Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 1. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dipl.-Math. T. Pawlaschyk. WiSe15/16,

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1 Mathematik fu r Ingenieure Maschinenbau und Sicherheitstechnik. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dipl.-Math. T. Pawlaschyk WiSe/6, 6.. Blatt Wiederholen Sie fu r die U bungs- und Hausaufgaben die Abschnitte u ber kubische Gleichungen, Ungleichungen und die Betragsfunktion. Die Pra senzaufgaben werden in den U bungen besprochen. Die Hausaufgaben finden Sie auf der na chsten Seite. Geben Sie die Hausaufgaben in der Woche in Ihrer jeweiligen U bungsstunde ab. Die Lo sungen finden Sie nach der Abgabewoche online auf herbort. Die Punkte dienen lediglich zur Selbstu berpru fung Ihres Leistungsstandes und fließt nicht in die Benotung der Klausur ein. Pra senzaufgaben Aufgabe Lo sen Sie die folgenden kubischen Gleichungen: i = ii = Lo sungen zu Aufgabe i Zu untersuchen ist die Gleichung + p + q = =, wobei p = und q =. Man sieht leicht, dass = die Gleichung lo st. Dann gilt = + +. q =. Deren Lo sungen sind = ±. Die + p + q = p = + + Weitere Lo sungen liefert also die Gleichung + + einzige Lo sung ist somit =. ii Wir substituieren zuna chst in der Gleichung = + a + a + a =, wobei a = 6, a = und a = ist, mit = t a = t + und erhalten die Gleichung t 7t + 6 =. Man sieht leicht, dass t = eine Lo sung dieser Gleichung ist. Wie in i gilt dann t 7t + 6 = t t + t + 7 = t t + t = t t + t.

2 Weitere Lösung sind also t = und t = bzw. = t + = und = t + =. Aufgabe Beweisen Sie für alle, y, z R die Ungleichung y + yz + z + y + z. Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Ungleichung st s + t für alle s, t R. Lösungen zu Aufgabe Es ist s t = s st + t st s + t. Damit erhalten wir die drei Abschätzungen y + y, z + z und yz y + z. Daraus folgt y + z + yz + y + + z + y + z = + y + z. Kürzen durch führt zur gesuchten Ungleichung. Aufgabe a Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen: i + ii + iii + b Bestimmen Sie jeweils die Menge aller R, die die nachstehende Ungleichung erfüllt. Schreiben Sie die Menge mit Hilfe von Intervallen. i + < ii + + iii + > iv + + v <. Lösungen zu Aufgabe a Die Graphen sind wie folgt: 9 7. abs-+ 6 *abs+ abs+abs b i Bei diesem Aufgabentyp kann man die Ungleichung quadrieren und erhält Dies führt zu den Ungleichungen d.h. > + 7 = 7 6 < + < 7 < 7 und < 7 =. Die Menge M ist folglich M =, 7, +. ii Man wie in i quadrieren und auflösen. Wir geben hier allerdings eine alternative Lösung. Wir benutzen: < r r < < r r < und < r,

3 > r < r oder r < Als Mengen und Intervalle geschrieben bedeutet dies: R < r} = < r} r < } =, r r, + = r, r R > r} = > r} > r} = > r} < r} =, r r, Hieraus leiten wir ab: L = R : + + } = + + } + + } = + + } + } } } = } } + + } } } } = =, ] [, + [ = ], iii Es ist L = + > } = + > } + > } = > } > } = > } > } =,, =, iii Die Fallunterscheidungen, und führen zur Lösung L = [, ]. iv Wir haben L = < } = < } < } = < } < } Wir müssen also die beiden Parabeln und untersuchen. Die Nullstellen der ersten Parabel sind ±, die der zweiten ±. Da beide nach oben geöffnet sind, folgt: und Also: < } =, < } = L =, + +, +., +, +

4 Hausaufgaben Aufgabe [6 Punkte] Lösen Sie die folgende kubische Gleichung: + + = Lösungen zu Aufgabe i In der Gleichung = + + = + a + a + a, wobei a =, a = und a = sind, substituiere man mit = t a = t = t. Man bekommt als neue Gleichung: = t + t t + = t t + t + = t t + t + t + + = t t + t + t t + t + = t t + Eine Lösung dieser Gleichung ist t =, d.h. man kann wie in Präsenzaufgabe i schreiben = t t + = t t + t + = t t + t 7. Die quadratische Gleichung t + t + = hat die Lösungen t, = ± + 7 = ± = ±. Nach Rücksubstitution sind dann die Lösungen = t = = und, = t, = ±. Aufgabe [ Punkte] Beweisen Sie für alle, y > die Ungleichung y + y. Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Ungleichung t + t für alle t >. Lösungen zu Aufgabe Wir haben t = t t + t t + t + t. Wir setzen nun t = /y. Dann ist /t = y/, und die gesuchte Ungleichung gezeigt. Aufgabe [+++ Punkte] a Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen: i ii + b Bestimmen Sie jeweils die Menge aller R, die die nachstehende Ungleichung erfüllt. Schreiben Sie die Menge mit Hilfe von Intervallen. i < + 7 ii + >

5 Lösungen zu Aufgabe a Die Graphen sind wie folgt:.. abs-*abs-. *abs b Wir gehen vor wie in der Präsenzaufgabe a i: L = R : < + 7 } = < + 7 } + 7 < } = < + 7 } + 7 > + } } } = < + 7 < + 7 } } + 7 > > + } } } } = < < > > =,, + =, ii Ist, so ist =, also ist die Ungleichung + > > Die Nullstellen dieser Parabel sind ±. Da sie nach oben geöffnet ist, ist demnach } } [ + > = < < + =, +. Ist nun <, so ist =, also Dies ist für < immer erfüllt, also Insgesamt ist die Lösung L = + > + >. + > } =,., +.