Übungsblatt 5 : Lineare Algebra
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- Silvia Krämer
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1 Mathematik I Übungsblatt 5 WS 6/7 Prof.Dr.W. Konen Dr. A. Schmitter Bereiten Sie die Aufgaben parallel zur Vorlesung so vor dass Sie in der Lage sind Ihre Lösungen vorzutragen. Übungsblatt 5 : Lineare Algebra Aufgabe 5. Vektoroperationen Gegeben sind die folgenden Vektoren: u = v = 8 " w = 6 a) Bestimmen Sie die Komponenten von u v 6u " + w v + u (u " 7w " ) (8w + v) b) Bestimmen Sie den Vektor x " # mit u v + x = 7x + w Aufgabe 5. u = v = w = x = Berechnen Sie (a) u v + w x (b) v w + w (c) ( u w) w Aufgabe 5. Vektoren lineare Unabhängigkeit u = v = w = Prüfen Sie ob diese Vektoren eine Basis des R bilden.
2 Mathematik I Übungsblatt 5 WS 6/7 Prof.Dr.W. Konen Dr. A. Schmitter Bereiten Sie die Aufgaben parallel zur Vorlesung so vor dass Sie in der Lage sind Ihre Lösungen vorzutragen. Aufgabe 5. Machen Sie sich noch einmal klar was eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums ist. So ist zum Beispiel für n= jede Menge von drei linear unabhängigen Vektoren eine Basis des. Jeder andere Vektor lässt sich aus diesen Basisvektoren linear kombinieren. Falls es sich bei den Basisvektoren um die Einheitsvektoren handelt sind die Koordinaten des Vektors genau die Linearfaktoren aus der Linearkombination. Wenn nun eine andere Basis gegeben ist (also nicht die Einheitsvektoren) so kann man bezüglich dieser anderen Basis ebenso die Linearfaktoren der Linearkombination als die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis nehmen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors bezüglich der Basis. Aufgabe 5.5 Betrag von Vektoren Bestimmen Sie die Länge folgender Vektoren: 6 a a a mit a Aufgabe 5.6 Ebenen a b c mit a = b = c = Berechnen Sie (a) den von ( a b ) bzw. von ( b c ) eingeschlossenen Winkel (b) den Inhalt der von ( a b ) bzw. von ( b c ) aufgespannten Fläche (Parallelogramm) (c) einen Normalenvektor n der durch a b und c aufgespannten Ebene
3 Mathematik I Übungsblatt 5 WS 6/7 Prof.Dr.W. Konen Dr. A. Schmitter Bereiten Sie die Aufgaben parallel zur Vorlesung so vor dass Sie in der Lage sind Ihre Lösungen vorzutragen. Aufgabe 5.7 Geraden und Ebenen Gegeben seien die Punkte P P P die durch die Vektoren sowie die weiteren Punkte P und P 5 die durch die Vektoren f = g = gegeben sind a b c aus 5.6 gegeben sind (a) Stellen Sie die Gleichungen auf für die Ebene E die durch a b c geht; für die Ebene E die durch f ga geht; für die Gerade g die durch f g geht. (b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt P von E und g. (c) Bestimmen Sie die Schnittgerade s von E und E. Aufgabe 5.8 Gegeben sind die folgenden Matrizen: 6 A = ( 5) B = C = D = Welche Produkte der Matrizenmultiplikation von zwei Matrizen sind definiert? Führen Sie dann die Multiplikation durch. Aufgabe 5.9 Eine Firma verarbeite die Rohstoffe R R R. Der wöchentliche Verbrauch der Rohstoffe während eines Monats ist folgender Tabelle zu entnehmen: Woche/Rohstoff R R R.Woche 8.Woche 6 5.Woche Woche 7 9 Diese Rohstoffe sollen einem von zwei Lieferanten L L bezogen werden wobei die Rohstoffpreise in folgender Tabelle angegeben sind (in virtuellen Geldeinheiten pro Mengeneinheit) Rohstoff/Lieferant L L R 8 R 6 R 7 8 Vergleichen Sie die Rohstoffkosten für alle vier Wochen und entscheiden Sie bei welchem Lieferanten die Firma bestellen soll
4 Mathematik I Übungsblatt 5 WS 6/7 Prof.Dr.W. Konen Dr. A. Schmitter Bereiten Sie die Aufgaben parallel zur Vorlesung so vor dass Sie in der Lage sind Ihre Lösungen vorzutragen. Aufgabe 5. Die folgenden linearen Gleichungssysteme besitzen eine eindeutige Lösung. Bestimmen Sie diese durch Anwendung des Gauß schen Lösungsalgorithmus wie in der Vorlesung besprochen d.h. Sie berechnen die Lösung durch Übergang zur erweiterten Koeffizientenmatrix. a) b) x + x x = 9 x x + x = 7 x + x + x = x + x x x = 7 x + x + x + x = x + x + x x = 5 x x x x = 9 Aufgabe 5. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß schen Lösungsalgorithmus: x + x + x = - x + 6x - x = x + x + 5x = -6 Aufgabe 5. Berechnen Sie unter Verwendung des Gauß schen Lösungsalgorithmus die Gleichung der Parabel. Ordnung y = ax²+bx+c die durch die Punkte A(-;) B(-;-8) und C(;) verläuft.
5 Mathematik I Übungsblatt 5 WS 6/7 Prof.Dr.W. Konen Dr. A. Schmitter Bereiten Sie die Aufgaben parallel zur Vorlesung so vor dass Sie in der Lage sind Ihre Lösungen vorzutragen. Aufgabe 5. a) Berechnen Sie folgende Determinanten nach der Regel von Sarrus: b) Berechnen Sie folgende Determinanten (Tipp: bei Bedarf erst geschickt umformen): a+ b+ c+ c) Berechnen Sie die folgende Determinante nehmen Sie dazu zunächst einige geschickte Umformungen vor: Aufgabe Berechnen Sie die Menge der t für die folgende Determinante den Wert Null annimmt: t t t
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