Wie berechnet man das Argument einer komplexen Zahl?

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1 Fragen Mathe für NaWi I Wie berechnet man das Argument einer komplexen Zahl? Sei z = x + iy mit x, y R. Gesucht ist φ = arg(z). arcsin gibt einen richtigen Winkel in.- und 4. Quadrant arccos gibt einen richtigen Winkel in.- und. Quadrant arctan gibt einen richtigen Winkel in.- und 4. Quadrant Wir können ausnützen dass cos(φ) = cos( φ), sin(φ) = sin(π φ), tan(φ) = tan(φ π) usw. Und weiter gilt auch, falls φ = arg(z), dann ist auch φ + πk für jedes k Z eine weitere Lösung! Fallunterscheidung Quadrant für Quadrant Wir können nun für jeden Quadranten die Formeln separat aufstellen. Quadrant Koordinaten Sinus Cosinus Tangens. x > 0, y > 0 φ = arcsin(y/r) φ = arccos(x/r) φ = arctan(y/x). x < 0, y > 0 φ = π arcsin(y/r) φ = arccos(x/r) φ = π + arctan(y/x) 3. x < 0, y < 0 φ = π arcsin(y/r) φ = π arccos(x/r) φ = π + arctan(y/x) 4. x > 0, y < 0 φ = π + arcsin(y/r) φ = π arccos(x/r) φ = π + arctan(y/x) Im i Im i ϕ Re ϕ Re Im Im i i ϕ Re ϕ Re Beachte: Die hier angegebenen Formeln geben die in dem Diagramm angegebenen Winkel wieder. Es ist zu beachten dass wir jeweils auch ±π oder ±4π usw. addieren können und immernoch ein gültiges Argument arg(z) erhalten, deshalb wird hier auch von einem (von vielen) richtigen Winkel gesprochen. Weiter sind diese Formeln jeweils nur eine von vielen Varianten.

2 Fragen Mathe für NaWi I Zahlen in Formeln einsetzten Müssen an der Prüfung die Zahlen explizit in die Formel eingesetzt werden? Ich bin nicht ganz sicher, was Du damit meinst, hier aber mal ein Beispiel: Es ist 0 = x x = ax + bx + c mit den Werten a =, b =, c =. Dann folgt x, = b ± b 4ac a = ( ) ± ( ) 4 ( ) = ± 3 } {{ } Unnötig, kann weggelasen werden. Generell ist es einfach wichtig, dass man nachvollziehen kann, was gerechnet wurde/wie argumentiert wurde. Im obigen Fall haben wir z.b. ganz oben schon die werte a, b, c definiert, das heisst der Ausdruck b± b 4ac a ist ja dann auch schon wohldefiniert. Es muss z.b. beim umformen von Gleichungen auch nicht jeder einzelne Zwischenschritt aufgeschrieben werden, es ist einfach wichtig dass man als Leser nachvollziehen können soll, was geschieht. Übungsblatt, Aufgabe 4a Wieso lässt man den Rest bei der Polynomdivision einfach weg? Man lässt ihn nicht einfach weg - aber ich vermute die Frage bezieht sich auf die Asymptote. (Die Theorie dazu findest du auf Skript Seite 9) Wir betrachten die Funktion f(x) = x3 + 5x 4x + 3. x + 3 Wir wollen eine Asymptote berechnen, die uns sagt wie sich diese Funktion für x ± verhält. Da der Grad des Zählers grösser ist, als derjenige des Nenners, wird f(x) gegen + oder gehen. (Dies sieht man auch wenn man den Zähler und Nenner je mit /x erweitert.) Da der Grad des Zählers grösser ist, als derjenige des Nenners, können wir eine Polynomdivision durchführen (siehe Skript) um f(x) auf eine handlichere Form zu bringen. An dieser handlichen Form können wir dann die Asymptote direkt ablesen.

3 Fragen Mathe für NaWi I Tun wir dies: f(x) = (x 3 +5x 4x +3) : (x + 3) = x 6 } {{ x } + x + 3 =:g(x) }{{} Rest/(x+3) (x 3 +6x ) x 4x +3 ( x 3x) x +3 ( x 3) 6 = Rest Wenn wir unten bei der 6 angelangt sind, können wir nicht mehr weiter dividieren, da x + 3 einen grösseren Grad hat als 6, das heisst 6 ist der Rest unserer Division. Diesen müssen wir also - ohne dass wir ihn weiter dividieren können - als Bruch anfügen. (Ähnlich wie 7 = (3 Rest ) = Nun wissen wir also, dass f(x) = x3 + 5x 4x + 3 x + 3 = x x + 6 x Da lim x ± x+3 = 0 ist also x x =: g(x) eine Asymptote von f, da die die Differenz f(x) g(x) = 6 x+3 gegen 0 geht für x ± (Das heisst g kommt beliebig nahe an f wenn man nur x gross genug wählt.) Hier noch einen Plot davon: 3

4 Fragen Mathe für NaWi I Übungsblatt 3, Aufgabe b und c Aufgabe b Bei den Lösungshinweisen steht, man könnte die Aufgaben mit a 0 und a n berechnen. In der Übungsstunde hast du einen anderen Lösungsweg gezeigt, welchen ich leider nicht verstehe. Nun wollte ich dich fragen, ob du die Aufgabe auch mit a 0 und an erklären könntest. Meine Lösung war tatsächlich etwas komplizierter als nötig. Ich hatte mir da die Lösungshinweise wohl nicht so genau angeschaut, das tut mir leid. Aufgabe: Eine exponentiell wachsende Population verdoppelt sich alle 3 Jahre. In welcher zeit hat sie sich verhundertfacht? Lösung: Sei a n die Population nach n Jahren. Somit ist a 0 die Population von heute, a die Population in einem Jahr usw. In drei Jahren ist die Population doppelt so gross wie heute, das heisst a 3 = a 0. 4

5 Fragen Mathe für NaWi I In sechs Jahren hat sich dann die Population nochmals verdoppelt, also So können weiterfahren: a 6 = a 3 = a 0 = a 3. a 9 = a 6 = 3 a 0, a = 4 a 0, a 5 = 5 a 0, a 8 = 6 a 0 ( ) Nun wollen wir aber herausfinden nach wie vielen Jahren sich die Population verhundertfacht hat. Sei also n diese Anzahl Jahre, dann soll also a n = 00a 0 sein. Diese Gleichung müssen wir nun n auflösen, um die gesuchte Anzahl Jahre zu finden. Nun müssten wir dazu aber wissen wie a n aussieht. In der Gleichung ( ) oben sieht man eine Regelmässigkeit. Versuche diese selbst zu finden. Man sieht, dass der Exponent jeweils immer ein Drittel vom Index ist, das heisst man findet a n = n/3 a 0. Setzen wir wieder in die Gleichung von oben ein: n/3 a 0 = a n = 00a 0 Diese Gleichung soll man nun nach n auflösen, versuche es selbst! Als erstes können wir durch a 0 dividieren und erhalten n/3 = 00. Um nach einem Exponenten aufzulösen wenden wir auf beiden Seiten den Logarithmus (welchen, spielt wie immer theoretisch keine Rolle. Wenn man schöne Zahlen erwartet lohnt es sich das genauer zu überlegen, das tu ich hier jetzt aber nicht.) Dann erhalten wir ln( n/3 ) = ln(00). Wegen den Rechengesetzten können wir den Exponenten herausziehen und fertig auflösen Aufgabe c n ln() = ln(00) 3 n = 3 ln(00 ln(). Diese Aufgabe funktioniert genau gleich, ich gehe diese also etwas weniger ausführlich durch: Aufgabe: Eine radioaktive Substanz zerfällt (exponentiell) mit Halbwärtszeit 50y. Wann haben wir noch 0.00% der urspünglichen Masse? 5

6 Fragen Mathe für NaWi I Lösung: d.h. Sei m n die Masse nach n Jahren. Nach 50 Jahren hat sich die Masse halbiert, m 50 = m 0 m 00 = ( ) m 50 = m 0 m 50 = ( ) 3 m 00 = m 0 m 00 = ( ) 4 m 50 = m 0. Wie sieht nun m n aus? Der Exponent auf der rechten Seite ist jeweils ein fünfzigstel der Indizes links, also Für den gesuchten Zeitpunkt n gilt m n = ( ) n 50 m0. m n = (0.00% von m 0 ) = m 0. Setzen wir unsere obige Formel für m n hier ein und lösen auf: ( ) n 50 m0 = m n = m 0 = 0 5 m 0 = ( ) n 50 = 0 5 = n 50 ln(/) = 5 ln(0) }{{} ln(/)= ln() = n ln() = 5 ln(0) 50 = n = 50 5 ln(0) ln() = 50 ln(0) ln() 6

7 Fragen Mathe für NaWi I Übungsblatt 4, g Ich kann die Rechenschritte bis e i3π/4 nachvollziehen. Aber den nächsten Schritt mit ( / + i /)? Warum macht man diesen Schritt? Die Aufgabe sagt, wir sollen all diese Komplexen Zahlen in der kartesischen Form z = a + ib mit a, b R darstellen: Die Werte a, b sind hier Real- und Imaginärteil. Ich hatte das damals graphisch gelöst, aber man kann das auch rechnerisch lösen: ( ) a = Re(e i3π/4 ) = cos(3π/4) = b = Im(e i3π/4 ) = sin(3π/4) = Und man bekommt dieses Resultat sofort in dem man a, b in a + ib einsetzt. Übungsblatt 4, h Warum ergibt e iπ/8 =? Ich habe gedacht, dass e iπ = ist? Es ist korrekt, dass e iπ =. Generell ist e iθ = für alle θ R. Wenn man eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten Darstellt, dann hat diese die Form z = re iθ wobei r, θ [0, ). Die Grösse r ist gerade der Betrag von z, und θ der Winkel zur x-achse. Die Zahl e iθ ist im folgenden der orange Punkt. Wir können das Resultat der Aufgabe auch so begründen: Wenn man z = e iπ/8 in kartesischen Koordinaten z = a + ib schreiben will, findet man a = Re(z) = 3 cos(π/8) und b = Im(z) = 3 sin(π/8). Somit ist z = a + ib = 3 (cos(π/8)) + 3 (sin(π/8)) = 3 [(cos(π/8)) + (sin(π/8)) ] = 3 }{{} = 3. = Aber Achtung, für x C gilt das im allgemeinen nicht! Falls z.b. θ = i dann sieht man e iθ = e i = e und diese Zahl hat den Betrag e = Oder für θ = i ist e iθ = e i i = e i+ = e i e und somit der Betrag e iθ = e i e = e i e = e. }{{} 7

8 Fragen Mathe für NaWi I Damit ist also 3 = z = 3e iπ/8 = 3 e iπ/8. Dividiert man durch 3, so sieht man sofort dass e iπ/8 = sein muss. (Hier könnte man überall den Winkel π/8 durch irgend einen beliebigen anderen Wert ersetzten!) Übungsblatt 4, Aufgabe b Wie kommt man da auf + 9? Die Gleichung lautet x +x 0 = 0. Ich hatte diese mit der a, b, c-mitternachtsformel gelöst. Aber man kann sie auch mit der p, q-formel lösen. (Die p, q Formel erhält man aus der a, b, c-formel, in dem man a =, b = p, c = q setzt. Diese Umformung könnte man sich vielleicht mal als Übung anschauen.) Für eine Gleichung x + px + q = 0 (In unserem Fall ist p =, q = 0.)lautet die p, q Formel: x, = p ± (p ) q = ± ( ) 0 = ± 0 = ± 9 = ± 3i Übungsblatt 4, Aufgabe d Bestimme alle (komplexen) Lösungen der Gleichung z + ( i)z i = 0. Ich hatte diese Aufgabe mit dem Zweiklammeransatz gelöst, aber das ist tatsächlich vielleicht etwas ungewohnt bei komplexen Zahlen. Wenn man das nicht gewohnt ist, kann man aber ganz normal die Mitternachtsformel benutzen (siehe unten). Die Idee ist wie immer, wenn man die Löusngen z = A und z = B dieser Gleichung kennt, dann kann man die Gleichung schreiben alls 0 = (z A)(z B) = z (A + B)z + AB. Wir sehen nun das A B = i und AB = i sein müssen. Durch gut anschauen kommt man auf die Lösungen A =, B = i. Der Zweiklammeransatz hat hier natürlich auch wieder einfach gut funktioniert, weil wir schöne Zahlen hatten. Man kann auch die Mitternachtsformel benutzen: 0 = bekommen wir die Lösungen }{{} a z + ( i) z }{{}}{{} i. Dann b c 8

9 Fragen Mathe für NaWi I z, = b ± b 4ac a Übungsblatt 4, Aufgabe 3a = + i ± i 4 ( i) = + i ± i + i ± ( + i) = = i oder In Übung 4 bei Aufgabe 3(a) komme ich für φ auf 60 (sprich 300 ) und nicht wie in der Lösung auf 0. Ich habe tan φ = b a = 3/ / = 3 gerechnet. Wo mache ich den Fehler? Die Gleichung tan φ = 3 ist korrekt. Wenn man diese aber nach φ auflösen will und hier den Arkustangens anwendet, kommt man nicht auf die Richtige Lösung, denn der Wertebereich vom Arkustangens ist W = ( π/, π/) = ( 90, 90 ). (Wenn man sich die komplexe Ebene mit Einheitskreis aufzeichnet (z = + 3 i auch einzeichnen), sieht man sofort, dass φ ein Winkel im zweiten Quadrant ist, das heisst, das φ [π/, π] = [90, 80 ] liegen muss. ) Da der Tangens π-periodisch (80 -periodisch) ist, ist φ = 60 nur eine Lösung von tan φ = 3, aber für jedes n Z ist auch φ = 60 + n 80 eine Lösung dieser Gleichung. Wir müssen also jetzt nur ein n suchen, so das unser φ tatsächlich im zweiten Quadrant liegt. Für n = bekommen wir φ = 0, das ist im ersten Quadranten und ist genau der gesuchte Wert. Man muss also - egal ob man mit arcsin, arccos oder arctan arbeitet - immer aufpassen, welchen Wertebereich man hat. Übungsblatt 4, Aufgabe 3a Wieso kann man den Winkel nicht wie auf Seite 45 unten im Skript gezeigt, mit der Gleichung cos(φ) = a/r,sin(φ) = b/r berechnen? Wenn ich mich richtig erinnere habe ich genau das getan, nur dass ich den Winkel von Hand berechnet habe. r = z = cos(φ) := a/r = /, sin(φ) = b/r = 3/ Wenn man sich z aufzeichnet, sieht man dass φ zwischen π/ und π sein müsste. Man muss nun nur aufpassen (in jedem Fall, auch wenn man mit dem TR rechnet), weil arccos nur Winkel zwischen 0 und π zurückgibt (hier also kein Problem), und arcsin nur Winkel zwischen π/ und π/ zurückgibt. Dies stellt hier beim Sinus offensichtlich ein Problem dar, da wir oben gesehen haben dass φ nicht in diesem Bereich ist. Mit dem 9

10 Fragen Mathe für NaWi I arccos können wir die Gleichung auf der linken Seite benutzen und sollten das richtige Resultat bekommen. Wenn wir also naiv arccos und arcsin auf die obigen Formeln loslassen, bekommen wir Resultate die nicht übereinstimmen: arccos( /) = π/3 (Richtiges Resultat, wie erwartet) arcsin( 3/) = π/ (Falsches Resultat, auch wie erwartet) Wenn man aber dennoch mit Gleichung auf der rechten Seite rechnen will, muss man so vorgehen. (Dies ist wichtig wenn man einen Winkel im 3. Quadranten hat, da kann man weder arccos noch arcsin direkt anwenden.) Graphisch sieht man (einfach z sowie cos(φ) und sin(φ) am Einheitskreis einzeichnen) dass b/r = sin(φ) = sin(π φ) ist. Das heisst π φ ist schön zwischen π/ und π/ und somit können wir nun dies ausnützen und bekommen π φ = arcsin( b/r) und somit folgt φ = π arcsin( b/r). Übungsblatt 6, Aufgabe b, Winkeleinheiten In Übung 6 bei Aufgabe (b) verstehe ich nicht, wieso = π/360 ist! Das sind einfach zwei verschiedene Einheiten, auf der linken seite in Grad, und auf der rechten Seite im Bogenmass. (Ein Grad ist der 360-stel eines Kreises, und der Einheitskreis hat den Umfang π.) Generell haben wir zwei Möglichkeiten, einen Winkel anzugeben: Als Grad α = 45 oder im Bogenmass α = π/4. Ein Grad ( ) ist einfach definiert als ein 360-stel des gesamten Kreises. Dies ist im Alltag sehr praktisch, aber es ist eine künstliche menschengemachteëinteilung. Im Bogenmass ist der Winkel definiert als die entsprechend Länge eines Einheitskreissegments. Da hat der volle Kreis also einen Winkel von π, dem Umfang des Einheitskreises. Dies ist eine natürliches Mass, praktisch in der Mathematik, aber für den Alltag weniger. Im allgemeinen können wir beides verwenden, unsere Computer/Taschenrechner können in der Regel auch mit beidem umgehen. Wichtig ist aber dann die Unterscheidung, wenn wir z.b. wie in Aufgabe b Taylorreihen anschauen. Da würde es gar keinen Sinn machen, wenn wir einen Wert mit einer Einheit einsetzten würden, wir brauchen also eine Einheitenlose Zahl. (Also man könnte das schon zurechtbiegen, aber es wäre ziemlich umständlich.) Ich hoffe das hat diese Unterscheidung ein wenig motiviert. Übunsgblatt 6, Aufgabe 4 Wie kommt man auf die beiden Fixpunkte? Du hast es zwar theoretisch erklärt, aber die Fixpunkte nicht ausgerechnet. Leider habe ich auch deinen theoretischen Teil nicht ganz verstanden. Vor allem bereitet mir der zweite Fixpunkt Mühe. Zuerst nochmals die Bedinung für die Fixpunktiteration: 0

11 Fragen Mathe für NaWi I Sei f : X R R eine reelle, differenzierbare Funktion. Wenn wir nun eine Menge D X betrachten, auf der die Ableitung (betragsmässig) immer kleiner als eins ist, also f (x) < (dies bringt uns die Kontraktionseigenschaft) für alle x D. Wenn das gilt, wissen wir zwei Dinge:. Es gibt einen eindeutigen Fixpunkt a D. (d.h. f(a) = a). Die Folge x n+ := f(x n ) konvergiert für jeden Startwert x 0 gegen a. (d.h lim n x n = a) Wir schauen uns das in der Aufgabe 4 das Beispiel f(x) = 8 ex an. Gesucht sind jetzt also diese a so dass f(a) = a. Dazu müssen wir also mal eine Menge D bestimmen, so dass die Ableitung auf ganz D betragsmässig kleiner als eins ist. Die ableitung ist hier f (x) = 8 ex. Nun ist f (x) < }{{} >0 f (x) < e x < 8 x < ln(8) =.0794 Also können wir D = (, ln(8)) setzten, und wissen, für jeden Startwert x 0 in der Menge D wird die folge x n+ := f(x n ) gegen einen Fixpunkt konvergieren. Ich nehme jetzt mal x 0 = 00, aber jeder andere Wert in D würde genauso gehen! Nun können wir zu rechnen beginnen: x 0 = 0 x = f(x 0 ) = x = f(x ) = x 3 = f(x ) = x 4 = f(x 3 ) = x 5 = f(x 4 ) = x 6 = f(x 5 ) = x 7 = f(x 6 ) = x 8 = f(x 7 ) =

12 Fragen Mathe für NaWi I Wir sehen, der Fixpunkt in D liegt bei etwa Wenn wir einen Fixpunkt suchen, das heisst ein x so dass f(x) = x, dann bestimmen wir eigentlich die Schnittpunkte von y = x und y = f(x). Wenn wir uns das für unser Beispiel mal aufzeichnen, sieht das so aus: Diese Funktion hat aber noch einen zweiten Fixpunkt, in der Nähe von 3. Das Problem ist aber, dass da die Steigung viel Grösser als ist. Da hilft uns aber folgende Idee: Wenn b ein Fixpunkt von f ist, dann gilt b = f(b). Falls jetzt aber f in der Nähe von b umkehrbar ist, dann können die Umkehrfunktion f auf diese Gleichung loslassen und bekommen f (b) = f (f(b)) = b, das heisst also b ist dann auch ein Fixpunkt von der Funktion f! Der Clue dabei ist, dass wenn f (x) = df dx (x) > für x in der Nähe von a, dann df gilt dass dy (y) < für y in der Nähe von f(a) = a. Das sieht man sehr schön an dem Plot, wenn man sich in Erinnerung ruft, dass der Graph der Umkehrfunktion einfach die Spiegelung des Graphen der Funktion an der ersten Winkelhalbierenden ist. Diese Beobachtungen wenden wir nun an: Für unser Beispiel hatten wir y = f(x) = 8 ex, somit folgt die Umkehrfunktion x = f (y) = ln(8y). Nun suchen wir die Menge, für welche die Kontraktionsbedingung gilt: df dy (y) < d dy ln(8y) < /y < und y > 0 y > (Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert.) Beweis: Sei g := f. Dann ist x = g(f(x)). Leitet man nach x ab, so folgt = g (f(x))f (x) und daraus folgt f (x) = g (f(x)).

13 Fragen Mathe für NaWi I df Also ist dy (y) < für alle y (, ), und die Konvergenz der Fixpunktiteration gegen einen Fixpunkt ist sofort gegeben. Wählen wir nun einen Startwert, z.b. y 0 = 0 dann erhalten wir folgende Werte: Übungsblatt 8, a y 0 = 0 y = f (y 0 ) = y = f (y ) = y 3 = f (y ) = y 4 = f (y 3 ) = y 5 = f (y 4 ) = y 6 = f (y 5 ) = y 7 = f (y 6 ) = y 8 = f (y 7 ) = Mir ist nicht ganz klar, weshalb man da / vor das Integral setzt, von wo kommt dieses? Wir wollen das Integral x x 4x + 3 dx berechnen. Wir haben hier die Substitutionsregel angewendet, in dem wir den relativ unbequemen Nenner substituieren, also u = x 4x + 3. Damit das gut geht, müssen wir ja noch (mit der Eselsbrücke.) betrachten, wie wir dx und du austauschen können. Dies tun, wir, in dem wir die Substitutionsgleichung differenzieren: du = x 4 = (x 4) du = (x )dx dx Im Zähler des Integrals haben wir aber nur den Ausdruck (x )dx, d.h. der Faktor fehlt. Den können wir aber hinein nehmen, in dem wir gleichzeitig das ganze wieder durch dividieren: x x 4x + 3 dx = (x ) x 4x + 3 dx = (x )dx du x 4x + 3 = u =... {}}{ Substitution u = x 4x + 3 du = (x )dx 3

14 Fragen Mathe für NaWi I Übungsblatt 9, a Es ist mir nicht klar weshalb y P = a(x)x dann y p = a (x) + a(x) ergibt, ist dies nicht die Produktregel und es sollte so lauten : y p = a (x)x + a(x)? Nein, das ist korrekt! Es tut mir leid, falls ich da einen Fehler gemacht habe. Wir differenzieren y P = a(x) x. Wie Du gesagt hast: Hier müssen wir die Produkteregel anwenden und erhalten y P = a (x)x + a(x) = a (x)x + a(x). Könntest du mir nochmals erklären wie ich den partikulären Teil y p finden kann? Nochmals generell das Rezept zum Lösen von inhomogenen linearen Differntialgleichungen erster Ordnung.. Aus der inhomogenen Gleichung (I) die homogene Gleichung H herleiten.. Die Lösung von (H) bestimmen. Wir nennen diese Lösung y H. 3. Die Konstante A, die wir in y H durch die Integration erhalten haben, ersetzen wir durch eine (noch unbekannte) Funktion a(x), diese Funktion nennen wir nun y P. 4. Die Funktion y P (und ihre Ableitung y P ) setzen wir nun in die inhomogene Gleichung (I) ein, und lösen nach a(x) auf. (Zuerst nach a (x) auflösen, und dann integrieren um a(x) zu erhalten. 5. Dieses a(x) kennen wir nun explizit, und können es in y P explizit einsetzen. 6. Die Lösung von (I) lautet nun y = y H + y P. Nun zur Aufgabe a:. (H) aufschreiben { (I) xy y = x + 4. (H) lösen (H) xy y = 0 (H) : xy y = 0 dy dx = y = y x dy dx y = x y H := y = e ln(x)+c = Ax 4

15 Fragen Mathe für NaWi I y P aufstellen, 4. in (I) einsetzten y H = Ax y P := a(x)x (a(x) noch unbekannt) = y P = a (x)x + a(x) (Produkteregel) Einsetzten in (I): xy P y P = x + 4 = x(a (x)x + a(x)) a(x)x = x + 4 a (x) + a(x)x a(x) = a (x)x 5. a(x) in y P explizit einsetzen = a (x)x = x + 4 = a (x) = + 4 x integrieren 4 a(x) = x + x dx = x 4 x + c y P = a(x)x = (x 4 x + c)x = x 4 + cx 6. Lösungen zusammenführen Lösung: y = y H + y P = Ax + x 4 + cx = x + Bx 4 5