1 3. Nullstellen- und Z erfällungskörper von Polynomen

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1 1. Nullstellen- und Z erfällungskörper von Polynomen Im ganzen apitel ist ein örper ( Polynome und Polynomring) [ X] der -Vektorraum der Polynome in der Unbestimmten X, mit Basis { X 0, X 1, X, = { X n n N [ X] = { i N 0 a i, fast alle = 0 Für 0 f [ X] sei deg( f) = max { i a i 0 Grad von f, ( deg( 0) = ) l( f) = a d eg ( f ) der Leitkoeffizient von f f normiert, unitär l( f) = 1 Auf [ X] definiere eine Multiplikation durch f = a i X i, g = i j Diese Multiplikation von b j X j, f g = ( k N 0 i, j; i + j = k a i b j ) X k ist [ X] [ X] [ X] ( f, g) f g = f g wohldefiniert -bilinear kommutativ distributiv hat 1 -Element X 0 = : 1. Setze weiter X X 1 ( X i ) ( X j ) = X i + j [ X] ist ein kommutativer Ring mit 1 -Element X 0 = 1 [ X ] = : 1 [ X] a 1 [ X ] a = a X 0 ist Unterring Für f, g [ X] sei { f g f teilt g definiert durch: h [ X] mit f h = g 1

2 Für f, g [ X] gelten: deg( f + g) max ( deg( f), deg( g) ) deg( f g) = deg( f) + deg( g) l( f g) = l( f) l( g) ( f, g 0) Insbesondere ist [ X] nullteilerfrei. ( [ X] ) = = { a a 0 Teilen mit Rest: f, q [ X], deg( q) 1,! g, r [ X] mit f = g q + r und deg( r) < deg( q) ( [ X], deg) ist ein euklidischer Ring [ X] ist Hauptidealring, d. h. jedes Ideal I ist von der Form I = ( f) = [ X] f mit f = wohlbestimmtes normiertes Polynom kleinsten Grades d 0 in I, falls I { 0. f [ X] heißt Primelement oder Primpolynom oder irreduzibel, falls f keine Einheit ist und aus f = g h folgt: g oder h ist Einheit. f, g [ X]. Dann gelten: ( f) ( g) f = h geeign et g h g f ( f) = [ X] f Einheit f deg( f) = 0 ( f) = ( g) f = c g mit c f irreduzibel ( f) [ X] maximales Ideal R[ X] /( f) örper Jedes f [ X] besitzt eine eindeutige Darstellung: f = c 1 i s p i e i = l( f) p norm iertes P olynom p e p, ( fast alle e p = 0, e p N 0 ) mit verschiedenen normierten Primpolynomen p i und Exponenten e i N ( e i 1 ) und c, c = l( f). ( Primfaktorzerlegung) 1. ggt( f, g), kgv( f, g) sind per Definition normierte Polynome: ggt( f, g) = normiertes Polynom h mit ( f) + ( g) = ( h) kgv( f, g) = normiertes Polynom h mit ( f) ( g) = ( h) l( f) l( g) ggt( f, g) kgv( f, g) = f g Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung von ggt( f, g) 1. Wenn im folgenden ein Polynom obige G estalt hat, so ist diese Primfaktorzerlung hier gemeint.

3 onstruktion des örpers ( X) der rationalen Funktionen aus [ X] [ X] = { f( X) g( X) f, g [ X], g 0 ( Zu jedem p P existieren unendliche örper der Charakteristik p, nämlich F p ( X) ) Abdividieren von Nullstellen: f [ X], f( α) = 0 f( X) = g( X) ( X α), wobei g( X) [ X] eindeutig bestimmt ist Jedes f [ X] hat höchstens d = deg( f) viele Nullstellen in Für d =, gilt: f irreduzibel über f hat keine Nullstellen in 1.. Satz: Es sei f [ X] irreduzibel vom Grad d 1. i. örpererweiterung L von vom Grad d, über dem f eine Nullstelle bekommt. ii. Jede minimale örpererweiterung L von, über dem f eine Nullstelle besitzt, hat Grad d über. iii. Sind L, L zwei örpererweiterungen von wie in ( ii) und sind α bzw. α Nullstellen von f in L bzw. in L, so! -Isomorphismus σ von L nach L, der α L auf α L abbildet. σ: L L σ ist -örperisomorphismus : σ = id Beweis. i. Setze L [ X] /( f). Dies ist eine örpererweiterung von vom Grad d, da dim [ X] /( f) = d ( die Restklassen von 1, X,, X d 1 bilden eine Basis). Als Polynom über L erfüllt f mit α Restklasse von X nach ( f) : f( α) = f( X) ( modulo ( f( X) ) ) 0 (! ) ii. Sei L wie verlangt, α L die Nullstelle. Die Menge { g [ X] g( α) = 0 ist ein Ideal I von [ X] mit f I. Weiter ist I [ X], also (! ) ist I = ( f) ein maximales Ideal ( da f irreduzibel). Deshalb ist f ( nach eventueller Normierung, f 1 [ L: ] = [ ( α) : ] = d. iii. Nach ( ii) ist L = ( α), L = ( α ), jeweils vom Grad d. l ( f ) f) das Minimalpolynom von α und. Die onstruktion des Quotientenkörpers funktioniert für alle kommutativen nullteilerfreien Ringe.

4 Ein -Isomorphismus σ: L L ist vollständig bestimmt durch σ( α) = α, da σ( α i ) = ( σ( α) ) i = α i gelten muss. Definiere also σ: L L als Vektorraumisomorphismus durch σ( α i ) = α i ( 0 i < d). Bleibt zu zeigen: die Ringhomomorphie von σ. Dies folgt aus: X α e [ X] e X α L = ( α) σ L = ( α ) - e, e sind Ringhomomorphismen, surjektiv - σ bijektiver Vektorraumhomomorphismus - Diagramm ist kommutativ σ ist multiplikativ Der örper L in 1.. heißt der Nullstellenkörper N f = N, f von f über. 1.. orollar: Zu jedem f [ X] vom Grad d 1 existiert eine örpererweiterung L vom Grad n mit n d!, über dem f in Linearfaktoren zerfällt. Eine minimale derartige Erweiterung L heißt Z erfällungskörper Z f = Z, f von f über. Je zwei Zerfällungskörper sind -isomorph. Beweis. Existenz: Induktion nach d. d = 1 : d > 1 : f = g h reduzibel, deg g, deg h < d. Z, f = Z L, h L: = Z, g f irreduzibel: b ( deg( h) )! b = [ Z L, h : L] a ( deg( g) )! a = [ L: ] [ Z, f : ] = a b ( deg( g) )! ( deg( h) )! ( deg( g h) )! Z, f = Z L, g deg ( d 1 )! f( X) = g( X) ( X α) L[ X] ( α) = L = N, f α Nullstelle von f d [ Z, f : ] d ( d 1 )! = d!. Achtung: Hier ist keine kanonische Isomorphie gemeint! 4

5 Eindeut igkeit: Seien Z, Z Zerfällungskörper von f über. Zeige Z Z über. Induktion nach d = deg f d = 1 : d > 1 : o. B. d. A. f normiert, f( X) = ( X α 1 ) ( X α d ) in Z[ X], α i Z. Alle α i Z = = Z Andernfalls f( X) = g( X) h( X), g, h [ X], g irreduzibel, deg g. Z N, f ( X ) X α σ = Z N, f = Z Z Seien α, α Nullstellen von g in Z bzw. Z N = N, g = ( α) deg g! σ ( α )! -Isomorphismus ( α) ( α ). σ Verwende σ zur Identifikation von ( α) und ( α ). Dann sind Z und Z beide Zerfällungskörper über oder über N des Polynoms f ( X ) N[ X] vom X α Grad d 1 Nach Induktionsvoraussetzung N-Isomorphismus σ von Z nach Z, der σ N = id N, also auch σ = id erfüllt Beispiele: i. = Q, f( X) = X irreduzibel über Q ( Wieso?) α = α 1, α, α Nullstellen in C, α reell ϱ = 1 + i = e i π α α = α 1 α 5

6 α = ϱ α α = ϱ α Z f = Q( α, α, α ) = Q( α, ϱ) Z f = Q( α, ϱ) Q( α) = N Q, f Q( ϱ) Q m Q ( α ), ϱ = m Q, ϱ ( X) = X 1 X 1 = X + X + 1 ii. = Q, f( X) = X 6 + X + 1 = X 9 1 X 1 hat als Nullstelle die primitiven 9. Einheitswurzeln = α a e i a π 9, a ( Z/9Z) { 1,, 4, 5, 7, 8 α α 1 β α + ᾱ R Z Q, f = Q( α) = N Q, f Q( α) R( α) = C Q( α) R Z Q, g = N Q, g = Q( β) R Q 6

7 α ist Nullstelle von X βx + 1 Q( β) [ X]. Also Q( α) = Q( β) ( α) vom Grad über Q( β). = β ist Nullstelle von X X + 1 Q[ X] (! ) = mq, β g( X) = ( X ( α 1 + α 8 ) ) ( X ( α 4 + α 5 ) ) ( X ( α + α 7 ) ) Q( β) [ X] iii. = F = Z/, f( X) = X 5 + X + 1 F [ X] f ist irreduzibel ( prüfe irreduzible Polynome des Grades 1 und auf Teilbarkeit) N N f hat Grad 5 über F, hat also 5 = Elemente. Für 0 x N gilt: x 1 = 1. Ist α eine Nullstelle von f, so ist N = F ( α). Sind α = α 1, α, α, α 4, α 5 alle Wurzeln von Z f N f, so muss jedes α i einen örper des Grades 5 über F erzeugen, also muss jedes α i eine 1. Einheitswurzel sein. Deshalb muss aber ( da X 1 1 = ( X x) ) jedes α i ( i =,, 4, 5) zu N = F ( α) gehören. 0 x N Also ist N f = Z f vom Grad 5 über F. In N[ X] und deshalb sogar in F [ X] gilt: f( X) ( X 1 1 ). Für jedes irreduzible Polynom des Grades 5 über F gilt: f ( X 1 1 ) Umgekehrt: Jeder Primteiler g von ( X 1 1 ), g ( X 1 ) hat den Grad 5, denn: Ist g X 1 1 X 1 und g( β) = 0, so ist F ( β) N = Z und [ F ( β) : F ] = deg g > 1. Also deg g = 5 ( da 5 P, und deg g [ F ( β) : F ] ). Also ist F ( β) = N = Z. X 1 1 X 1 = g irreduzib el d eg g = 5 g( X) Es gibt also genau 6 irreduzible Polynome des Grades 5 über F. Analog erhält man: Grad Rechnung: # irreduzible Polynome 7 = = 6 = 5 1 = = 0 = = = 1 6 = Bis auf F -Isomorphie gibt es nur einen örper mit Elementen. 7