Mathematik = x 2 + x 2 = x + x 2 25x = 146 x =

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1 1 Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 014 Mathematik 1 + Übung 1 Gleichungen mit Wurzeln Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Beachten Sie dabei, dass das Quadrieren von Gleichungen i. A. keine äquivalente Umformung ist. a x 1 + x + 5 b x 1 x + 5 a Quadrieren liefert die Gleichung x x 1 x + 5 x 1 x + 1 x. Nochmaliges Quadrieren ergibt x + x 144 4x + x 5x 146 x Eine Probe zeigt das 146/5 tatsächlich eine Lösung die einzige der Ausgangsgleichung ist. b Rechnung analog zu a: x + 1 x 1 x + 5 x 1 x + 1 x x + x 144 4x + x x 146/5 Die Probe funktioniert nicht. Keine Lösung. Polynomdivision mit Rest Gegeben sei die rationale Funktion px x3 3x 5x + 1 x. + x 1 Führen Sie zuerst eine Polynomdivision mit Rest durch. Untersuchen Sie p auf Polstellen mit/ohne Vorzeichenwechsel? und auf asymptotisches Verhalten für x ±.

2 Nach der 1. Division bleibt der Rest 5x 4x + 1, nach der zweiten 6x 4 und man erhält px x 5 Rest 6x 4. Man hat x 3 3x 5x + 1 x + x 1 x 5 + 6x 4 x + 1 x + 1 +, Polstellen befinden sich bei x 1+ und x 1, es findet jeweils ein VZW. statt von - nach + und von + nach -. Für x ± geht p gegen ± und nähert sich asymptotisch der Geraden gx x 5 an. 3 Additionstheoreme Zeigen Sie die folgenden Formeln: a b c 5π cos x sinx cos3γ 4 cos 3 γ 3 cos γ tanα ± β tan α ± tan β 1 tan α tan β, wobei π/ < α, β, α ± β < π/. 5π a cos x cos π + π π x cos x sin x. b cos3γ cosγ + γ cos γ cosγ sin γ sinγ Wir benutzen cosγ cos γ sin γ cos γ 1 letzteres wegen sin γ +cos γ 1 und sinγ sin γ cos γ: cos3γ cos γ cos γ 1 sin γ cos γ cos γ 4 cos γ 3 c tanα ± β sinα ± β sin α cos β ± cos α sin β cosα ± β cos α cos β sin α sin β tan α cos β ± sin β cos β tan α sin β tan α ± tan β 1 tan α tan β 4 Kettenlinie Die Form eines zwischen zwei gleich hohen Masten aufgehängten Seiles wird durch die Kettenlinie yx a coshx/a beschrieben. In der Mitte zwischen den Masten gilt x 0 und die Seilhöhe beträgt 80 m. Zudem sind die Masten 150 m voneinander entfernt. Wie hoch sind die Masten?

3 3 Bestimme Parameter a: 80 a cosh 0 a a cosh 0 a e0 + e 0 Somit gilt a 80. Nun werten wir die Funktion yx an den Masten aus, d.h. aus Symmetriegründen reicht es x 75 einzusetzen: yx 80 cosh x 80 Die Masten sind also ca. 118m hoch. a cosh 80 cosh Komplexe Zahlen in kartesischen Koordinaten, siehe Übung 1, Aufg. 10 Gegeben seien die komplexen Zahlen z i, z + i, z i, z 4 4 3i, z 5 i. Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung an und berechnen Sie deren Betrag. 1 z 1 + z 3, z 1 z, 3 z 1 /z, 4 z 4 /z 3, 5 z 5. 1 z 1 + z i i 4 + 5i und z 1 + z z 1 z 1 + i + i + i + i + i 1 + 3i und z 1 z z 1 z 1+i +i 1+i i +i i i und z 1 z z 4 /z 3 4 3i 3+4i 4 3i3 4i 3+4i3 4i 5i 5 i und z 4 z z 5 i 1 und z Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten Gegeben seien widerum die komplexen Zahlen z i, z + i, z i, z 4 4 3i, z 5 i. Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in Polardarstellung an. Interpretieren Sie das Ergebnis grafisch. 1 z 1, z 4 /z 3, 3 z 5, 4 z 1 z 5. In Polarkoordinaten schreiben wir eine komplexe Zahl in der Form rcosθ + i sinθ r e iθ, wobei r der Betrag und θ Argz das Argument der komplexen Zahl ist. 1 Es gilt z Durch Argz 1 arctan 1 1 π 4 Zeichnung in der komplexen Ebene stellt man fest, dass θ π/4. oder z.b. eine z 1 cosπ/4 + i sinπ/4 e iπ/4.

4 4 Es gilt z 4 /z 3 1. Durch Argz 4 /z 3 3π Ebene stellt man fest, dass θ 3π/. oder z.b. eine Zeichung in der komplexen z 4 /z 3 1cos π/ + i sin π/ cosπ/ i sinπ/ e 3iπ/ e iπ/. 3 Es gilt z Durch Argz 5 π/ oder z.b. eine Zeichnung in der komplexen Ebene stellt man fest, dass θ π/. z 5 1 e iπ/ e iπ/. 4 Es gilt z 1 z 5 z 1 z 5 1 und θ θz 1 + θz 5 π/4 + π/ 3/4π. Oder durch direkte Mulitplikation der beiden komplexen Zahlen erhält man z 1 z 5 z 1 z 5 e 3iπ/4. Für die graphische Interpretation siehe beiliegende Skizze. Bemerkung: Bei einer Addition werden komplexe Zahlen wie Vektoren addiert später in der Vorlesung, bei einer Multiplikation/Division die Beträge multipliziert/dividiert und die Winkel addiert/subtrahiert. 7 Gleichungen mit komplexwertigen Lösungen Lösen Sie die folgenden Gleichungen in C! a z + 8z + 5 0, b z + 5 0, c z 3 + z 3 0, d z 4 13z a Man geht wie bei reellen quadratischen Gleichungen vor, die Diskriminante ist i, daher b z ± 5 i z 8 ± 6i 4 ± 3i. c 1 ist eine Wurzel die man z.b. durch Ausprobieren finden kann, daher faktorisiert die Gleichung zu z 3 + z 3 z 1z + z + 3. Wir bestimmen die Wurzeln des Polynoms z +z +3: Die Diskriminante ist i 11. Also gibt es insgesamt drei Wurzeln für z 3 + z 3 0: z 1 oder 1 ± i 11. d Rein reelles Problem. Man substituiere zuerst z s und erhält s 9 oder s 4 und schließlich für die vier Lösungen z ±, ±3. 8 Komplexes Wurzelziehen Finden Sie alle z C, für die gilt

5 5 a b z i, z 5 3 cos 54 π + i sin54 π. Die Gleichung z n w z, w C mit w r n cosψ + sinψi r R, ψ [0, π hat die Lösungen z k rcosψ/n + πk/n + sinψ/n + πk/ni, k {0, 1,..., n 1} Man hat z n z 0, z n+1 z 1 usw. wegen der π-periodizität von sin und cos. a Hier transformiert man die rechte Seite zuerst in Polarkoordinaten. z i cos 3 π + sin 3 πi, also r 1, ψ 3 π z 0 cos 9 π + sin 9 πi z 1 cos 8 9 π + sin8 9 πi z cos 14 π + sin πi Man kann überprüfen, dass z 3 0 w, z3 1 w und z3 w. b z 5 3 cos 5 4 π + i sin 5 4 π, also r, ψ 5 4 π z 0 cos 14 π + i sin14 π z 1 z z 3 cos 13 0 cos 1 0 cos 9 0 π + i sin13 0 π π + i sin1 0 π π + i sin9 0 π z 4 cos 37 π + i sin π Für eine grafische Illustration der komplexen Wurzeln in a und b siehe die beiliegende Skizze.

6 6 9 Linearfaktoren Bestimmen Sie sämtliche reellen bzw. komplexen Nullstellen des Polynomns fz z 3 + 4z + 4z 116 und stellen Sie fz jeweils in Produktform dar. Tipp: Es gilt f1 68 und f3 16. Versuchen Sie die erste Nullstelle im Intervall 1, 3 durch Ausprobieren zu finden. Man findet f 0, also z ist Nullstelle. Durch Polynomdivision erhält man das Polynom z + 8z Dieses hat die komplexen Nullstellen ± 5i. Nachdem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom 3. Grades 3 komplexe Nullstellen, somit sind wir fertig. Reell: fz z z + 4z + 9 Komplex: fz z z + 5iz + + 5i. Besprechung in den Übungen von Freitag, bis Donnerstag,

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