Diplomvorprüfung LA H 06 VD : 1

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1 Diplomvorprüfung LA H 6 VD : Aufgabe : (3 + + = 6 Punkte) Gegeben sei die Matrix A = a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A b) Bestimmen Sie alle Eigenvektoren der Matrix A c) Ist die Matrix A invertierbar? a) Eigenwerte ausrechnen: Es gilt λ det(a λe) = det λ λ = ( λ)(( λ) + ) ( λ) = ( λ) 3 Damit ist λ = ein dreifacher Eigenwert von A b) Eigenvektoren ausrechnen: Es sind alle Lösungen des Gleichungssystems (A λ E)v = zu bestimmen Wegen (A λ E) = ist der Eigenraum zum einzigen Eigenvektor t d h alle Eigenvektoren sind Vielfache von c) Es gilt det(a) = det t R, = + + ( ) = Also ist die Matrix A invertierbar Alternativ: Da der einzige Eigenwert der Matrix A ungleich Null ist, ist A invertierbar

2 Diplomvorprüfung LA H 6 VD : Aufgabe : ( = 6 Punkte) Gegeben sei die Matrix 4 a A = b a a b + b 4 b a) Bestimmen Sie alle a, b R, für die eine Cholesky-Zerlegung von A existiert, und bestimmen Sie eine solche Zerlegung für diese Werte b) Bestimmen Sie det(a) für a = 4 und b = zu a): Gesucht ist eine untere Dreiecksmatrix sodass LL T = A Daraus ergibt sich l L = l l l 3 l 3 l 33, l 4 l 4 l 43 l 44 l = 4 l = l = l 3 =, l 4 = a l + l = 5 l = 4 l = l l 3 + l l 3 = 5 l 3 = 4 l 3 = l l 4 + l l 4 = a + l 4 = l 4 = a 4 l 3 + l 3 + l 33 = 9 l 33 = 4 l 33 = l 3 l 4 + l 3 l 4 + l 33 l 43 = b l 43 = b l 43 = b l 4 + l 4 + l 43 + l 44 = a + b 4 b l 44 = 3a 6 b Damit ist eine Cholesky-Zerlegung von A nur möglich, falls b 3a 6 In diesem Fall gilt l 44 = 3a 6 b, also insgesamt L = a a b 3a 4 6 b zu b): Für a = 4 und b = gilt 3a 6 von A, und somit haben wir = 3 = b, dh nach a) existiert die Cholesky-Zerlegung det(a) = det(ll T ) = det(l) det(l T ) = l l l 33 l 44 = =

3 Diplomvorprüfung LA H 6 VD : 3 Aufgabe 3: (6 Punkte) Gegeben sei der Vektor v = Berechnen Sie Vektoren v, v 3 und v 4 so, dass v senkrecht zu v und v 4 ist (), v 3 senkrecht zu v 4 ist (), v + v + v 3 + v 4 = (, ) gilt (3) und v doppelt so lang wie v 3 ist (4) Wegen () sind v und v 4 Vielfache von (, ), also ( ) ( ) v = λ, v 4 = µ Analog folgt nun wegen (), dass Wegen (3) folgt also λ ( ) + µ v 3 = ν ( ) + ν und nach Subtraktion I II erhält man + =, (λ + µ)( ) = (ν + ) (I) (λ + µ) = (ν + ) (II) (λ + µ)( 49 64) = Es folgt λ = µ und mithin ν = Wegen (4) gilt ( ) ( λ = ) ( ), also λ = ± und µ = Mögliche Lösungen sind daher: ( ) ( ) ( ) 6 6 v =, v 4 3 =, v 4 = 4 oder v = ( ) 6, v 4 3 = ( ), v 4 = ( ) 6 4 3

4 Diplomvorprüfung LA H 6 VD : 4 Aufgabe 4: (3 + 3 = 6 Punkte) Gegeben sei die Ebene E : x = + µ + µ und die Geradenschar g α : x = + λ α α (i) Für welche α R schneidet g α die Ebene E? Berechnen Sie den Schnittpunkt von g α und E für diese α (ii) Für welche α R ist g α parallel zu E? Berechnen Sie den Abstand von g α und E für diese α Wir bestimmen die Schnittmenge g α E durch Lösen des linearen Gleichungssystems + λ = µ + µ + αλ = + µ + λ(α ) = + µ Aus der zweiten bzw dritten Gleichung ergibt sich nun, daß µ = αλ 3 bzw µ = (α )λ Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhalten wir (6 α)λ = 5 Für α = 3 erhalten wir also einen Widerspruch, dh die Gerade g 3 durchstößt die Ebene E in diesem Fall nicht Für α 3 können wir λ zu λ = 5 (α 3) berechnen Durch Einsetzen in die Geradengleichung von g α erhalten wir in diesem Fall den (eindeutig bestimmten) Schnittpunkt von g α und E: 5 + (α 3) α α Nun ist noch der Abstand von g 3 und E zu berechnen Dazu bestimmen wir zunächst die Hessesche Normalform von E Ein Normalenvektor von E lässt sich leicht mit (,, 4) T angeben Da (,, 4) T = und + + ( 4) =, ist die HNF von E durch (x + x 4x 3 ) = gegeben Der Abstand von g 3 und E lässt sich daher zu dist, E = <, > 4 = = 5 berechnen 4

5 Diplomvorprüfung LA H 6 VD : 5 Aufgabe 5: (4 + = 6 Punkte) Gegeben seien die Matrix A und der Vektor b mit 3 3 A = und b = λ a) Bestimmen Sie die Werte von λ, µ R, für welche das Gleichungssystem Ax = b genau eine, keine Lösung oder mehrere Lösungen besitzt b) Bestimmen Sie im Falle der mehrdeutigen Lösbarkeit die Lösungsmenge von Ax = b µ a) Durch elementare Zeilenumformungen ergibt sich 3 3 µ λ III+II I II, dann II 3I, III+I µ 6 3µ λ µ µ 6 3µ λ + µ Ist also λ 4, so ist das Gleichungssystem in diesem Fall eindeutig lösbar Ist λ = 4 und µ 9, so hat das Gleichungssystem keine Lösung Gilt λ = 4 und µ = 9, so existieren mehrere Lösungen des Gleichungssystems b) Nach Teil a) existieren für λ = 4 und µ = 9 mehrere Lösungen x von Ax = b Diese sind zu bestimmen aus 9 6 x = Mit x 3 = t muss somit gelten x = 3x 3 + = 3t und x = 9 + x + x 3 = t t Also lautet die Lösungsmenge: L = 3t : t R t 5