Gauss-Algorithmus. 1. Hausaufgabe: Rang einer Matrix Bestimmen Sie den Rang der Matrix

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1 Technische Universität Berlin WS 200/02 Fakultät II Institut f. Mathematik Seiler, Rambau, Wiehe, Gentz, Scherfner Körner, Schulz-Baldes, Schwarz Lösung zum 4. Übungsblatt Lineare Algebra für Ingenieure Gauss-Algorithmus. Hausaufgabe: Rang einer Matrix Bestimmen Sie den Rang der Matrix Lösung: Wir berechnen den Rang der Matrix mit Hilfe des Gaußverfahrens. Da insgesamt drei Schritte nötig sind, ist der Rang der Matrix

2 2. Hausaufgabe: Lineares Gleichungssystem Für welche Werte des Parameters a R hat das GLS i) genau eine Lösung, ii) unendlich viele Lösungen, iii) keine Lösung? x + y z = 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2 Lösung: Wir verwenden das Gaußverfahren, um das Gleichungssystem zu lösen. Da sich die Zeile mit dem (eingekästelten) Pivotelement nicht mehr verändert, lassen wir sie jeweils weg. Man beachte die notwendige Fallunterscheidung. 2 3 a 3 a 3 2 a + 2 a 4 Fall I: a = Fall II: a eind. lösbar. 2 a + 2 a 4 4 (a )(a + 2) (a ) (a ) ( ) Fall IIa: a 2, a 3 NR eind. lösbar, weil 4 (a )(a + 2) 0. Fall IIb: a = 2 letzte Gleichung (*) wird 0 z = 0 unendl. viele Lsg. Fall IIc: a = 3 letzte Gl. (*) wird 0 z = 5 keine Lsg. NR : 4 (a )(a + 2) = a 2 a + 6 = 0 a 2 + a 6 = 0 a 0,02 = 2 ± = 2 ± 5 2 a 0 = 2; a 02 = 3

3 Das GLS ist unlösbar für a = 3, hat unendl. viele Lsg für a = 2, sonst ist es eindeutig lösbar. 3. Hausaufgabe: Kern und Bild i) Bestimmen Sie eine Basis für den Kern der linearen Abbildung L. ii) Bestimmen Sie eine Basis für das Bild der linearen Abbildung L. x L y s := t x y + s + t x + 2s t x + y + 3s 3t Lösung: x L y s = t x y s t i) Der Kern von L ist die Menge aller Vektoren, die von L auf den Nullvektor abgebildet werden. Kern L ist also Lösung von L x = 0 x y s t s, t frei wählbar mit y = s + 2t x = y s t Um Basis zu erhalten, setzen wir erst s = und t = 0, und dann s = 0 und t =. Damit erhalten wir zwei Vektoren, die den Lösungsraum aufspannen, und ganz sicher linear unabhängig sind, mithin eine Basis bilden.

4 Basis von Kern L ist 2, ii) Da jeder Vektor im Urbildraum R 4 als Linearkombination von den Einheitsvektoren e e 4 geschrieben werden kann, läßt sich jeder Vektor im Bild von L als Linearkombination der Bilder L( e ),..., L( e 4 ) schreiben. Daraus ist jede maximale linaer unabhängige Teilmenge eine Basis von Bild L. L( e ) = L( e 2 ) = 0 L( e 3 ) = 2 L( e 4 ) = 3 3 Um die Anzahl Basisvektoren zu bestimmen, berechne den Rang der Matrix: Rang 2 brauche 2 lin. unabh. Vektoren für Basis Man erkennt sofort, dass die folgende Auswahl von 2 Vektoren linear unabhängig ist: Basis (Bild L) =, 0. Alternative Lösung: Man schreibt die Vektoren L( e ),..., L( e 4 ) als Zeilen einer Matrix und wendet darauf das Gaußverfahren an wird mit Gaußverf. zu

5 Die von 0 verschiedenen Zeilen der resultierenden Matrix bilden eine Basis 0 vom Bild von L. Also ist, eine Basis vom Bild von L Hausaufgabe: Maple i) Bearbeiten Sie das Maple-Worksheet zum 4. Übungsblatt und geben Sie den Ausdruck ab! ii) Rechnen Sie ihre Ergebnisse zu den Aufgaben -3 mit Maple nach! Lösung folgt auf den nächsten Seiten.

6 > restart: > with(linalg): Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace. Teil: Geben Sie die Matrix A ein,die gegeben ist durch: erste Zeile (,-2,), zweite Zeile (3,2,-), dritte Zeile (-,3,5): > A:= matrix([ [,-2,],[3,2,-],[-,3,5] ]); A := Geben Sie nun den Spaltenvektor b ein, mit Eintraegen (-4,8,0): > b:= matrix([[-4],[8],[0]]); 4 b := 8 0 Bemerkung: auch der einfachere Befehl b:=[-4,8,0]; waere moeglich, obwohl er streng genommen einen Zeilenvektor definiert. Wir werden nun das Gleichungssystem Ax=b fuer den dreikomponentigen Vektor x auf verschiedene Arten und Weisen loesen. Zunaechst verwenden wir den Befehl: > x:=linsolve(a,b); x := 2 Verifizieren Sie mithilfe der Matrizenmultiplikation, dass x tatsaechlich die Gleichung Ax=b erfuellt: > multiply(a,x); Eine andere Moeglichkeit x zu berechnen ist durch den Befehl gaussjord gegeben. Er berechnet die normierte Zeilenstufenform einer Matrix. Hierzu bilden wir eine 3x4 Matrix M durch:

7 > M:=augment(A,b); M := Wenden Sie nun gaussjord auf M an und lesen Sie das Ergebnis fuer x ab: > gaussjord(m); Als Ergebnis fuer x laesst sich jetzt x=, x2=2 und x3=- ablesen. Die naechste (und vorerst letzte) Moeglichkeit, das gleiche auszurechnen, verwendet die inverse Matrix zu A, die man mit dem Befehl inverse erhaelt: > Ainv:=inverse(A); Ainv := Benutzen Sie nun Ainv um x mithilfe der Matrizenmultiplikation durch x= Ainv b zu berechnen: > x:= multiply(ainv,b); x := 2 2. Teil: Bearbeiten Sie die gleichen Fragestellungen wie oben, wobei die Matrix A ersetzt wird durch: > C:=matrix([[,2,-],[2,-,],[3,,0]]); > x:=linsolve(c,b); C := x :=

8 > N:=augment(C,b); > gaussjord(n); > inverse(c); N := Error, (in inverse) singular matrix Kommentieren und erklaeren Sie Ihre Ergebnisse. Das Gleichungssystem Cx=b hat keine Loesung. Den Grund dafuer sieht man gut an der normierten Zeilenstufenform von N, die durch gaussjord(n) berechnet wurde. Der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist groesser als der Rang der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems, d.h. das Gleichungssystem hat eine Gleichung der Form 0=. Weil der Rang der Koeffizientenmatrix N kleiner als die Zahl der Variablen ist, hat die Matrix N keine Inverse.