Name: Mustermann Vorname: Max Matrikel-Nr.: Studienfach:...

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1 apl. Prof. Dr. Klaus Reinhardt 22. März 2013 Name: Mustermann Vorname: Max Matrikel-Nr.: Studienfach: Wichtige Hinweise: 1. Prüfen Sie Ihr exemplar auf Vollständigkeit (ein Deckblatt und Aufgabenblätter mit den Seitennummern 3 11). 2. Die dauert 100 Minuten. 3. Alle Aufgaben sind auf dem jeweils zugehörigen Aufgabenblatt zu bearbeiten; Rückseiten können bei Bedarf verwendet werden. 4. Die ist komplett (mit Deckblatt und allen Aufgabenblättern) abzugeben. 5. Zugelassene Hilfsmittel: Handgeschriebene Vorlesungsunterlagen. Andere Hilfsmittel sind nicht erlaubt (auch kein Taschenrechner)! Punkte Aufgabe 1 8 Aufgabe 2 11 Aufgabe 3 6 Aufgabe 4 8 Aufgabe 5 12 Aufgabe 6 6 Aufgabe 7 11 Aufgabe 8 4 Aufgabe 9 8 Aufgabe Aufgabe 11 6 Aufgabe 12 4 Aufgabe 13 6 Gesamt 100 erreicht 6. Alle in Formeln vorkommenden Bezeichner müssen erklärt werden soweit die Aufgabenstellung nicht ausdrücklich etwas anderes aussagt. Ergebnisse, die in einer Restklasse Z n liegen, sind stets als Repräsentant in {0,..., n 1} anzugeben. 7. Unterschreiben Sie die letzte Seite der!

2 Aufgabe 1 (Vollständige Induktion) 8 Punkte Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen, die für alle n N 0 gelten sollen. Als Lösung wird ein Beweis durch vollständige Induktion erwartet, als Widerlegung die Angabe eines Gegenbeispiels. (a) n 3 i = i 2 i=0 (b) n 1 (3 i i + 1) = n 3 i=0 2

3 Aufgabe 2 (Modulorechnung - Satz von Euler-Fermat) 11 Punkte (a) Berechnen Sie 7 (7(7(7(77) )) ) Mod 11; geben Sie mindestens drei Zwischenergebnisse an. (b) Ändert sich etwas bei 7 (7(7(7(7(77)))) ) Mod 11? (Kurze Begründung) Aufgabe 3 (Primzahlen) 6 Punkte Sei n = 10 ein Primzahlkandidat. Geben Sie einen Fermat-Zeugen a mit ggt (a, 10) = 1 an, der beweist, dass 10 keine Primzahl ist. Geben Sie die einschlägige Rechnung an. 3

4 Aufgabe 4 (Gruppen, Monoide) 8 Punkte Ein Element a U einer Struktur U = (U, ) mit einer Verknüpfung : U U U heißt absorbierend falls a x = x a = a für alle x U. (a) Zeigen Sie dass ein Gruppoid höchstens ein absorbierendes Element haben kann. (b) Zeigen Sie dass eine Gruppe mit einem absorbierenden Element kein anderes Element haben kann. (c) Geben Sie ein Beispiel eines Monoides mit einem absorbierenden Element und U = 3 an. 4

5 Aufgabe 5 (RSA) 12 Punkte Sei n = 473. Bestimmen Sie das kleinstmögliche e 1, sodass (n, e) ein gültiger RSA- Schlüssel ist. Begründen Sie, warum kleinere e nicht möglich sind. Aufgabe 6 (RSA) 6 Punkte Seien p q ungerade Primzahlen und n = p q. Was ist dann für alle m das Ergebnis von m φ(n)/2 Mod n? (Begründung) 5

6 Aufgabe 7 (Diffie-Hellman) 11 Punkte Alice und Bob vereinbaren einen geheimen Schlüssel K mit dem Diffie-Hellman-Verfahren mit p = 11 und g = 7. Dabei übermitteln sie sich gegenseitig die Werte 2 bzw. 3. (a) Zeigen Sie, dass 7 eine Primitivwurzel (d.h. erzeugendes Element von Z 11) modulo 11 ist. (b) Bestimmen Sie K. Aufgabe 8 (Heiratssatz) 4 Punkte Zeigen Sie, dass der folgende bipartite Graph G = (A B, E) kein perfektes Matching haben kann: a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 a 5 b 5 a 6 b 6 6

7 Aufgabe 9 (Verbände) 8 Punkte Betrachten Sie die Struktur (N, ) wobei die Relation dadurch definiert ist dass a b wenn jeder Primfaktor von a auch Faktor von b ist. Begründen Sie im Folgenden kurz Ihre Antwort! (a) Ist reflexiv auf N? (b) Ist transitiv auf N? (c) Ist (N, ) eine Halbordnung? (d) Konstruieren Sie einen Verband (M, ) mit {8, 9, 10, 12} M N und stellen Sie diesen als Hassediagramm dar. 7

8 Aufgabe 10 (Ringe, Körper) 10 Punkte (a) Bestimmen Sie die Ordnung von g(x) = x + 1 in der multiplikativen Gruppe des Körpers Z 2 [2] modulo dem irreduziblen Polynom f(x) = x 4 + x 3 + x Z 2 [2]. (b) Berechnen Sie das multiplikativ inverse g 1 (Methode freigestellt). (c) Erwähnen Sie eine alternative Methode zu der in (b) und beschreiben Sie dabei grob wie sich die Laufzeit im Vergleich allgemein mit dem Grad ändern würde. 8

9 Aufgabe 11 (Diskrete Wahrscheinlichkeit) 6 Punkte Beim Roulette kommen alle z {0, 1,..., 36} mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor. Setzt man auf eine einzelne Zahl, kann man (mit Glück) den Einsatz ver-36-fachen; setzt man auf hoch (d.h. z {19,..., 36}) oder ungerade (d.h. z 1(mod2)), kann man (mit Glück) den Einsatz verdoppeln. (a) Berechnen Sie in allen 3 Fällen den Erwartungswert des Betrages, den Sie bei Einsatz von 10 Euro zurückerhalten. (b) Geben Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr[30 hoch], Pr[ ungerade 30], Pr[ ungerade hoch] und Pr[ hoch ungerade] an. 9

10 Aufgabe 12 (Graphen, Kombinatorik) 4 Punkte (a) Wie viele verschiedene bipartite Graphen G = (A B, E) mit A = B = n gibt es? (b) Wie viele verschiedene perfekte Matchings hat der vollständige bipartite Graph G = (A B, A B) mit A = B = n? Aufgabe 13 (Logik) 6 Punkte Geben Sie zur der Formel (p q) r eine logisch äquivalente Formel in disjunktiverund eine logisch äquivalente Formel in konjunktiver Normalformen an. 10