Mathematik für Informatiker II (Maikel Nadolski)

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1 Lösungen zum 4. Aufgabenblatt vom Mittwoch, den 02.Mai 2012 zur Vorlesung Mathematik für Informatiker II (Maikel Nadolski) 1. Reelles Betrachten Sie die folgenden beiden Mengen reeller Zahlen: S = { m n m, n N, m + n > 0} m + n S = { m n m, n N \ {0}} m + n Zeigen Sie, dass beide Mengen beschr nkt sind. Bestimmen Sie jeweils Infimum und Supremum. In welchen der beiden F lle ist das Infimum auch Minimum und das Supremum ein Maximum? Beweis. Die Mengen S und S sind im Betrag durch 1 beschränkt, denn nach der inversen Dreiecksungleichung gilt für natürliche Zahlen n, m N die Ungleichung m n m + n folglich auch die Ungleichung m n m + n 1. Das zeigt, dass 1 eine obere und -1 eine untere Schranke von S und S sind. Es gilt weiterhin 1 = S und 1 = 0+1 S. Somit gelten max S = sup S = 1 und min S = inf S = 1. Wir zeigen nun, dass 1 nicht in S enthalten ist, aber immernoch ein Supremum ist. Ganz analog folgt dann alles für -1. Zunächst der Beweis, dass 1 / S gilt: Wenn m n m + n = 1 gilt, dann folgt auch m n = m + n, also 0 = 2n und somit n = 0. Folglich ist 1 / S. Sei nun ein ε > 0 beliebig gegeben. Nach dem archimedischem Axiom existiert zu ε ein m N \ {0} mit 1 m < ε. Dann ist 2m 1 N \ {0} und es gilt 1 ε < 1 1 m = 2m 2 2m (2m 1) 1 = (2m 1) + 1 S. Folglich ist 1 die kleinste obere Schranke und somit das Supremum von S.

2 2. Polynome über Q und über Z 5 Bestimmen Sie ein Polynom p(x) Q[x] vom Grad 3 mit den folgenden Eigenschaften: p( 1) = 2, p(0) = 2, p(1) = 0, p(2) = 4 Finden Sie dann ein Polynom über Z 5 mit diesen Eigenschaften. Das Polynom lässt sich mit einer beliebigen Interpolationsmethode aus der Vorlesung bestimmen, z. B. mithilfe des Newton-Verfahrens. Es ist dann y 0 = 2, y 1 = 2, y 2 = 0, y 3 = 4 gegeben. Wir errechnen Folglich erhalten wir das Polynom y 0,1 = 2 ( 2) 0 ( 1) = 4 y 1,2 = = 2 y 2,3 = = 4 y 0,2 = ( 1) = 3 y 1,3 = 4 ( 2) = y 0,3 = 3 ( 3) 2 ( 1) = 2. p(x) = y 0 + y 0,1 (x + 1) + y 0,2 (x + 1)x + y 0,3 (x + 1)x(x 1) = 2 + 4(x + 1) 3(x + 1)x + 2(x + 1)x(x 1) = 2 + 4x + 4 3x 2 3x + 2x 3 2x 2 + 2x 2 2x = 2 x + 3x 2 + 2x 3 Z[x] Q[x]. Daher erhalten wir die Lösung in Z 5 [x] q(x) = p(x) mod 5 = [2] + [ 1]x + [ 3]x 2 + [2]x 3 = [2] + [4]x + [2]x 2 + [2]x 3 Z 5 [x] Dieses Polynom erfüllt unsere Bedingungen in Z 5, denn es gilt q([x i ]) = p(x i ) mod 5 = y i mod 5 = [y i ]. Bemerkung: [x] steht f r die Äquivalenzklasse von x bezüglich der Relation x y gdw ein n N existiert mit x y = n5. Oder anders, wenn x y mod 5 = Irreduzible Polynome Ein Polynom f(x) K[x] über dem Körper K mit Grad > 0 heißt irreduzibel, falls aus f(x) = a(x) b(x) folgt, dass a(x) oder b(x) ein konstantes Polynom ist.

3 a) Faktorisieren Sie das Polynom f(x) = x 4 4 in irreduzible Bestandteile über dem Körper Q, dann über dem Körper R und schließlich das Polynom f(x) = x über dem Körper Z 3. b) Zeigen Sie, dass es über Q irreduzible Polynome für jeden Grad n 1 gibt. a) Es gilt f(x) = x 4 4 (1) = (x 2 2)(x 2 + 2) (2) = (x 2)(x + 2)(x 2 + 2) (3) = (x 2)(x + 2)(x i 2)(x + i 2). (4) Wegen Q R C und der Eindeutigkeit von Polynomdarstellungen bei diesen Körpern, folgt, dass in (2) die irreduziblen Komponenten von Q, in (3) von R und in (4) von C stehen. Das Polynom g(x) = x zerfällt hingegen in g(x) = x = x 4 + } 2x 2 {{ + x } 2 +2 =0 = (x 2 + 2)(x 2 + 1) = (x + 1)(x + 2)(x 2 + 1) (x + 1) und (x + 2) sind irreduzibel, da sie Linearfaktoren sind. Wäre p(x) = x irreduzibel, müsste es in Linearfaktoren (x a)(x b), wobei a und b Nullstellen von x wären. Ausprobieren liefert p(1) = p(2) = 2 und p(0) = 1, es gibt somit keine Nullstellen in Z 3. Also ist x irreduzibel. b) Das Polynom p(x) = x n 2 Z[x] Q[x] ist irreduzibel in Q[x]. Über C[x] zerfällt das Polynom in nämlich Linearfaktoren (x z k ) für k = 1,..., n. Wäre p reduzibel, also p(x) = f(x) g(x), so müssten f und g aus Produkten von x z k bestehen und es gelten 0 < grad f, grad g < n. Es gilt z k = n 2 und wäre f(x) = x m + a m 1 x m a 0 = (x z k1 )(x z k2 )... (x z km ) für geeignete Indizes k 1,..., k m und m < n, so wäre a 0 = z k1... z km und wegen f Q[x], gelte dann auch a 0 Q. Es gilt aber a 0 = ( n 2) m R \ Q, folglich kann p nicht weiter in Polynome aus Q[x] zerlegt werden. 4. Etwas Praktisches: Horner-Schema und Pattern-Matching Die sogenannte Fingerprint-Methode von Karp und Rabin ist ein randomisiertes Verfahren zum Auffinden aller Vorkommen eines Suchwortes P in einem Text T.

4 Es beruht auf einer cleveren Anwendung des Horner-Schemas. Seien T = T (1)T (2)... T (m) und P = P (1)P (2)... P (n) Wörter der Länge m und n mit m > n, die Text und Suchwort darstellen, über dem Körper Z 2. Wir sagen, P matcht T an der Stelle r falls T r = T (r)t (r + 1)... T (r + n 1) = P. Wir definieren H(P ) = n i=1 2n i P (i) und H(T r ) = n i=1 2n i T (r + i 1). Suchwort und Textstück werden also einfach als Zahl interpretiert. Offensichtlich matcht das Suchwort P den Text an der Stelle r genau dann, wenn H(P ) = H(T r ) ist. Der Fingerprint-Trick besteht nun darin, diesen Sachverhalt modulo einer zufälligen Primzahl p zu betrachten, dann das Horner-Schema auszunutzen und die Zwischenergebnisse alle klein zu halten. a) Sei p eine Primzahl. Wir setzen H p (P ) = H(P ) mod p und H p (T r ) = H(T r ) mod p. Zeigen Sie, dass H p (P ) = H P (T r ) falls P den Text an der Stelle r matcht. Finden Sie ein Beispiel, so dass die Umkehrung nicht gilt. Hinweis: Der Punkt ist, dass dies bei zufälliger Wahl der Primzahl sehr selten auftritt. b) Sei P = , p = 7. Berechnen Sie H p (P ), indem Sie zuerst mit Horner- Schema H(P ) ausrechnen und dann modulo p rechnen. Wiederholen Sie die Rechnung, indem Sie die mod p Rechnungen in die Einzelschritte beim Horner-Schema reinziehen. Weshalb kann man dies tun? Die Zwischenergebnisse sollten 2p nicht überschreiten. Formulieren Sie in Verallgemeinerung dieses Beispiels nun ein Prinzip zur Berechnung von H p (P ), bei dem Zwischenergebnisse nie grö ser als 2p sind. c) Man kann H p (T 1 ) und jedes andere H p (T r ) nach derselben Methode berechnen. Es gibt allerdings einen einfachen Trick H p (T r ) aus H p (T r 1 ) für r > 1 effizient auszurechnen. Wie? Damit hat man eine Methode gefunden, ein Fenster der Länge des Suchmusters über den Text zu schieben, an jeder Stelle die Fingerprints zu vergleichen und dies als Kriterium zum Pattern Matching zu benutzen. a) Wir nutzen an dieser Stelle die Tatsache, dass (a b) mod p = (a mod p) (b mod p) gilt (also [a - b] = [a] - [b]). Sei r so, dass H(P ) = H(T r ) gelte. Dann folgt H p (P ) H p (T r ) = [H(P )] [H(T r )] = [H(P ) H(T r )] = [0] = 0, also H p (P ) = H p (T r ). Für ein Gegenbeispiel wählen wir den Text T = 101 und das Suchwort P = 11 und die Primzahl 2. Dann ist H(T 1 ) = H(01) = 1 und H(P ) = H(11) = 3 aber H 2 (T 0 ) = 1 = H 2 (P ). b) Betrachte das Polynom p(x) = x 5 +x 3 +x 2 +x+1. Dann gilt nach Konstruktion p(2) = H(P ). Das Hornerschema von p in 2 ist

5 Folglich ist H(P ) = H(101111) = 47 und H 7 (P ) = 47 mod 7 = 5. Wenn wir das Hornerschema benutzen und direkt in Z 7 rechnen, erhalten wir Auch hier erhalten wir die 5 als Ergebnis! Dass wir dasselbe Ergebnis erhalten ist kein Zufall, sondern liegt im Wesentlichen daran, dass sich das Bilden von Restklassen in additiv und multiplikativ ist. Das bedeutet, es gilt für alle a, b, c, p Z (a + bc) mod p = ( (a mod p) + (b mod p)(c mod p) ) mod p, bzw. in Restklassenschreibweise [a + bc] = [a] + [b][c]. c) Zunächst die Motivation: Betrachte z. B. die Binärzahl und denken uns ein Suchwort der Länge 3. Dann ist T 0 = und T 1 = Es gilt also T 1 = = T (1 + 3) = T (0) T (0) T (1 + 3) = T (0) T (1 + 3) = T (0) T (1 + 3) = T (0) T (1 + 3) = T T (0) T (1 + 3). An diese Idee anlehnend erhalten wir für H die Formel H(T r ) = 2H(T r 1 ) 2 n T (r 1) + T (r + n) und für H p müssen entsprechend die Restklassen in jedem Schritt gebildet werden.