15. Vorlesung. Primitive Polynome (Beispiel) Beispiel zur Konstruktion von GF(p)[x]/f (x) mit einem primitiven Polynom f (x) (Logarithmentafel)

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1 15. Vorlesung Primitive Polynome (Beispiel) Beispiel zur Konstruktion von GF(p)[x]/f (x) mit einem primitiven Polynom f (x) (Logarithmentafel) Struktur endlicher Körper Rechnen in endlichen Körpern Isomorphie von Körpern Satz vom primitiven Element Anwendung: BCH-Codes verstehen... Primitive n-te Einheitswurzeln Minimalpolynome

2 GF(p)[x]/f (x) für ein primitives Polynom f (x) Ist f (x) ein primitives Polynom vom Grad k über GF(p), dann sind die Elemente von GF(p k ) = GF(p)[x]/f (x): 0 x 0 = 1 x (mod f (x)) x 2 (mod f (x)). x pk 2 (mod f (x)) Multiplikation in GF(p)[x]/f (x): x i (mod f (x)) x j (mod f (x)) = x i+j (mod pk 1) (mod f (x)) Inverse Elemente: (x i (mod f (x))) 1 = x pk 1 i (mod f (x))

3 Logarithmentafel für GF(2)[x]/1 + x 3 + x 4 i α i x i mod 1 + x 3 + x 4 0 α α 1 x 2 α 2 x 2 3 α 3 x 3 4 α x 3 5 α x + x 3 6 α x + x 2 + x 3 7 α x + x 2 8 α 8 x + x 2 + x 3 9 α x 2 10 α 10 x + x 3 11 α x 2 + x 3 12 α x 13 α 13 x + x 2 14 α 14 x 2 + x 3

4 Bezeichnungen Bezeichung: α := x (mod f (x)) Es sei GF(p k ) = GF(p)[x]/f (x) ein endlicher Körper mit p k Elementen, wobei f (x) ein primitives Polynom vom Grad k über GF(p) ist. Es gilt dann und also GF(p k ) = {0} {x i (mod f (x)) i = 0, 1,..., p k 2} α i = x i (mod f (x)), GF(p k ) = {0} {α i i = 0, 1,..., p k 2}. Beispiel: 1 + x 3 + x 4 ist ein primitives Polynom vom Grad 4 GF(2 4 ) = GF(2)[x]/1 + x 3 + x 4 = {0} {α i i = 0, 1,..., 14}

5 Rechnen in GF(p k ) 0 0 = 0 GF(p k ) \ {0} = {α i i = 0, 1,..., p k 2} 0 α i = 0 für i {0, 1,..., p k 2} α i α j = α (i+j) mod pk 1 für i, j {0, 1,..., p k 2} (α i ) 1 = α pk 1 i = α i für i {0, 1,..., p k 2} α i + α j für i, j {0, 1,..., p k 2} kann man mit Hilfe einer Logarithmentafel berechnen: i α i x i mod f(x) α x 2 α 2 x 2...

6 Satz vom primitiven Element Für jeden endlichen Körper GF(q) ist die multiplikative Gruppe zyklisch ist. In GF(q) gibt es also jeweils ein Element α mit GF (q) \ {0} = α = {α, α 2,..., α q 1 }. α wird ein primitives Element genannt. Es gilt α q 1 = 1. Beispiel: 2 ist ein primitives Element in Z q für q = 11, q = 13, aber nicht für q = 17. x ist ein primitives Element in GF (2)[x]/x 3 + x + 1, aber nicht in GF (2)[x]/x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. x + 1 ist ein primitives Element in GF (2)[x]/x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Ist f (x) ein primitives Polynom über GF(p), dann ist x ein primitives Element in GF(p)[x]/f (x).

7 Primitive n-te Einheitswurzeln Die Nullstellen von x n 1 in GF(p k ) nennt man die n-ten Einheitswurzeln in GF(p k ). Die n-ten Einheitswurzeln bilden eine zyklische Untergruppe der multiplikativen Gruppe von GF(p k ). Eine n-te Einheitswurzel in GF(p k ) heißt primitive n-te Einheitswurzel, wenn sie in der multiplikativen Gruppe von GF(p k ) ein Element der Ordnung n ist. Sei ggt(p, n) = 1. GF(p k ) mit n (p k 1) (k > 0, k minimal) ist der Körper mit kleinstem k, so dass GF(p k ) primitive n-te Einheitswurzeln enthält.

8 Minimalpolynome m α i(x) Zu jedem Element von GF(p k ) \ {0} = {α i i = 0, 1,..., p k 2} gibt es ein Minimalpolynom m α i (x) über GF(p). m α i (x) GF(p)[x] ist irreduzibel über GF(p). m α i (x) = m α i pt (x) für alle t N m α i (x) ist das normierte Polynom kleinsten Grades aus GF(p)[x], das α i als Nullstelle hat. Berechnung der Minimalpolynome: α i GF(p k ) \ {0} m α i (x) = Z i = {i, ip, ip 2,..., ip l }; j Z i (x α j ) mit dabei bezeichnet l die kleinste positive natürliche Zahl mit i p l+1 i (mod p k 1).

9 Beispiel GF(2 4 ) = GF(2)[x]/1 + x 3 + x 4 (1 + x 3 + x 4 ist primitiv) Minimalpolynome von α 0, α 1,..., α 14 : Z 0 = {0} m α 0(x) = x α 0 Z 1 = {1, 2, 4, 8} m α 1(x) = (x α 1 )(x α 2 )(x α 4 )(x α 8 ) Z 1 = Z 2 = Z 4 = Z 8 m α 1(x) = m α 2(x) = m α 4(x) = m α 8(x) Z 3 = {3, 6, 12, 9} m α 3(x) = (x α 3 )(x α 6 )(x α 12 )(x α 9 ) Z 3 = Z 6 = Z 9 = Z 12 m α 3(x) = m α 6(x) = m α 9(x) = m α 12(x) Z 5 = {5, 10} m α 5(x) = (x α 5 )(x α 10 ) Z 5 = Z 10 m α 5(x) = m α 10(x) Z 7 = {7, 14, 13, 11} m α 7(x) = (x α 7 )(x α 14 )(x α 13 )(x α 11 ) Z 7 = Z 11 = Z 13 = Z 14 m α 7(x) = m α 11(x) = m α 13(x) = m α 14(x) Zur Berechnung der Minimalpolynome als Elemente von GF(2 4 )[x] nutzt man die Logarithmentafel des Körpers GF(2 4 ) = GF(2)[x]/1 + x 3 + x 4.

10 Zerlegung von x 15 1 in irreduzible Faktoren über GF(2) m α 0(x) = x α 0 m α 1(x) = (x α 1 )(x α 2 )(x α 4 )(x α 8 ) = x 4 + x m α 3(x) = (x α 3 )(x α 6 )(x α 12 )(x α 9 ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 m α 5(x) = (x α 5 )(x α 10 ) = x 2 + x + 1 m α 7(x) = (x α 7 )(x α 14 )(x α 13 )(x α 11 ) = x 4 + x + 1 x 15 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) (x 4 + x + 1)(x 4 + x 3 + 1) }{{} } {{ primitive Polynome } irreduzible Polynome Da Minimalpolynome irreduzibel sind, kann man das kgv von Minimalpolynomen sehr leicht berechnen.

11 BCH-Codes Sei α eine primitive n-te Einheitswurzel in GF(p k ): GF(p k ) \ {0} = {α 0, α 1,..., α pk 2 } Sei δ N, δ n, b N, b > 0. Ein zyklischer (n, k)-linearcode C mit dem Generatorpolynom g(x) = kgv(m α b(x), m α b+1(x),,..., m α b+δ 2(x)) wird BCH-Code der Länge n zur Entwurfsdistanz δ genannt. Dabei bezeichnen m α i (x) für i = b, b + 1,..., b + δ 2 die Polynome kleinsten Grades aus GF(p)[x], die α i GF(p k ) als Nullstelle haben (Minimalpolynome von α i GF(p k )).