Vorlesung Mathematik 3 KI Bachelor 1

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1 Vorlesung Mathematik 3 KI Bachelor 1 B.Grabowski 19. Oktober (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 3/2012, Skript zur Vorlesung Mathematik 3 KI Bachelor

2 Zusammenfassung Das vorliegende Papier umfasst den Inhalt der Vorlesung Mathematik 3 KI und gibt Hinweise zu weiterführender Literatur. Wir verweisen auch auf die übliche Mathematik-Standard-Literatur, z.b. [Pap01]. Zur Ergänzung der im Skript enthaltenen Übungsaufgaben, d.h. zum weiteren Üben und zum Durchführen von Selbst-Kontrollen (Klausuren) verweisen wir auf unseren E-Learning-Tutor MathCoach.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen Definition der komplexen Zahlen Darstellungsformen komplexer Zahlen Die Normalform Die trigonometrische Form einer komplexen Zahl Umrechnungen zwischen Normalform und trigonometrischer Form Umrechung von TF in NF Umrechnung von NF in TF Die Eulerform einer komplexen Zahl Rechenoperationen Ordnungsrelationen Addition und Subtraktion Multiplikation Multiplikation in NF Multiplikation in EF Division Division in NF Division in EF Erweiterte arithmetische Operationen: Potenzieren, Wurzelziehen, Logarithmieren Das Potenzieren Der natürliche Logarithmus Wurzel-Ziehen Anwendung komplexer Zahlen Linearfaktorzerlegung (LFZ) von Polynomen Schwingungen als komplexe Zeiger Darstellung von Schwingungen durch sin- und cos-funktionen Darstellung von harmonischen Schwingungen als komplexe Zeiger Überlagerung (Addition, Superposition) gleichfrequenter Schwingungen

4 Kapitel 1 Komplexe Zahlen Bei der Übertragung von Signalen haben wir es mathematisch häufig mit der Lösung quadratischer Gleichungen zu tun. Wollen wir die Gleichung x = 0 lösen, so stellen wir fest, dass es keine reelle Zahl x gibt, die diese Gleichung löst. Es ist x = 0 x 2 = 4 x 1/2 = 4 x 1/2 = 1 4 x 1/2 = 1 2. Die beiden Lösungen x 1/2 sind in R nicht definiert, weil dort Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert sind. Wenn wir aber zu den reellen Zahlen R die Zahl 1 einfach hinzunehmen und alle in R erlaubten Rechenoperationen (wie +, -, *, /, Potenzieren, Wurzelziehen usw.) auch für die neue Zahl 1 zulassen, so entsteht eine neue größere Zahlenmenge, die dann auch die Lösungen x 1/2 der obigen Gleichung enthält. Die Zahlen in dieser Menge haben dann folgende Gestalt: z = a + 1 b, a R, b R, und werden als komplexe Zahlen bezeichnet. Wir werden uns deshalb zunächst mit der Menge der komplexen Zahlen und dem Rechnen mit diesen Zahlen beschäftigen. 1.1 Definition der komplexen Zahlen Definition 1.1 Zahlen der Gestalt heißen komplexe Zahlen. z = a + j b, wobei a, b R und j = 1 sind a = Re(z) heißt Realteil von z, b = Im(z) heißt Imaginärteil von z, j = 1 heißt Imaginäre Einheit (Schreibweisen: j, i). Die Menge C = {a + j b a R, b R} heißt Menge der komplexen Zahlen. Beispiele für komplexe Zahlen: 2j, j 17, 3 + π j, 4, 4. Wir bemerken, dass reelle Zahlen spezielle komplexe Zahlen sind, und zwar für b = 0. 2

5 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 3 In der Menge C der komplexen Zahlen sind alle quadratischen Gleichungen lösbar! Beispiel: x 2 2x + 10 = 0 x 1/2 = 1 ± 1 10 = 1 ± 9 x 1/2 = 1 ± j 3. Bemerkung: Wie wir im Beispiel gesehen haben, erhalten wir zwei Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 2x + 10 = 0: x 1 = 1 + 3j und x 2 = 1 3j. Die beiden Lösungen unterscheiden sich dadaurch, dass ihre Imaginärteile entgegengesetzte Vorzeichen haben. Man kann zeigen, dass quadratische Gleichungen immer genau zwei Lösungen in C der Gestalt z 1 = a + jb und z 2 = a jb haben. Man nennt ein solches Lösungspaar Paar konjugiert komplexer Zahlen. Definition 1.2 Sei z = a + jb. Dann heißt z konjugiert Komplexe) zu z. = a jb konjugiert komplexe Zahl (bzw. Beispiele: z 1 = 2 + j 3 z 1 = 2 j 3, z 2 = 1 j z 2 = 1 + j. Bemerkung: Es gilt: Re(z) = Re(z ) und Im(z) = Im(z ). Aufgabe 1.1 Geben Sie Realteil, Imaginärteil und die konjugiert Komplexe zu z an! a) z = 1 + 3j b) z = 4 j Aufgabe 1.2 Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen! a) z z + 6, 25 = 0 b) 3z z + 39 = 0 c) z = Darstellungsformen komplexer Zahlen Die Normalform Definition 1.3 Die Darstellung z = a + j b der komplexen Zahl heißt Normalform (NF).

6 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 4 Eine komplexe Zahl z = a + jb ist eindeutig durch ihren Realteil a und ihren Imaginärteil b bestimmt. Das Paar (a, b) kann man sich grafisch als Punkt oder als Vektor ( veranschaulichen. a Und tatsächlich wird eine komplexe Zahl z = a + jb grafisch als Ortsvektor dargestellt, wir b) bezeichen ihn als komplexen Zeiger z. Im(z) b z = a + jb a Re(z) Die Koordinatenachsen werden als Realteil-Achse (x-achse) und Imaginärteil-Achse (y-achse) bezeichnet. Bemerkung: Offensichtlich sind zwei komplexe Zahlen z 1 = a 1 + j b 1 und z 2 = a 2 + j b 2 gleich, wenn a 1 = a 2 und b 1 = b 2 ist. Beispiele: z 2 = 1 + 2j 2 Im(z) 1 z 1 = 2 + j 1 2 Re(z) 1 z 1 = 2 j Wir sehen, dass die konjugiert komplexe Zahl z zu einer komplexen Zahl z durch Spiegelung an der Realteil-Achse entsteht Die trigonometrische Form einer komplexen Zahl Wie wir an der grafischen Darstellung der komplexen Zahl als Vektor sehen, kann man sie auch eindeutig durch die Länge z ihres Zeigers und ihren Winkel ϕ zur x-achse beschreiben. Im(z) b z = a + jb z ϕ a Re(z) Wir können folgende Zusammenhänge zwischen a, b, z und ϕ herstellen:

7 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 5 Nach Pythagoras erhalten wir die Länge des Zeigers gemäß z = a 2 + b 2. Definition 1.4 z = a 2 + b 2 heißt Betrag der komplexen Zahl z = a + j b. Gemäß den Gesetzen in rechtwinkligen Dreiecken gilt weiterhin a = z cos(ϕ) und b = z sin(ϕ). Daraus ergibt sich ausgehend von der NF z = a + jb = z cos(ϕ) + j z sin(ϕ) = z (cos(ϕ) + j sin(ϕ)) Definition 1.5 Die Darstellung heißt trigonometrische Form (TF) von z. z = z (cos (ϕ) + j in (ϕ)) Dabei sind z die Länge des Zeigers von z und ϕ der Winkel von der positiven Realteil-Achse zu z in mathematisch positiver Drehrichtung (d.h. von Re(z)-Achse zu z gehen wir entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn). Beispiele: Abbildung 1.1: Beispiele für komplexe Zahlen in trigonometrischer Form Bemerkung: In der TF einer komplexen Zahl ist der Winkel ϕ nicht eindeutig bestimmt. 1. Verwendung von Perioden

8 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 6 Im(z) z = z (cos(ϕ) + j sin(ϕ)) = z (cos(ϕ + 2π) + j sin(ϕ + 2π)) ϕ Re(z) Addieren wir 2 π oder ein ganzzahliges Vielfaches k 2 π dieser Zahl zu ϕ, so entspricht das einer vollständigen Drehung bzw. k Drehungen des komplexen Zeigers im Zeigerdiagramm und wir erhalten im Ergebnis die gleiche komplexe Zahl. Dasgleiche trifft für die Subtraktion von k 2π von ϕ zu. Das heißt, es gilt: z = z (cos (ϕ) + j sin (ϕ)) = z (cos (ϕ + k 2π) + j sin (ϕ + k 2π)), k Z. Beispiel: Es ist z = 2(cos(90 ) + jsin(90 )) = 2(cos(450 ) + jsin(450 )). 2. Verwendung der negativen Winkeldrehrichtung Im(z) z = z (cos(ϕ) + j sin(ϕ)) = z (cos(α) j sin(α)) α + ϕ = 2π ϕ Re(z) α In der TF von z haben wir den Winkel ϕ in mathematisch positiver Drehrichtung (d.h. entgegengesetzt zur Uhrzeigerrichtung) bestimmt. Wir können z aber auch durch den Winkel α = 2π ϕ beschreiben, den wir in mathematisch negativer Drehrichtung (in Uhrzeigerrichtung) erhalten. Es gilt ϕ = 2π α. Setzen wir das in die TF von z ein und berücksichtigen die Eigenschaften der Periodizität von sinus und cosinus, so ergibt sich

9 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 7 z = z (cos (ϕ) + j sin (ϕ)) = z (cos (2π α) + j sin (2π α)) = z (cos ( α) + j sin ( α)) (Periodizität von sin und cos) = z (cos (α) j sin (α)) (Symmetrie von sin und cos) Satz 1.1 Sei ϕ = 2π α. Dann gilt: z= z (cos (ϕ) + j sin (ϕ))= z (cos (α) j sin (α)) Beispiel: Es ist z = 2(cos(270 ) + jsin(270 )) = 2(cos(90 ) jsin(90 )). Aufgabe 1.3 Skizzieren Sie folgende komplexe Zahlen im Zeigerdiagramm! a) z 1 = 2 (cos(30 ) j sin(30 )) b) z 2 = 4 (cos(390 ) + j sin(390 )) c) z 3 = 3 + 2j d) z 4 = z Umrechnungen zwischen Normalform und trigonometrischer Form Umrechung von TF in NF Ist die komplexe Zahl in TF gegeben: z = z (cos(ϕ) + j sin(ϕ)) = z cos(ϕ) + j z sin(ϕ), so können wir sie leicht in die NF umwandeln. Denn in rechtwinkligen Dreiecken gilt: Im(z) z ϕ a z b Re(z) Gegenkathete Hypothenuse = sin(ϕ) b z = sin(ϕ) Ankathete Hypothenuse = cos(ϕ) a z = cos(ϕ) Daraus folgt a = z cos(ϕ) und b = z sin(ϕ) und wir erhalten Analog gilt: z = z cos(ϕ) + j z sin(ϕ) = a + j b z = z cos(ϕ) j z sin(ϕ) = a j b Beispiel: Wie lautet die komplexe Zahl z = 2(cos(90 ) j sin(90 )) in Normalform? Lösung: Es ist cos(90 ) = 0 und sin(90 ) = 1 und folglich erhalten wir:

10 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 8 z = 2(cos(90 ) j sin(90 )) = 2 cos(90 ) j 2 sin(90 ) = 2 0 j 2 1 = j 2 Aufgabe 1.4 Rechnen Sie folgende komplexe Zahlen in NF um! Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die komplexe Zahl im Zeigerdiagramm darstellen! a) z 1 = 2(cos(π) + j sin(π)) b) z 2 = j sin(135 ) c) z 3 = 3 cos( π 4 ) j 3 sin( π 4 ) Umrechnung von NF in TF Sei z = a + jb eine komplexe Zahl in NF. Wollen wir ihre TF bestimmen, müssen wir den Betrag z und den Winkel ϕ von z bestimmen. Der Betrag ergibt sich gemäß z = a 2 + b 2 Zur Berechnung des Winkels nutzen wir wieder Gesetzmäßigkeiten in rechtwinkligen Dreiecken aus. Es gilt: Im(z) z z b Gegenkathete Ankathete = tan(ϕ) b a = tan(ϕ) ϕ = tan 1 ( b a ) = arctan( b a ) ϕ a Re(z) Bei der Berechnung des Winkels ϕ müssen wir allerdings noch den Quadranten berücksichtigen, indem dem komplexe Zeiger liegt. Wir unterscheiden dabei 2 Fälle. 1. Fall: Der komplexe Zeiger liegt direkt auf einer Achse des Koordinatensystems. Im(z) z 2 z 3 z 1 Re(z) z 4

11 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 9 Fall Winkel z 1 : a > 0, b = 0 ϕ = 0 z 2 : a = 0, b > 0 ϕ = 90 = π 2 z 3 : a < 0, b = 0 ϕ = 180 = π z 4 : a = 0, b < 0 ϕ = 270 = 3 2 π 2. Fall: Der komplexe Zeiger liegt nicht direkt auf einer Koordinatenachse. Fall Skizze Winkel Im(z) z 1.Quadrant : a > 0, b > 0 z b tan(ϕ) = b a ϕ a Re(z) ϕ = arctan( b a ) 2.Quadrant : a < 0, b > 0 z b z Im(z) tan(α) = b a ϕ = π α a α ϕ Re(z) ϕ = π arctan( b a ) Im(z) 3.Quadrant : a < 0, b < 0 b z a α z Re(z) tan(α) = b a ϕ = π + α ϕ = π + arctan( b a ) Im(z) α a Re(z) tan(α) = 4.Quadrant : a > 0, b < 0 z b z ϕ = ϕ = Aufgabe 1.5 Füllen Sie in der 4.Zeile der Tabelle die 3. Spalte aus! Beispiel: Stellen Sie z = 2 + 2j in TF dar!

12 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 10 Lösung: Betrag: z = = 2 2. Winkel: Die komplexe Zahl liegt (weil a < 0 und b > 0 ist) im 2. Quadranten. Demzufolge ist ϕ = π arctan( b a ) = π arctan(1) = π π 4 = 3 4 π. Wir erhalten als Ergebnis: Im(z) z = 2 + 2j = 2 2 ( cos ( 3 4 π) + j sin ( 3 4 π)) z ϕ = 3 4 π Re(z) Aufgabe 1.6 Rechnen Sie folgende komplexe Zahlen in TF um! Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die komplexe Zahl im Zeigerdiagramm darstellen! a) z 1 = 2 + 3j b) z 2 = 4j c) z 3 = 3 2j d) z 4 = z Die Eulerform einer komplexen Zahl Die Eulerform einer komplexen Zahl basiert auf ihrer trigonometrischen Form, d.h. auf der Angabe von Betrag und Winkel. Diese Form erhalten wir unter Verwendung des folgenden Satzes, der besagt, dass man die Funktionen cos(x), sin(x) und e x als Polynome unendlicher Ordnung (sogenannte Potenz- oder Taylor- Reihen) darstellen kann. Satz 1.2 Es gilt 1. cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! + x6 6! sin(x) = x x3 3! + x5 5! e x = 1 + x 1! + x2 2!...

13 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 11 Auf der Basis dieses Satzes kann man nun für x = jϕ einen Zusammenhang zwischen cos(x), sin(x) und e x herstellen. Zunächst sei bemerkt, dass gilt: j 2 = 1, j 3 = j, j 4 = 1, j 5 = j usw. usf. Setzen wir nun x = jϕ in die Gleichung für e x ein, so erhalten wir e jϕ = 1 + (jϕ) 1! + (jϕ) 2 2! + (jϕ)3 3! + (jϕ)4 4! + (jϕ)5 5! + ϕ 2 2! jϕ3 3! + ϕ4 4! + jϕ5 5! ϕ 4 4! ) + j(ϕ ϕ3 3! + = 1 + jϕ = (1 ϕ2 2! + = cos(ϕ) + j sin(ϕ) (jϕ) 6 6! +... ϕ 6 6!... ϕ 5 5! ) Satz 1.3 Es gilt: 1. e jϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ) 2. e jϕ = cos(ϕ) j sin(ϕ) Definition 1.6 Sei z = z (cos(ϕ) + jsin(ϕ)) eine komplexe Zahl. Die Darstellung heißt Eulerform (EF) der komplexen Zahl z. Bemerkungen: z = z e jϕ = z e j(ϕ+k 2π), k Z 1. Hat man die TF der komplexen Zahl, also ϕ und z, so hat man auch die EF von z. D.h., die Umrechnung einer komplexen Zahl von NF in EF bzw. EF in NF erfolgt analog zur Umrechnung von NF in TF bzw. TF in NF. 2. Die EF einer komplexen Zahl ist genauso wie die TF nicht eindeutig im Winkel. 3. Ist z = z e jϕ, so ist die konjugiert Komplexe gleich z = z e jϕ. Beispiele 1. Wie lautet die EF von z = 2 + 2j? Lösung: Wir rechnen die NF zuerst in TF um: wie wir oben gesehen haben ist z = 2 2 und ϕ = 3 4 π. Daraus ergibt sich die EF, es ist: z = 2 + 2j = 2 2(e j 3 4 π). 2. Wie lautet die NF von z = 3e π 4? Lösung: z = 3e π 4 = 3(cos( π 4 ) jsin( π 4 )) = 3 2 j 3 2. Aufgabe 1.7 Rechnen Sie folgende komplexe Zahlen in EF um! Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die komplexe Zahl im Zeigerdiagramm darstellen!

14 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 12 a) z 1 = 2 + 3j b) z 2 = 4j c) z 3 = 3 2j d) z 4 = z2 Aufgabe 1.8 Rechnen Sie folgende komplexe Zahlen in NF um! Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die komplexe Zahl im Zeigerdiagramm darstellen! a) z 1 = 2e jπ b) z 2 = 4e j π 2 c) z 3 = 3e j 2 3 π d) z 4 = e j 11 3 π 1.3 Rechenoperationen Ordnungsrelationen 1. Gleichheit Definition komplexe Zahlen z 1 = a 1 + jb 1 = z 1 e jϕ1 und z 2 = a 2 + jb 2 = z 2 e jϕ2 sind gleich,wenn sie in ihrem Real- und ihrem Imaginärteil übereinstimmen, bzw. wenn die Beträge gleich sind und die Winkel bis auf ein Vielfaches von k 2π gleich sind. D.h., es gilt: z 1 = z 2 a 1 = a 2 b 1 = b 2 z 1 = z 2 ϕ 1 = ϕ 2 ± k 2π, k Z. 2. Anordnungen Komplexe Zahlen werden durch 2 Parameter a und b bestimmt. Deshalb kann man sie nicht ordnen. Beispielsweise kann man nicht sagen, welche der beiden komplexen Zahlen z 1 = 1 + 2j, z 2 = 2 + 1j kleiner ist. D.h. in C gibt es keine Ordnungsrelation < (bzw >). Es gibt in C nur = und Addition und Subtraktion Die Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen erfolgt nur in NF. Das Ergebnis liegt dann wieder in NF vor. Definition 1.8 Seien z 1 = a 1 + j b 1, z 2 = a 2 + j b 2. Dann ist z 1 ± z 2 = (a 1 + jb 1 ) ± (a 2 + jb 2 ) = (a 1 ± a 2 ) + j (b 1 ± b 2 )

15 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 13 D.h., 2 komplexe Zahlen werden addiert bz. subtrahiert, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert bzw. subtrahiert. Geometrisch entspricht das der Vektoraddition bzw. -subtraktion. Beispiel. Seien z 1 = 1 2j und z 2 = 2 + j. Ermitteln Sie u = z 1 + z 2 und w = z 1 z 2 geometrisch und rechnerisch! Lösung: Rechnerisch: u = z 1 + z 2 = 1 2j + (2 + j) = 3 j w = z 1 z 2 = 1 2j (2 + j) = 1 2j 2 j = 1 3j Geometrisch: Vektoraddition und -subtraktion. u ( ( 1 2) + 2 ( 1) = 3 ( 1) und w 1 ( 2) 2 ) ( 1 = 1 ) 3 Im(z) z 2 Re(z) z 1 u z 2 Aufgabe 1.9 Ermitteln Sie in obiger Grafik die komplexe Zahl w = z 1 z 2 durch Vektorsubtraktion! Aufgabe 1.10 Seien z 1 = 2 + 3j, z 2 = 2 4j, z 3 = 2e j π, z 4 = 2e j π 4. Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen! Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Ergebnisse grafisch im Zeigerdiagramm ermitteln! a) u 1 = z 1 + z 2 b) u 2 = z 1 z 3 c) u 3 = z 1 + z Multiplikation Man kann 2 komplexe Zahlen die beide in NF vorliegen, miteinander multiplizieren. Das Ergebnis liegt wieder in NF vor. Man kann aber auch 2 komplexe Zahlen die beide in EF vorliegen, miteinander multiplizieren.

16 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 14 Das Ergebnis liegt dann in EF vor. D.h., die zu multiplizierenden komplexen Zahlen müssen die gleiche Darstellungsform besitzen Multiplikation in NF Definition 1.9 Seien z 1 = a 1 + j b 1, z 2 = a 2 + j b 2. Dann ist z 1 z 2 = (a 1 + jb 1 ) (a 2 + jb 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + j(b 1 a 2 + a 1 b 2 ) Beispiel. Sei z 1 = 3 + 4j und z 2 = 2 5j. Dann ist z 1 z 2 = (3 + 4j) (2 5j) = 6 + 8j 15j 20j 2 = (6 + 20) + j(8 15) = 26 7j Multiplikation in EF Definition 1.10 Seien z 1 = z 1 e jϕ1, z 2 = z 2 e jϕ2. Dann ist z 1 z 2 = z 1 e jϕ1 z 2 e jϕ2 = z 1 z 2 e j(ϕ1+ϕ2). D.h., die Beträge werden multipliziert und die Winkel addiert. Beispiel. Sei z 1 = 3e j π 2 und z 2 = 2e jπ. Dann ist z 1 z 2 = 3e j π 2 2e jπ = 3 2e j π 2 e jπ = 6e j( π 2 π) = 6e j π 2. Aufgabe 1.11 a) Multiplizieren Sie z 1 = 2 + 3j und z 2 = 1 + j und stellen Sie das Ergebnis in NF und EF dar! b) Was bedeutet die Mulltiplikation von z mit e j π 4 geometrisch? Was passiert mit z im Zeigerdiagramm? c) Multiplizieren Sie z 1 = 4e j π 2 und z 2 = 3e j 2 3 π! d) Zeigen Sie dass gilt: z z = z 2! e) Multiplizieren Sie z 1 = 4e j 2π 3 und z 2 = 1 j! Division Analog zur Multiplikation kann man 2 komplexe Zahlen nur dann dividieren, wenn sie entweder beide in NF oder beide in EF vorliegen. Das Ergebnis liegt im ersten Fall wieder in NF und im 2. Fall in EF vor Division in NF Liegen die zu dividierenden komplexen Zahlen in NF vor, so gehen wir wie folgt vor. Wir erweitern den komplexen Bruch mit der konjugiert komplexen des Nenners und machen dadurch den Nenner reell. Danach multiplizieren wir den Zähler aus und sortieren die komplexe Zahl nach Real- und Imaginärteil. Das Ergebnis liegt dann in NF vor.

17 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 15 Betrachten wir dazu ein Beispiel. Beispiel z = 1 2j (1 2j) (3 4j) 3+4j = erweitern (3+4j) (3 4j) = (1 2j) (3 4j) = 5 10j 25 = j Aufgabe 1.12 a) Berechnen Sie 2+3j 1+j! b) Berechnen Sie 1 j! c) Berechnen Sie z z! Division in EF Definition 1.11 Seien z 1 = z 1 e jϕ1, z 2 = z 2 e jϕ2. Dann ist z 1 z 2 = z1 ejϕ 1 z 2 e jϕ 2 = z1 z 2 ej(ϕ1 ϕ2). D.h., die Beträge werden dividiert und die Winkel subtrahiert. Beispiel. Sei z 1 = 3e j π 2 und z 2 = 2e jπ. Dann ist π z 1 z 2 = 3ej 2 2e = 3 jπ 2 π ej 2 e = 3 jπ 2 ej( π 2 +π) = 3 2 ej 3π 2. Aufgabe 1.13 a) Berechnen Sie z = z1 z 2 mit z 1 = 2 + 3j und z 2 = 1 + j und stellen Sie das Ergebnis z in NF und EF dar! b) Was bedeutet die Division von z durch e j pi 4 geometrisch? Was passiert mit z im Zeigerdiagramm? c) Berechnen Sie z = z1 z 2 mit z 1 = 4e j π 2 und z 2 = 3e j 2 3 π! d) Berechnen Sie z = z1 z 2 mit z 1 = 4e j 2π 3 und z 2 = 1 j! Aufgabe 1.14 Weisen Sie folgende Rechengesetze für die Division nach! a) 1 j = j ( ) ( ) z b) 1 z z 2 = 1 z2 c) z1 z 2 = z 1 z 2

18 Kapitel 1 Komplexe Zahlen Erweiterte arithmetische Operationen: Potenzieren, Wurzelziehen, Logarithmieren Definition 1.12 Wir betrachten die Gleichung z n = a, z C, a C, n Q Sind 2 der 3 Größen z, n, a gegeben, so können wir aus dieser Gleichung die dritte Größe berechnen. Je nachdem, welche der 3 Größen zu berechen ist, sprechen wir vom Potenzieren, Wurzelziehen oder Logarithmieren. Potenzieren: Geg.: z, n, Ges.: a = z n, Wurzelziehen: Geg.: n, a, Ges.: z = n a, Logarithmieren: Geg.: z, a, Ges.: n = log z (a). Alle drei Operationen werden im komplexen nur in EF durchgeführt Das Potenzieren Definition 1.13 Sei z = z e jϕ. Dann ist z n = ( z e jϕ) n = z n e jnϕ Berechnen Sie Aufgabe 1.15 a) ( e j π 4 ) 4 und geben Sie das Ergebnis in EF und NF an! b) ( 2e j π 2 ) 6 und geben Sie das Ergebnis in EF und NF an! Der natürliche Logarithmus Sei z = z e jϕ. Wir wollen den natürlichen Logarithmus ln(z) berechnen. Dieser ist für komplexes z nicht eindeutig. Um alle Werte für ln(z) zu finden, stellen wir z in der allgemeinen EF dar: z = z e jϕ = z e j(ϕ+k 2π), k Z Daraus folgt in Anwendung des Logarithmengesetzes ln(a b) = ln(a) + ln(b): ln(z) = ln ( z e j(ϕ+k 2π)) = ln ( z ) + ln ( e j(ϕ+k 2π)) = ln ( z ) + j (ϕ + k 2π), k Z Satz 1.4 Sei z = z e jϕ. Dann sind alle Lösungen n der Gleichung e n = z, n C (e = Eulersche Zahl) gegeben durch n = ln(z) = ln( z ) + j(ϕ + k 2π), k Z Für k=0 erhalten wir die sogenannte Hauptlösung: ln(z) = ln( z ) + jϕ.

19 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 17 Abbildung 1.2: Grafische Darstellung aller Lösungen n = ln(z) der Gleichung e n = z Aufgabe 1.16 Berechnen Sie ln(z) und stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar! a) z = 2e j π 3 b) z = 1 + j Wurzel-Ziehen Suchen wir für ein gegebenes n N und eine gegebene komplexe Zahl a C die Lösung z C der Gleichung z n = a, so sprechen wir vom Wurzelziehen; wir schreiben für die Lösung n a. Die Aufgabenstellung lautet dann: a) Geben Sie alle Lösungen z C von z n = a an! oder äquivalent dazu: b) Berechnen Sie n a! Die Lösung z der Gleichung z n = a ist nicht eindeutig, wir werden sehen, dass es genau n verschiedene Lösungen gibt. Um alle Lösungen zu finden, stellen wir a zunächst wieder in der allgemeinen EF dar: a = a e j(ϕa+k 2π), k Z. Allgemeines Vorgehen beim Wurzelziehen:

20 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 18 z n = a ( z e j ϕ ) n = a e j(ϕa+k 2π) Darstellen von z in EF und a in erw. EF z n e j nϕ = a e j(ϕa+k 2π) z n in EF darstellen z n = a und nϕ = ϕ a + k 2π Beträge und Winkel müssen gleich sein z = n a und ϕ = ϕa n + k n 2π z und ϕ berechnen Die Lösungen z sind also: z k = z e j ϕ k mit z = n a und ϕ k = ϕa n + k n 2π, k Z. Die Lösungen haben also alle die gleiche Länge. Die Winkel zweier benachbarter Lösungen z k und z k+1 unerscheiden sich um 2π n. ϕ 0 = ϕa n ϕ 1 = ϕa n ϕ 2 = ϕa n.. ϕ n 1 = ϕa n + 1 n 2π + 2 n 2π 2π ϕ n = ϕa n + n n 2π ϕ 0 + n 1 n ϕ n+1 = ϕa n + n+1 n 2π ϕ 1.. Satz 1.5 Die Gleichung z n = a hat genau n verschiedene komplexe Lösungen: z k = z e j ϕ k mit z = n a und ϕ k = ϕa n + k n 2π, k = 0, n 1. Die komplexen Lösungszeiger z k, k = 0,, n 1 liegen mit der Zeigerspitze auf dem Kreisbogen des Kreises mit dem Radius n a und bilden ein regelmäßiges n-eck. Abbildung 1.3: Grafische Darstellung aller Lösungen z der Gleichung z n = a Beispiel: Gesucht sind alle Lösungen von z 3 = 2 2j bzw. die Wurzel 3 2 2j! Lösung: Wir berechnen die EF von a = 2 2j. Es ist 2 2j = 8e j π 4.

21 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 19 Damit erhalten wir: z 3 = 2 2j ( z e j ϕ ) 3 = 8e j( π 4 +k 2π) Darstellen von z in EF und a in erw. EF z 3 e j 3ϕ = 8e j( π 4 +k 2π) z n in EF darstellen z 3 = 8 und 3ϕ = π 4 + k 2π Beträge und Winkel müssen gleich sein z = 6 8 und ϕ = π 12 + k 3 2π z und ϕ berechnen für k = 0, 1, 2. Wir erhalten die 3 Lösungen: z 0 = 6 8e j π 12 = 6 8e j 15 z 1 = 6 8e j( π π) = 6 8e j 105 z 2 = 6 8e j( π π) = 6 8e j 225 Abbildung 1.4: Grafische Darstellung aller Lösungen z der Gleichung z 3 = 2 2j Aufgabe 1.17 Berechnen Sie a) z 3 = j 4 b) 1 + j und stellen Sie die Lösungen grafisch dar! 1.5 Anwendung komplexer Zahlen Linearfaktorzerlegung (LFZ) von Polynomen Wir betrachten Polynome P n (x) der Ordnung n, d.h. Funktionen der Gestalt: P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Q, x C.

22 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 20 Beispiele: Polynom 2.Ordnung (Parabel) n=2: P (x) = 2x 2 + 4x + 2. Polynom 4. Ordnung n=4: P (x) = x 4 + 3x 3 x 7. Satz 1.6 : (Hauptsatz der linearen Algebra) Sei P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Q, x C. ein Polynom n.ter Ordnung. Dann gilt: 1. P n (x) hat genau n komplexe Nullstellen. 2. P n (x) hat höchstens n reelle Nullstellen. 3. Ist x v = α v + jβ v, β v 0 eine komplexe Nullstelle von P n (x), dann ist auch die konjugiert komplexe x v = α v jβ v Nullstelle von P n (x). D.h. komplexe Nullstellen treten immer paarweise als Paar konjugiert komplexer Nullstellen (x v, x v) auf. 4. Ist x v Nullstelle von P n (x), so heißt (x x v ) Linearfaktor (LF) von P n (x). Es gilt: P n (x) = (x x v ) P n 1 (x), wobei P n 1 (x) ein Polynom n-1-ter Ordnung ist. D.h., wir können von P n (x) den LF (x x v ) abspalten. 5. Seien x 1,..., x n die n komplexen Nullstellen von P n (x). Dann gilt: P n (x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ) (Linearfaktorzerlegung (LFZ) von P n (x).) Aufgabe 1.18 Welche Nullstellenkombinationen sind für das Polynom P (x) = 3x 3 8x 2 + 4x + 15 nicht möglich? a) 3 relle Nullstellen b) 3 komplexe Nullstellen c) 2 reelle und eine komplexe Nullstelle d) 1 reelle und 2 komplexe Nullstellen Begründen Sie Ihre Angaben! Beispiel: Bestimmen Sie die LFZ von P 4 (x) = 2x 4 + 4x 3 + 2x x 24! Lösung: Dieses Polynom hat genau 4 Nullstellen, entweder 4 reelle oder 2 reelle und ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen oder 2 Paare konjugiert komplexer Nullstellen. Um diese zu bestimmen gehen wir wie folgt vor: 1. Wir raten die erste Nullstelle. Dabei verwenden wir folgenden Satz. Satz 1.7 Hat P (x) = a n x n + + a 1 x + a 0 eine ganzzahlige Nullstelle, so ist sie Teiler von a 0.

23 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 21 In unserem Beispiel ist a 0 = 24. D.h., wir probieren alle Teiler von a 0 = 24 durch, das sind {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Wir erhalten als eine erste Nullstelle von P 4 (x) den Wert x 0 = Wir spalten den Linearfaktor (x x 0 ) von P 4 (x) ab. Das geschieht durch Polynomdivision P 4 (x)/(x x 0 ) oder durch Anwendung des Hornerschemas. Das Hornerschema kann man zum Berechnen des Funktionswertes P n (x) für vorgegebenes x oder zur Abspaltung von LF verwenden. a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 x 0 c n 1 c n 2 c 1 c 0 b n b n 1 b n 2 b 1 P n (x) Dabei ist b j = a j + c j und c j 1 = b j x, j = n, n 1, 1. Ist x = x 0 eine Nullstelle, so steht in der rechten unteren Ecke der Tabelle P n (x) = 0 und die Werte b n, b n 1, b n 2,, b 1 in der letzten Zeile der Tabelle sind die Koeffizienten des reduzierten Polynoms P n 1 (x), d.h. es ist: P n (x) = (x x 0 ) (b n x n 1 + b n 1 x n b 2 x + b 1 ). Wir wenden das Hornerschema auf unser Beispiel für die Nullstelle x 0 = 1 an: x 1 = Das reduzierte Polynom ist also P 3 (x) = 2x 3 + 6x 2 + 8x + 24 und es gilt: P 4 (x) = P 3 (x) (x x 0 ) = (x 1) ( 2x 3 + 6x 2 + 8x + 24 ). 3. Bestimmung der Nullstellen des reduzierten Polynoms P 3 (x) = 2x 3 + 6x 2 + 8x Wir erhalten durch Einsetzen (raten) eines Wertes aus der Menge der Zahlen {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} (ganzzahlige Teiler von 24) die Nullstelle x 1 = 3. Wir wenden nun wieder das Hornerschema an, um den LF (x-(-3)) abzuspalten und erhalten: x 2 = Ds heißt es ist P 3 (x) = 2x 3 +6x 2 +8x+24 = (x+3) (x 2 +8) bzw. P 4 (x) = (x 1) (x+3) (x 2 +8). 4. Bestimmung der Nullstellen des reduzierten Polynoms P 2 (x) = x Die Lösungen x = 0 sind x 2 = +j 8 und x 2 = j 8. Als Ergebnis erhalten wir also folgende LFZ von P 4 (x): P 4 (x) = 2x 4 + 4x 3 + 2x x 24 = (x 1)(x + 3)(x j 8)(x + j 8).

24 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 22 Als reelle LFZ bezeichnet man: P 4 (x) = 2x 4 + 4x 3 + 2x x 24 = (x 1)(x + 3)(x 2 + 8). Aufgabe 1.19 Zerlegen Sie folgende Polynome in Linearfaktoren! a) P (x) = 3x 3 4x b) P (x) = 4x 6 + 8x Schwingungen als komplexe Zeiger Darstellung von Schwingungen durch sin- und cos-funktionen Schwingungen werden in der Mathematik i.a. durch die trigonometrische Funktionen Sinus oder Cosinus dargestellt. Die einfachste Form sind Schwingungen der Form y = sin(x) und y = cos(x), x R. Eigenschaften der Funktion y = sin(x): Abbildung 1.5: Die sin(x)-schwingung 1. Die Amplitude A ist gleich 1. (D.h., sin(x) 1). 2. y = sin(x) ist periodisch, die Periode T ist T = 2 π, d.h. es gilt sin(x) = sin(x+k 2π), k Z. 3. Die Anzahl der Schwingungen im Intervall der Länge 2π wird als Kreisfrequenz ω bezeichnet. Diese Anzahl ist ω = 2π T = Die Frequenz f einer Schwingung ist gleich f = 1 T einem Intervall der Länge T stattfindet. und bedeutet, dass 1 Schwingung in 5. Die y = sin(x)-funktion ist achsensymmetrisch, d.h. es gilt: sin(x) = sin( x).

25 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 23 Aufgabe 1.20 a) Skizzieren Sie die Funktion y = cos(x)! b) Welche Amplitude, Periode, Kreisfrequenz und Frequenz besitzt y = cos(x)? c) Welche Symmetrieeigenschaft besitzt y = cos(x)? Satz 1.8 Es gilt: sin(x) = cos(x π 2 ) und cos(x) = sin(x + π 2 ) Der Satz besagt, dass eine Schwingung sowohl durch die sinus-funktion, als auch durch die cosinus-funktion dargestellt werden kann. Schwingungen starten nicht immer im Koordinatenursprung. Die allgemeine Form einer Schwingung ist y = A sin(ω x + ϕ) oder y = A sin(ω x + ϕ) Abbildung 1.6: Schwingungen y 1 = A sin(ω x + ϕ) und y 2 = A sin(ω x + ϕ) Eigenschaften der Schwingungen y 1 (x) = A sin(ω x + ϕ) und y 2 (x) = A cos(ω x + ϕ). 1. Amplitude= A (D.h., sin(x) A). 2. Kreisfrequenz = ω. 3. Periode T = 2 π ω 4. Frequenz f = 1 T = ω 2π. 2π bzw. ω = T. 5. Phase = ϕ. D.h. die sinus-schwingung y 1 (x) startet im Punkt x 0 = ϕ ω die cosinus-schwingung y 2 (x) startet im Punkt x 0 mit y 2 (x 0 ) = 1. mit y 1(x 0 ) = 0 und 6. Symmetrieeigenschaft (achsen- oder punktsymmetrisch) muss nicht erfüllt sein. Aufgabe 1.21 Worin besteht der einzige Unterschied beim Zeichnen von y 1 = A sin(ω x + ϕ) im Gegensatz zum Zeichnen von y 2 = A cos(ω x + ϕ)

26 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 24 Beispiel: Skizzieren Sie y(t) = 2sin ( 3t Π 2 )! Lösung: A = 2, ϕ = Π 2, ω = 3. Amplitude: 2 Start: 3t Π 2 = 0 t = Π 6 Periode: T = 2Π ω = 2 3 Π = 4 6 Π Abbildung 1.7: Skizze Aufgabe 1.22 a) Skizzieren Sie die Funktion y 1 (x) = 3sin(2 x + π 4 )! b) Welche Amplitude, Kreisfrequenz, Periode, Frequenz und Phase besitzt y 1 (x)? c) Skizzieren Sie die Funktion y 2 (x) = 3cos(2 x + π 4 )! Wir können uns auf die Darstellung einer Schwingung durch die Sinus-Funktion beschränken, weil jeder cosinus durch einen sinus dargestellt werden kann, wie folgender Satz beagt. Satz 1.9 Es gilt: A sin(ω x + ϕ) = A cos(ω x + ϕ π 2 ) A cos(ω x + ϕ) = A sin(ω x + ϕ + π 2 ) Aufgabe 1.23 Wie lautet die Gleichung der Funktion y(x) = 2 cos(2 x π 4 ) in der Darstellung y 1(x) = A sin(ω x + ϕ)?

27 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 25 Aufgabe 1.24 Folgender Graf zeigt eine Schwingung. a) Wie lautet die sinus- Funktionsgleichung? D.h. wie groß sind A, ω und φ in der Schwingungsgleichung y = A sin(ω x + ϕ)? b) Wie lautet die cosinus- Funktionsgleichung? D.h. wie groß sind A, ω und φ in der Schwingungsgleichung y = A cos(ω x + ϕ)? Bemerkung Wir haben hier nur Schwingungen betrachtet, deren Amplitude A konstant ist. Man bezeichnet solche Schwingungen als harmonische Schwingungen. Ändert sich die Amplitude bei Änderung von x, d.h. A = A(x), so handelt es sich nicht mehr um eine harmonische Schwingung. Typische Beispiele sind die sogenannten gedämpften Schwingungen oder die verstärkten Schwingungen.

28 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 26 Abbildung 1.8: Harmonische und gedämpfte Schwingungen Aufgabe 1.25 Durch welche Amplitudenfunktion A = A(x) kann man eine harmonische Schwingung y = Asin(ωx + ϕ) dämpfen? Wie kann man sie verstärken? Aufgabe 1.1 Lösen Sie folgende Aufgaben zu Schwingungen in MathCoach! a) Zeichne die Sinus-Funktion! b) Welche Grafik gehört zur Funktionsgleichung? c) Wie lautet die Funktionsgleichung zur Grafik? Darstellung von harmonischen Schwingungen als komplexe Zeiger Die Sinus-Transformation Eine Schwingung der Form y(t) = A sin(ωt + ϕ) an der Stelle t kann man als Imaginärteil der komplexen Zahl y(t) = A e j(ωt+ϕ) = A(cos(ωt+ϕ)+j sin(ωt+ϕ) auffassen, es ist y(t) = Im(y(t)). Definition 1.14 Die Zuordnung reell komplex y(t) = A sin(ωt + ϕ) y(t) = A e j(ωt+ϕ) = A(cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)) heißt Sinustransformation. Es ist y(t) = Im(y(t)). y(t) = A e j(ωt+ϕ) = A e jϕ e jωt heißt komplexe Schwingung. y(0) = A e jϕ heißt komplexe Amplitude bzw. komplexer Scheitelwert der Schwingung y(t). Folgende Grafik zeigt ein- und dieselbe Schwingung in reeller und in komplexer Darstellung.

29 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 27 Abbildung 1.9: Schwingung in reeller Form und in komplexer Form Aufgabe 1.26 Vervollständigen Sie die folgende Tabelle! Abbildung 1.10: Formeln und Graf von Schwingungen in reeller Form und in komplexer Form Überlagerung (Addition, Superposition) gleichfrequenter Schwingungen Satz 1.10 Seien

30 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 28 y 1 (t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) und y 2 (t) = A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) zwei gleichfrequente harmonische Schwingungen. Dann gilt: y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) = A sin(ωt + ϕ), d.h., die Summe (Überlagerung, Superposition) zweier gleichfrequenter harmonischer Schwingungen ist wieder eine harmonische Schwingung der gleichen Frequenz. Wir betrachten nun folgende Aufgabe: Gegeben: y 1 (t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) und y 2 (t) = A 2 sin(ωt + ϕ 2 ). Gesucht: y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) = A sin(ωt + ϕ), d.h., gesucht sind A und ϕ. Lösung: Diese Aufgabe lässt sich bequem lösen, indem wir die Schwingungen als komplexe Zeiger darstellen. Der Lösungsweg ist der folgende: 1. Komplexe Darstellung der Schwingungen y 1 (t) und y 2 (t). y 1 (t) y 1 (t) = A 1 e jϕ1 e jωt = y 1 (0) e jωt y 2 (t) y 2 (t) = A 2 e jϕ2 e jωt = y 2 (0) e jωt 2. Addition der komplexen Schwingungen, d.h. Addition der beiden komplexen Scheitelwerte y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) = ( y 1 (0) + y 2 (0) ) e jωt = ( A 1 e jϕ1 + A 2 e jϕ2 ) e jωt Wir addieren nun die beiden komplexen Amplituden wie folgt: y 1 (0) = A 1 e jϕ1 und y 2 (0) = A 2 e jϕ2 in NF darstellen. und addieren. Graphisch entspricht das der Addition der beiden Vektoren y 1 (0) und y 2 (0). Das Resultat liegt in NF vor. Das Ergebnis der Addition transformieren wir nun in EF! Es ist dann y 1 (0) + y 2 (0) = A 1 e jϕ1 + A 2 e jϕ2 = A e jϕ 3. Die überlagerte Schwingung ist dann y(t) = ( y 1 (0) + y 2 (0) ) e jωt = ( A e jϕ) e jωt = A e j (ωt+ϕ). Diese transformieren wir über die Sinustransformation zurück, es ist y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) = Im(y(t)) = A sin(ωt + ϕ)

31 Kapitel 1 Komplexe Zahlen 29 Hausaufgabe 1 : Übungsblatt

32 Literaturverzeichnis [Pap01] L.Papula. Mathematik für Ingenieure. Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, Band 2,