Tutorium: Diskrete Mathematik

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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Abschlussklausur am (Teil 2) 15. Februar 2017

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

3 Aufgabe 1 Es sei L = {1, 2, 3}, M = {1, 2, 3, 4} und N = {1, 2,..., 15}. Mit P(L), P(M) und P(N) seien die Potenzmengen von L, M und N bezeichnet. a) Wie viele Elemente besitzen P(M) und P(N)? b) Gib alle Elemente von P(L) an. c) Wie viele 5-elementige Teilmengen besitzt N? d) Wie viele Abbildungen f : L M gibt es und wie viele davon sind injektiv? e) Eine Zeile im Pascalschen Dreieck ist: Berechne die nächste Zeile! f) Es sei n = Berechne ( ) ( ) n n c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

4 Aufgabe 2 a) Wie viele sinnvolle oder sinnlose Wörter lassen sich aus den Buchstaben des Worts MASSACHUSETTS bilden? b) Wie lautet der Koeffizient von x 7 y 5 in (x + y) 12? c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, im Lotto exakt 4 richtige Gewinnzahlen anzukreuzen? d) Gegeben seien zwei Mengen A und B mit A = 11 und B = 3. Wie viele Abbildungen f : A B gibt es, für die paarweise verschiedene Elemente a 1, a 2, a 3, a 4 A mit f (a 1 ) = f (a 2 ) = f (a 3 ) = f (a 4 ) existieren? e) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 nicht unterscheidbare Bonbons auf 4 Kinder zu verteilen? 4 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

5 Aufgabe 3 Zeige durch vollständige Induktion, dass für alle r 5 gilt: r j=5 ( ) j = 5 ( ) r + 1. r 5 5 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

6 Aufgabe 4 Es seien a, b, c, d Elemente einer Gruppe G. a) Vereinfache den folgenden Ausdruck: a ( bdc 1) 1 bd 1 a ( b 1 d 1 a ) 1 a 1 b 1 b) Können weitere Vereinfachungen vorgenommen werden, wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass G kommutativ ist? 6 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

7 Aufgabe 5 Es sei E(Z 21 ) die Einheitengruppe des Rings (Z 21, +, ). a) Gib die Elemente der Einheitengruppe E(Z 21 ) an. b) Bestimme die durch 16 erzeugte Untergruppe H von E(Z 21 ). c) Bestimme die Links- und Rechtsnebenklassen von H. d) Entscheide, ob die Untergruppe H isomorph zur durch r (Drehung um 120 ) erzeugten Untergruppe der Dreiecksgruppe ist. 7 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

8 Aufgabe 6 a) Gibt es mehr als 300 binäre Relationen auf B = {a, b, c}? b) Sei C = {5, 7, 15, 70, 105} und sei die Teilbarkeitsrelation auf C. Gib das Hasse-Diagramm von (C, ) an. c) Gegeben sei die Menge A = { a, b, c, d }. Gib eine Relation R an, die symmetrisch, nicht reflexiv und transitiv ist, für die außerdem R > 9 gilt. d) Gegeben sei eine Menge A = { a, b, c, d, e, f } sowie eine auf dieser Menge definierte Relation { } R = (a, a), (a, c), (e, c), (b, d), (d, b), (f, a), (d, f ). Bestimme die kleinstmögliche Relation S, die eine Äquivalenzrelation ist und die R vollständig enthält. 8 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

9 Aufgabe 7 π sei folgende Permutation der Menge {1, 2,..., 10}: ( π = ) Gib π in Zyklenschreibweise an! Stelle π als Produkt von Transpositionen dar und entscheide, ob π gerade oder ungerade ist. 9 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

10 Aufgabe 8 Falls vorhanden, bestimme man das multiplikative Inverse von a) 3 in Z 50 b) 30 in Z 51 c) 300 in Z 301 d) 486 in Z 967, wobei das Ergebnis durch ein s {1, 2,..., 966} ausgedrückt werden soll Man gebe kurze Begründungen für die Antworten! 10 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

11 Aufgabe 9 a) Zeige, dass sich unter n aufeinanderfolgenden Zahlen stets eine durch n teilbare Zahl befindet. b) Zeige, dass unter m + 1 Zahlen stets zwei Zahlen a und b mit a b (mod m) existieren. 11 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

12 Aufgabe 10 Der Graph G sei ein vollständiger Graph mit 7 Knoten, aus dem 2 nicht benachbarte Kanten entfernt wurden. Der Graph H entsteht, indem man aus einem vollständigen Graphen mit 15 Knoten einen zu G isomorphen Teilgraphen entfernt. Wie viele derartige Graphen H gibt es? 12 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

13 Aufgabe 11 a) Der Graph G habe 20 Knoten. Es gelte: 6 Knoten von G haben den Grad 2, 4 Knoten haben den Grad 3, 8 Knoten haben den Grad 4 und die restlichen 2 Knoten haben den Grad 8. Wie viele Kanten hat G? b) Der Graph G sei wie in a). Hat G eine Eulersche Linie? (Kurze Begründung!) c) H sei ein Graph mit 300 Knoten und bestehe aus vier Zusammenhangskomponenten H 1,..., H 4. H 1 sei ein Kreis und die übrigen Zusammenhangskomponenten seien Bäume. Wie viele Kanten hat H? 13 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

14 Aufgabe 12 Es seien der öffentliche RSA-Schlüssel (23, 247) sowie die verschlüsselte Nachricht c = 42 gegeben. Wie lautet die unverschlüsselte Nachricht m? 14 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

15 Aufgabe 13 Es seien die folgenden beiden Polynome gegeben: a(x) = x 9 + 2x 7 3x 6 + 2x 4 x 3 + 5x 2 + x 23 b(x) = x 10 5x 9 + 2x 6 3x 5 4x 4 + 2x 3 x a) Bestimme den Grad des Polynoms a(x) b(x). b) Welchen Koeffizienten besitzt x 13 im Produkt a(x) b(x)? 15 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

16 Aufgabe 14 Gegeben seien die beiden folgenden Polynome aus Z[x]: a(x) = 2x 3 + 2x 2 + x + 1 b(x) = x 2 + 2x + 1. Bestimme den normierten größten gemeinsamen Teiler von a(x) und b(x). 16 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

17 Aufgabe 15 Gegeben seien die beiden folgenden Polynome aus Z 5 [x]: a(x) = 2x 6 + 4x 5 + 3x 4 + 4x 3 + x b(x) = 4x Bestimme den Quotienten a(x) : b(x). 17 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

18 Aufgabe 16a-e Wahr oder falsch? a) Es existieren bijektive Abbildungen N Z Z. b) Es existiert keine injektive Abbildung Z Q. c) Es existiert eine surjektive Abbildung N R. d) Jeder Graph, der nur Knoten geraden Grades besitzt, hat einen Hamiltonkreis. e) Es existiert ein Graph mit 5 Knoten, in dem keine zwei Knoten denselben Grad besitzen. 18 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

19 Aufgabe 16f-i Wahr oder falsch? f) Jede symmetrische Relation R besitzt eine gerade Anzahl an Elementen, d.h. R = 2n für n N. g) Das Inverse von 2703 in Z 3012 ist 147. h) Es gibt symmetrische Ordnungsrelationen. i) Es gilt (mod 11). 19 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017

20 Viel Erfolg bei der Klausur :) 20 c 2017 Steven Köhler 15. Februar 2017