osungen zu Blatt 12 Thema: Rationale und trigonometrische Funktionen

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1 Musterl osungen zu Blatt Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I f ur Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 5.. Thema: Rationale und trigonometrische Funktionen Aufgabe a) Sei f x) x4 x3 x 7. Zeigen Sie, dass x 3 und x Nullstellen von f sind. Finden Sie ein Polynom g vom Grad, so dass f x) x 3)x )gx) gilt. Was sind die Nullstellen von g? b) Sei f x) x6 4x5 6x4 68x3 3x 4x 84. Zeigen Sie, dass x und x 7 Nullstellen von f sind und bestimmen Sie jeweils ihre Vielfachheit. c) Sei f x) x3 4x 37x 59. Zeigen Sie, dass x eine Nullstelle von f ist. Bestimmen Sie Koeffizienten a, b, c, d R, so dass f die folgende Form hat: f x) ax )3 bx ) cx ) d Hinweis: Benutzen Sie das Horner-Schema. L osungen zu Aufgabe Zu a): Dass x 3 und x Nullstellen von f sind, pr uft man leicht durch Einsetzen. Mit Hilfe des Horner-Schemas erhalten wir: ) 4 4 D.h. f x) x 3)x )x x ). Mit der pq-formel erhalten wir folgende Nullstellen f ur gx) x x. x,3 ± 3. Zu b): Wir setzen x und x 7 in f ein und sehen leicht, dass es sich um Nullstellen handelt. Wir verwenden das Hornerschema: )

2 Wir führen das Schema fort und prüfen, ob 7 eine Nullstelle von höherer Vielfachheit als ist Somit hat f in 7 nur eine Nullstelle von Vielfachheit. Wir greifen das vorletzte Schema auf und untersuchen die Nullstelle. 3 4 ) ) ) 3 Die Vielfachheit der Nullstelle - ist also 3. f hat dann die Gestalt fx) x) 3 x 7)x ). Zu c): Wir verwenden das Horner-Schema für die Stelle x : ) ) 7 ) 8 Somit ist fx) x ) 3 8x ) 7x ) 33. Aufgabe Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten folgender rationaler Funktionen für x. a) fx) x5 7x 3x x 7 Skizzieren Sie den Graphen von g. Hinweis: Benutzen Sie Polynomdivision. b) gx) x5 x 3 7x x x Lösungen zu Aufgabe Zu a): Mit Polynomdivision erhalten wir folgenden Ausdruck für f: x 5 7x 3x ) : x 7) x 3 7x 7 6x5 x 7 x 5 7x 3 ) 7x 3 7x 3x 7x 3 49x) 7x 6x 7x 49) 6x 5 Für x verhält sich demnach g wie das Polynom x 3 7x 7.

3 Zu b): Polynomdivision liefert: x 5 x 3 7x ) : x x) x 3 4x 7x 4 x x x x 5 4x 4 ) 4x 4 x 3 7x 4x 4 8x 3 ) 7x 3 7x 7x 3 4x ) 4x 7x 4x 4x) x Somit verhält sich g wie x 3 4x 7x 4 für x. Der Graph von g sieht wie folgt aus: Zum Vergleich hier der Graph von x 3 4x 7x 4:

4 Aufgabe 3 a) Berechnen Sie mit Hilfe von bekannten Auswertungen und Additionstheoremen aus der Vorlesung: i) sin5 ) ii) cos5 ) iii) sin 735 ) sin75 ) iv) cos 33 ) cos 43 ) v) cos 345 ) sin 4 5 ) cos 65 ) cos 4 3 ) b) Zeigen Sie mit bereits bekannten Additionstheoremen aus der Vorlesung: i) sinx y) sinx y) cos y) cos x) ii) cosx y) cosx y) cos y) sin x) Hinweis: Sie können Ihre Lösungen in Teil a) mit dem Taschenrechner nachprüfen. Lösungen zu Aufgabe 3 Zu i): Zu ii): sin5 ) sin6 45 ) sin6 ) cos 45 ) cos6 ) sin 45 ) sin6 ) cos45 ) cos6 ) sin45 ) 3 3 ) Zu iii): cos5 ) cos6 45 ) cos6 ) cos 45 ) sin6 ) sin 45 ) cos6 ) cos45 ) sin6 ) sin45 ) 3 3) Zu iv): sin 735 ) sin75 ) sin 7 5 ) sin9 5 ) sin 5 ) cos5 ) sin5 ) cos5 ) 3) 3 ) Zu v): cos 33 ) cos 43 ) cos8 33 )) cos 9 47 ) cos 47 ) sin 47 ) 4

5 cos 345 ) sin 4 5 ) cos 65 ) cos 4 3 ) cos ) sin ) cos8 65 )) cos ) cos 5 ) sin 4 3 ) cos 5 ) cos 4 6 ) cos 5 ) sin 4 3 ) cos 4 6 ) ) 3) ) ) Zu b), Teil i): sinx y) sinx y) sinx) cosy) cosx) siny)) sinx) cos y) cosx) sin y)) sinx) cosy) cosx) siny)) sinx) cosy) cosx) siny)) sin x) cos y) sinx) siny) cosx) cosy) sinx) siny) cosx) cosy) cos x) sin y) sin x) cos y) cos x) sin y) sin x) cos y) cos x) cos y)) sin x) cos y) cos x) cos x) cos y) sin x) cos x)) cos y) cos x) cos y) cos x) Teil ii): cosx y) cosx y) cosx) cosy) sinx) siny)) cosx) cos y) sinx) sin y)) cosx) cosy) sinx) siny)) cosx) cosy) sinx) siny)) cos x) cos y) sinx) siny) cosx) cosy) sinx) siny) cosx) cosy) sin x) sin y) cos x) cos y) sin x) sin y) cos x) cos y) sin x) cos y)) cos x) cos y) sin x) sin x) cos y) sin x) cos x)) cos y) sin x) cos y) sin x) Aufgabe 4 a) Benutzen Sie die Formel für cosx), um cos π 8 ) und sin π 8 ) zu berechnen. b) Benutzen Sie das Additionstheorem für sin, sowie die Formel für cosx) und sinx) um herzuleiten, dass sin5x) sin x 4 cos x) cosx) ) gilt. Berechnen Sie damit cos π 5 ). c) Dem Kreis mit Radius R werde ein regelmäßiges 5-eck einbeschrieben. Berechnen Sie den Flächeninhalt des 5-ecks. 5

6 Lösungen zu Aufgabe 4 Zu a): Es gilt cosx) cos x. Wir wählen x π 8 und finden, dass t : cosπ/8) die Gleichung t cosπ/4) löst. Also ist Daraus folgt t. sin π 8 ) t. Zu b): Es gilt sin5x) sin x cos4x) cos x sin4x) sin x cos4x) cos x sinx) cosx) sin x cos4x) 4 cos x sin x cosx) ) sin x cos x) 4 cos x cosx) ) sin x cos x) cosx) ) cosx) ) sin x 4 cos x) cosx) 4 sin x cos x) cosx) ) 4 Jetzt sei x π/5 und s cosπ/5). Dann löst s die Gleichung s s 4, also ist Zu c): Hier ist ein Bild: cosπ/5) s 5 4 R x 6

7 Jedes Teildreick hat die Seitenlängen R und R : R R cos x R cos x, wobei x π 5. Seine Höhe ist jetzt h R R /) R cos x/. Der Flächeninhalt eines Teildreiecks ist dann A R cos x R sinπ/5) 4 R 5 und der Gesamtflächeninhalt A 5A 5 4 R 5. 7