Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 1. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dipl.-Math. T. Pawlaschyk. WiSe15/16,

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1 Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) Semester Apl Prof Dr G Herbort Dipl-Math T Pawlaschyk WiSe5/, 5 Blatt 8 Wiederholen Sie fu r die U bungs- und Hausaufgaben die Abschnitte u ber die Normalenform einer Ebene und das Gaußverfahren Die Pra senzaufgaben werden in den U bungen besprochen Die Hausaufgaben finden Sie auf der na chsten Seite Geben Sie die Hausaufgaben in der Woche -8 in Ihrer jeweiligen U bungsstunde ab Die Lo sungen finden Sie nach der Abgabewoche online auf wwwmathuni-wuppertalde/ herbort Die Punkte dienen lediglich zur Selbstu berpru fung Ihres Leistungsstandes und fließen nicht in die Benotung der Klausur ein Pra senzaufgaben Aufgabe ) Sei E = ~a + R~u + R~v eine Ebene im R Zeigen Sie, dass es einen Vektor ~b im R und eine reelle Zahl c derart gibt, dass die Darstellung E = {~x R h~b, ~xi = c} besitzt (b) Zeigen Sie: Ist insbesondere ~b normiert, so ist der Abstand von der Ebene zum Ursprung gleich c ist Lo sungen zu Aufgabe ) Wir setzen ~b := ~u ~v und c := h~b, ~ai Sei ~x = ~a + t~u + s~v ein Vektor aus E Da ~b senkrecht auf ~u und auf ~v liegt, gilt: h~b, ~xi = h~b, ~ai = c Somit liegt jeder Vektor aus E in der Menge M := {~x R h~b, ~xi = c} Man pru ft leicht nach, dass M ein affiner Unterraum des R ist, der nicht ganz R sein kann Aus Dimensionsgru nden muss also E = M sein Genauer: E ist ein affiner Unterraum von M Da M nicht der R sein kann, hat er ho chstens die Dimension Und da er bereits den affinen Unterraum E entha lt, hat er mindestens die Dimension von E, also mindestens Somit ist M -dimensional, und es muss M = E gelten (b) Die Formel fu r den Abstand eines Punktes P~ zur Ebene E lautet: DE (P~ ) = hp~ ~a, ~u ~v i k~u ~v k Speziell fu r P~ = ~ haben wir h~a, ~u ~v i DE (~) = k~u ~v k

2 Angenommen, E ist in der Gestalt { x R b, x = c} Da x = a in E liegt, gilt c = b, x = b, a Ferner liegt x = a + u in E Also: c = b, x = b, a + u = b, a + b, u = c + b, u = b, u Analog zeigt man, dass b, v = ist Somit liegt b senkrecht auf u und auf v Das bedeutet, dass es ein r R gibt mit r b = u v (beide Vektoren liegen senkrecht auf der Ebene E, unterschieden sich demnach nur durch ein Vielfaches voneinander) Das setzen wir in die Abstandsformel ein und erhalten: D E ( ) = a, u v u v = a, r b r b = r a, b r b Beachte, dass b als normiert vorausgesetzt wurde, also b = ist = a, b b = a, b = c Aufgabe ) Schreiben Sie die nachfolgende Ebene E in Normalenform: E = + R + R (b) Berechnen Sie den Abstand von der Ebene E zum Ursprung (c) Was ist der Schnittpunkt von E mit der Geraden G = + R 5? Lösungen zu Aufgabe ) ( ) ( ) Wir benutzen Aufgabe a) Sei b = ( ) ( ) = 5( ) = = Somit ist E = { x R 5, x = } 5 und c := 5, = (b) Es ist 5 5 = 5 = 5 Nach Aufgabe b) ist der Abstand von der Ebene zum Ursprung gleich (c) Sei x = + t 5 ein Punkt auf der Geraden G Soll x in E liegen, so muss b, x = c erfüllt werden, also = 5, x = 5, + t 5 = + 7t Also muss t = /7 gewählt werden Aufgabe ) Schreiben Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme als erweiterte Koeffizientenmatrix und bringen Sie sie auf Zeilenstufenform Welches Gleichungssystem ist lösbar? Wie sehen die Lösungen aus? x + x x = x + x + x = 8 x 7x x = (b) x + 8x = x + x + x = x + 8x + x =

3 (c) x + x = x + x + x = x + x + 5x = (d) x + x + 5x + x = x + x + x = x + x + x + x = 5 Lösungen zu Aufgabe ) Die Lösungen sind L = { } (b) L = R (c) L = (d) L = + R Hausaufgaben Aufgabe ) [++ Punkte] Schreiben Sie die nachfolgende Ebene E in Normalenform: E = 7 + R + R (b) Berechnen Sie den Abstand von der Ebene E zum Ursprung (c) Was ist der Schnittpunkt von E mit der Geraden G = + R 8? Lösungen zu Aufgabe ) Wir benutzen Präsenzaufgabe a) Sei ( ) b = ( ) ( ) = und ( ) c :=, 7 = ( )( )7 = 8 7 = 8 Somit ist E = { x R, x = 8} = { x R 5, x = 59} (b) Es ist 5 = 5 = 7 Nach Präsenzaufgabe b) ist der Abstand von der Ebene zum Ursprung gleich 59 7 (c) Sei x = + t 8 ein Punkt auf der Geraden G Soll x in E liegen, so muss b, x = c erfüllt werden, also 59 = 5, x = 5, + t 8 = 7t Also muss t = /7 gewählt werden

4 Aufgabe ) [8 Punkte] Lösen Sie die nachstehenden Gleichungssysteme x + x + x = x + 9x + x = 5 x + x + x = (b) x + x 5 = x + x = x + 7x + x = x + x + x + x = Lösungen zu Aufgabe ) 9 I II I III 5 Also ist x = und damit die erste Zeile: Somit ist die Lösung bzw als Menge geschrieben x + x + x = x + x + = x = x x x = x = + x L = + R (b) Wir stellen die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und bringen auf Zeilenstufenform 7II III II + IV 7 Wir lösen auf und erhalten nach Umstellung: I + II I + III I IV 7 9 III IV IV : x = ( x 5), x = ( + x 5), x = ( x 5), x = ( x 5) Somit x = + x 5

5 Der Lösungsraum ist also L = + R 5