Lineare Algebra Übungen Hausaufgaben für 8. Nov. mit Lösungen/Ergebnissen

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1 Lineare Algebra Übungen Hausaufgaben für 8. Nov. mit Lösungen/Ergebnissen Definition. Der Kern (auf Englisch kernel) einer Matrix / einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Formal, für A R m n ker(a) := {x R n Ax = 0 R m }. Es ist einfach zu überprüfen, dass ker(a) einen Teilraum von R n bildet. (Siehe Aufgabe.a) auf diesem Übungsblatt.) Definition. Das Bild einer Matrix / die Bildmenge einer linearen Abbildung (auf Englisch image) ist die Menge aller Vektoren, die die Abbildung annimmt. Formal, für A R m n im(a) := {y R m x R n : Ax = y}. Es ist einfach zu zeigen, dass im(a) einen Teilraum von R m bildet. (Siehe Aufgabe.b) auf diesem Übungsblatt.). Finde die geometrischen Interpretationen der nachstehenden Matrizen, und bestimme mit Hilfe dieser Interpretationen A, A, A 07 ; (Matrixmultiplikation ist nicht notwendig!) den Rang von A, A, A, A 07 ; ker(a) und im(a), ker(a 07 ) und im(a 07 ) ; dim(ker(a))+dim(im(a)). Siehe auch die Wikipedia Artikel "Rangsatz" oder "Rank-nullity theorem". (a) A =, (b) A =, (c) A = Welche Matrizen im Punkt (a), (b) und (c) sind injektiv, surjektiv, bijektiv? Verwende die äquivalenten Aussagen.(a). (d),.(a). (d),.(a). (d) auf Seite 55 im Skriptum..

2 . Betrachten wir die folgenden fünf Matrizen: something A =, B =, C =, D = 0 0, E = Überlege die folgende Frage durch die geometrischen Interpretationen der Matrizen und überprüfe deine Antwort durch Rechnungen: welche Paare von Matrizen sind vertauschbar?, d.h. für welches Paar gilt X Y = Y X? (Es gibt zwei richtige Paare.) z.b.: D und E sind nicht vertauschbar, weil D E E D.. Man bestimme den Rang der Matrizen bzw.den Rang der Vektorsysteme mit Hilfe des gaußschen Eliminationsverfahrens. LA.0 d), LA., LA. e). 4. LA.8 d), LA.4. b) mit Hilfe des gaußschen Eliminationsverfahrens. 5. LA.. b) mit der Matrix aus dem Beispiel LA.7 b). Lineare Gleichungssysteme Man lese die ausgearbeiteten Beispiele auf Seiten 58 6 im Skriptum durch. Bei den Aufgaben 6., 7., 8., 9., 0.,.,. bestimme den Rang der Koeffizientenmatrix A, den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix [A b], und vergleiche diese Werte mit n. (n ist die Anzahl der Spaltenvektoren der Matrix A.) Siehe auch die zugehörige Zusammenfassung auf Seite 58 oben. Bei jeder Aufgabe beantworte, ob das jeweilige Gleichungssystem keine Lösung, eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen besitzt. Im zweiten Fall gib die eindeutige Lösung an. Im dritten Fall gib alle Lösungen an.

3 6. (a) LA 4.. a). (b) eine Variante von LA 4. a) 7. (a) LA 4. b). x y + z = x + y + z = x + y + z = (b) eine Variante von LA 4. b). Finde den Wert des Parameters α, sodass das lineare Gleichungssystem lösbar ist. Wie viele Lösungen ergeben sich in diesem Fall? Gib die Lösung(en) an. x + y z = x + y z = x + 5y z = α 8. LA 4.4 b). 9. LA 4.5 b). Zusatzfrage: Welche bildet einen (linearen) Teilraum in R 4 : die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems oder die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems? Bestimme die Dimension des beasagten Teilraums. 0. LA 4.8 a), b).. LA 4.0. a). 4. Bestimme den Wert des Parameters α, sodass das lineare Gleichungssystem 5 α 4 α + 8 α 8 keine Lösung, eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen besitzt. Im zweiten Fall gib die eindeutige Lösung an. Im dritten Fall gib alle Lösungen an.

4 Weitere Aufgaben zum Üben. Sei A R m n, d.h. A ist die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung f : R n R m. (a) Zeige, dass der oben definerte ker(a) einen Teilraum von R n bildet. (b) Zeige, dass das oben definerte im(a) einen Teilraum von R m bildet. 4.(a) Betrachten wir wieder die Aufgabe LA. b). Es handelt sich um eine lineare Abbildung f : R R. Wir haben schon behauptet, dass im(a) R, sondern bildet es einen (kleineren) Teilraum von R. Gib eine Basis des Teilraums im(a) an. Bestimme dim(im(a)). (b) Existiert eine lineare Abbildung g : R R und eine dazugehörige Matrix G, die dieselbe Bildmenge wie die Abbildung f (in der Aufgabe 4.(a) ) besitzt? Wenn ja, gib eine solche Abbildung (bzw. Matrix) an. Wenn nicht, erkläre warum. (c) Existiert eine lineare Abbildung h : R R und eine dazugehörige Matrix H, die dieselbe Bildmenge wie die Abbildung f (in der Aufgabe 4.(a) ) besitzt? Wenn ja, gib eine solche Abbildung (bzw. Matrix) an. Wenn nicht, erkläre warum. 5. Ergänze die Sätze: im(a) wird durch die a a vektoren der Matrix A aufgespannt. ker(a) wird durch die Lösungen des a a Gleichungssystems Ax = aufgespannt. Ergebnisse / Lösungen. A : Rotation (um den Ursprung) um 0 B : orthogonale Projektion auf die Gerade x = y

5 C : Rotation (um den Ursprung) um 60 D : Spiegelung an der Geraden x = y E : orthogonale Projektion auf die x-achse B D = D B und A C = C A 4. LA.4. b) für α, α 7. (a) LA 4.. b) nicht lösbar (b) eine Variante von LA 4.. b) Für α 5 nicht lösbar. rang(a) = < rang(a b) = Für α = 5 gibt es unendlich viele Lösungen. rang(a) = rang(a b) = < n = x y = t 0 + 0, t R, dim(ker(a)) = z 0 / / 0 8. LA 4.4 b) A = /4 /4 0, x = A b = 9/ 5/4 /8 9/8 / 57/8 9. LA 4.5 b) rang(a) = rang(a b) = < n = 4, dim(ker(a)) = yz x = 0 + t 0 + s 0 0, t, s R w 0 0 Andere Beschreibungen (andere Parametrisierungen) der allgemeine Lösung sind auch möglich! 0. LA 4.8. a) nur die triviale Lösung x = 0. (Anmerkung: ker(a) = {0}, dim(ker(a)) = 0 ) LA 4.8. b) x y = t, t R (Anmerkung: dim(ker(a)) = ) z. LA 4.0. a) für α, α

6 . Für α = gibt es keine Lösung. rang(a) = < rang(a b) = Für α = gibt es unendlich viele Lösungen. rang(a) = rang(a b) = < n = x y = t , t R (Anmerkung: dim(ker(a)) = ) z 0 Für α ± gibt es eine eindeutige Lösung. rang(a) = rang(a b) = n = x y = für jedes feste α R; (Anmerkung: dim(ker(a)) = 0 ) z 4α+7 α+ α+ α+