von Gruppen und Halbgruppen Folgerungen aus Gruppen- und Halbgruppenaxiomen Neutrale Elemente in Gruppen und Halbgruppen Lösbarkeit von Gleichungen in Gruppen Unterschiedliche Axiomensysteme für Gruppen Potenzen von Gruppenelementen Isomorphie Begriff der Isomorphie Isomorphie als Aquivalenzrelation Übertragung von Struktureigenschaften durch Isomorphismen Unterstrukturen Untergruppen und Unterhalbgruppen Durchschnitt von Untergruppen - Komplexe erzeugen Untergruppen Nebenklassen - der Satz von LAGRANGE Konstruktion von Nebenklassen Zusammenhang zwischen Gruppenordnung und Ordnung einer Untergruppe Zyklische Gruppen Erzeugende Elemente Struktur zyklischer Gruppen Permutationsgruppen, Restklassengruppen und Gruppen von Deckabbildungen Gruppen von Permutationen Restklassengruppen Der kleine FERMATsche Satz Gruppen von Deckabbildungen Isomorphieklassen von Gruppen kleiner Ordnung 60

3 Inhalt % Strukturen mit zwei binären Operationen Ringe und Körper Die Struktur eines Ringes Die Struktur eines Körpers Folgerungen aus Ring- und Körperaxiomen Rechenregeln in Ringen Nullteiler Potenzgesetze und Gesetze der Vervielfachung in Ringen Unterstrukturen von Ringen und Körpern Unterringe und Unterkörper Charakteristik von Ringen und Körpern - Primkörper Isomorphe Einbettungen 76 3 Strukturerhaltende Abbildungen Homomorphe Abbildungen Gruppen- und Ringhomomorphismen Eigenschaften homomorpher Abbildungen Der Kern homomorpher Abbildungen Homomorphiesätze Normalteiler, Gruppenhomomorphismen und Faktorgruppen Der Homomorphiesatz für Gruppen Ideale, Restklassenringe, der Homomorphiesatz für Ringe 88 4 Konstruktion von Strukturen Direkte Produkte Konstruktion von Integritätsbereichen aus Halbringen Von einer kommutativen regulären Halbgruppe zur Gruppe Vom Modul [Z;+] zum Integritätsbereich [Z;+; ] Konstruktion eines Quotientenkörpers aus einem Integritätsbereich Zielstellungen und Ansätze bei der Konstruktion eines Quotientenkörpers Existenz und Eindeutigkeit des Quotientenkörpers 98

4 Inhalt Polynomringe Addition und Multiplikation von Polynomen Polynomringe und ihre Eigenschaften Einsetzungshomomorphismen Quadratische Erweiterungsringe Körper erweiter ungen Zielstellungen und Ansätze für Körpererweiterungen Einfache Körpererweiterungen Algebraische Körpererweiterungen Teilbarkeit Teilbarkeit in Integritätsbereichen Eigenschaften der Teilerrelation Einheiten und Assoziiertheit Primelemente Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches Euklidische Ringe Der euklidische Algorithmus im Ring der ganzen Zahlen Teilbarkeitsaussagen in euklidischen Ringen Zerlegung in Primelemente Teilbarkeitsaussagen in ZPE-Ringen Diophantische Gleichungen und lineare Kongruenzen Algebraische Gleichungen Abspaltung von Linearfaktoren Die Menge C der komplexen Zahlen als algebraisch abgeschlossener Körper Darstellung von Nullstellen durch Radikale Algebraische Behandlung von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 138

5 10 Inhalt 7 Angeordnete Strukturen Positivitätsbereiche in Gruppen und Ringen Ordnungsrelationen und Positivitätsbereiche Archimedische Anordnungen und Dichtheit Vollständig angeordnete Körper 146 Lösungshinweise zu den Übungen 148 Überblick über benutzte Symbole 167 Literatur 168 Sachverzeichnis 169