Lösung: Serie 2 - Komplexe Zahlen I

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1 Dr. Meike Akveld HS 05. (Induktion) : Serie - Komplexe Zahlen I a) Zeigen Sie die Ungleichung von Bernoulli: Für alle x > und n N gilt: b) Zeigen Sie für alle n N: ( + x) n + nx. n n, wobei a b bedeutet, dass b durch a teilbar ist, also dass b a Z. a) Für n = 0 und n = gilt offensichtlich Gleichheit. Sei nun n. Wir zeigen den Induktionsschritt n n +. Unsere Induktionsannahme lautet somit ( + x) n + nx. Multipliziere beide Seiten mit + x. Beachte, dass + x > 0. Dann gilt wegen der Induktionsannahme und wegen nx 0, dass ( + x) n+ ( + nx)( + x) = + nx + x + nx = + (n + )x + nx + (n + )x. b) Für n = 0 und n = ist die Aussage offensichtlich, da 0 = 0 Z. Sei n. Wir zeigen nun den Induktionsschritt n n +. Unsere Induktionsannahme lautet n n. Berechne (n + ) (n + ) = n + n + n + n = n n + (n + n). Wegen und folgt die Aussage. n n (Induktionsannahme) (n + n) (da (n +n) = n + n Z). Skizzieren Sie die folgenden Bereiche der komplexen Ebene! a) {z C z =, Im(z) 0} b) {z C z+ i z+i = } c) {z C Im(z) Re(z)}

2 Dr. Meike Akveld HS 05 d) {z C z z i < 4} e) {z C z i + z + i Re(z) > 0 Im(z) > 0} a) Die Elemente mit Betrag liegen auf einem Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius. Die Elemente mit Im(z) 0 liegen auf der oberen Halbebene. Beachte, dass die Randpunkte und Teil der Menge sind b) Gesucht sind alle komplexen Zahlen, die von + i genau doppelt so weit weg sind wie von i. Wir schreiben z = x + iy und rechnen x + iy + i x + iy + i = x + iy + i = 4 x + iy + i (x + ) + (y ) = 4x + 4(y + ) x 4x + y + y 4 = 0 x 4 x + y + 4y 4 = 0 ( x ) (y + ) 4 4 = 0 ( x ) + (y + ) = 5 9. Im zweitletzten Schritt haben wir dabei quadratisch ergänzt. Das Ergebnis ist ein Kreis mit Mittelpunkt i und Radius. Er wird Kreis des Apollonius genannt.

3 Dr. Meike Akveld HS i 4 c) Die Gleichung Im(z) = Re(z) beschreibt die Punkte auf der ersten Winkelhalbierenden. Die gesuchte Menge ist die Vereinigung dieser Geraden und des Bereiches oberhalb davon. d) Die Menge {z C : z } besteht aus allen Zahlen ausserhalb der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius. Die Menge {z C : z i < 4} ist die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt + i und Radius 4. Gesucht ist die Schnittmenge. Beachte, dass der Rand des kleinen Kreises schon, jener des grossen jedoch nicht Teil der Menge ist. y + i x e) Gesucht sind die Punkte im ersten Quadranten, die näher bei i sind als bei + i.

4 Dr. Meike Akveld HS 05 Die komplexen Zahlen, die von i gleich weit entfernt sind wie von +i, sind genau jene auf der Mittelsenkrechten der Strecke von i nach + i. Diese Mittelsenkrechte teilt die komplexe Ebene in zwei Halbebenen. Die komplexen Zahlen, die zu i näher sind als zu + i, ist die Halbebene, die i enthält. Dabei sind die Koordinatenachsen zur gesuchten Menge disjunkt. Der Teil der Mittelsenkrechten der Strecke von i nach + i, der im ersten Quadranten liegt, ist jedoch Teil der gesuchten Menge. y + i x i. Lösen Sie folgende Gleichungen in z C und stellen Sie die (en) in Normalform dar. a) z = i b) z+ i z 5 i = i c) z + ( + i)z i = 0 d) z = z a) Gesucht ist z = x + iy mit z = (x + iy) = x y + ixy = i. Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil erhalten wir die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für x, y R: xy = xy =, () x y = 0 x = y. () Aus der ersten Gleichung folgt, dass x 0 und damit y = x. In die zweite Gleichung eingesetzt ergibt das und daher x 4 = 4 x = =, x = =. 4

5 Dr. Meike Akveld HS 05 Es folgt aus der ersten Gleichung, dass und daher y =, y = z = + i, z = i. b) Wir rechnen Weiter folgt z + i z 5 i = i z + i = i(z 5 i) = iz 5i + z = z( i) = i z = i i. i( + i) 9 i = = 9 ( i)( + i) 0 0 i 0. c) Wir können die übliche quadratische sformel anwenden. z = ( + i) ± ( + i) 4(44 + 8i) = ( + i) ± 8 6i. Wir müssen also die Quadratwurzel von 8 6i bestimmen. Der Ansatz (a + bi) = 8 6i liefert uns 8 6i = i Bemerkung: Um eine eindeutige Wurzel von c C zu erhalten, wählen wir diejenige von z = c mit Re(z) > 0 oder Re = 0 und Im 0. Im Detail haben wir (a + bi) = a b + abi. Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil erhalten wir a b = 8 und ab = 6. Aus der zweiten Gleichung folgt a 0 und b = a. Durch einsetzen in der ersten Gleichung erhalten wir a 4 + 8a 9 = 0. Mit der sformel für quadratische Gleichungen folgt a = (nur positive möglich) und folglich a = und b =. Für unsere ursprüngliche Gleichung erhalten wir die zwei en und z = z = ( + i) + ( i) ( + i) ( i) = 6 i = 7 + i. 5

6 Dr. Meike Akveld HS 05 d) Stelle z = x + iy in Normalform dar. Es gilt genau dann, wenn und x + iy = x iy x = x y = y. Also ist x R beliebig und y = 0. Die smenge ist daher gleich R. 4. (Dreiecksungleichung) Für die komplexen Zahlen gilt die sogenannte Dreiecksungleichung z + z z + z z, z C Betrachten Sie nun den Beweis und erklären Sie bei jedem Schritt, wieso diese Umformung korrekt ist. Beweis: Es gilt z + z () = (z + z ) (z + z ) () = z z + z z + z z + z z () = z + Re(z z ) + z (4) z + z z + z (5) = z + z z + z (6) = ( z + z ) und durch Wurzelziehen erhalten wir z + z z + z. () z z = (x + iy)(x iy) = x + y = z () z + w = z + w, ausmultiplizieren () z z = z, Re(z) = z+z und z z = z z, da z w = z w, z = z (4) Re(z) z (5) z w = z w, z = z (6). Binomische Formel 6

7 Dr. Meike Akveld HS Repetition. Fassen Sie folgende Ausdrücke zusammen. Geben Sie die Werte der Variablen an, für die der gegebene Term definiert ist. a) ( x + y y z)( x + y + y z) b) x y (x+y)(x y) c) a 4b a 9 b 6a b a d) log y (0) log y (5) e) log a (4) + log b (4) log a () + log b (5) f) log a (x) + log a (x) + 4 log a (x) log a(64x ) a) Mit Hilfe der. Binomischen Formel erhalten wir b) Es gilt ( x + y y z)( x + y + y z) = x + y y z = (x + y) (y z) = x + z. Die Wurzelausdrücke sind definiert falls x + y 0 und y z. 45 x y 4 5 = 9 5 (x + y)(x y) x y 4 5 x y = x y = 5 5 x y. Der Term ist wohldefiniert falls x > y, bzw. x > y. c) Wir bemerken zuerst, dass der Ausdruck nur für a > 0 definiert ist. (Division durch a.) Es gilt a 4b a 9 b 6a b Es muss also zudem a 4 b b gelten. = a 4b a a b(4a b ) = a a a 4b a a(a 4 b b). 7

8 Dr. Meike Akveld HS 05 Für b 0 lässt sich der Term weiter vereinfachen zu a a. d) Der Logarithmus ist für die Basis y > 0, y definiert. Das Logarithmusgesetz für Quotienten liefert log y (0) log y (5) = log y ( 0 5 ) = log y(). e) Wie zuvor ist der Term für a, b > 0 und a, b definiert. Es gilt log a (4) + log b (4) log a () + log b (5) = log a (4 ) + log b (4) log a ( ) + log b (5 ) = log a ( 4 ) + log b (4 5 ) = log a () + log b (00) = log a () + log b (0). Wir verwenden hier das Logarithmusgesetz für Potenzen. f) Der Ausdruck ist wohldefiniert für a > 0, a und x > 0. Wir erhalten log a (x) + log a (x) + 4 log a (x) log a(64x ) = log a (9x ) + log a (x) + log a (6x 4 ) log a (8x) ( 9x x 6x 4 ) = log a 8x = log a (54x 6 ). 8