EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA Proseminar SS Übungsblatt für den

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1 1. Übungsblatt für den Es seien a, b Z. Beweisen Sie: a) a b T (a) T (b) b) Für jedes k Z gilt: T (a) T (b) = T (a) T (b + ka) c) Für jedes k Z gilt: ggt(a, b) = ggt(a, b + ka). 2. Für n N werden die Fibonacci-Zahlen F n rekursiv wie folgt definiert: F 1 = 1, F 2 = 1, für n 1 : F n+2 = F n+1 + F n. a) Geben Sie die Zahlen F n für n 10 an und zeigen Sie, dass (F n ) n 2 eine streng monoton wachsende Folge ist. b) Zeigen Sie, dass für n 2 gilt: n 1 i=1 F i = F n+1 1. c) Zeigen Sie, dass für alle n 1 gilt: ggt(f n, F n+1 ) = Beweisen Sie, dass für alle n N gilt: 54 ( 2 2n+1 9n 2 + 3n 2 ). Tipp: Versuchen Sie einen Beweis mittels vollständiger Induktion zu führen. 4. Beweisen Sie die folgende Behauptung, oder finden Sie ein Gegenbeispiel: Sind a, b, c Z mit ggt(a, b, c) = 1, so gilt ggt(a, b) = 1 oder ggt(a, c) = 1 oder ggt(b, c) = Verwenden Sie die Algorithmen von Euklid und Berlekamp, um ggt(85529, 62651) zu berechnen und diesen als (ganzzahlige) Linearkombination der beiden Zahlen darzustellen. 6. Beweisen Sie: sind a, b Z mit b 0, so gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r Z mit a = bq + r und b < r b Formulieren Sie mit Hilfe von Beispiel 6. eine Variante des Euklidschen Algorithmus, für welche gilt: Sind a, b, k N mit b a und 2 k 1 b < 2 k, so lässt sich ggt(a, b) in höchstens k Schritten berechnen. Lösen Sie mit dieser Variante nochmals Beispiel 5. Wie viele Schritte benötigen Sie dabei?

2 2. Übungsblatt für den Beweisen Sie Satz 5 von 1 der Vorlesung. 9. Es sei 2 k N und a 1, a 2,..., a k Z \ {0}. Zeigen Sie, dass dann ) kgv(a 1, a 2,..., a k ) = kgv (kgv(a 1, a 2,..., a k 1 ), a k gilt. 10. Bestimmen Sie für beliebiges n N: ggt(n, n + 1), kgv(n, n + 1), ggt(n, n + 1, n + 2), kgv(n, n + 1, n + 2). 11. Welche x Q könnten Lösungen der folgenden Gleichung sein: Welche davon sind tatsächlich Lösungen? 81x 8 72x 6 65x x 2 16 = Bestimmen Sie mit einer Variante des Siebes von Eratosthenes {p P 300 p 400}. (Die Menge hat 16 Elemente). Welche Primzahlen müssen Sie dafür bereits kennen? Überlegen Sie sich eine zeit- und platzsparende Methode, um dieses Beispiel an der Tafel vortragen zu können!

3 3. Übungsblatt für den Für reelle Zahlen wird eine Operation folgendermaßen definiert: x, y R : x y = xy 2x 2y + 6. Untersuchen Sie das Verknüpfungsgebilde (R, ) auf alle in 2, Definition 1.c) der Vorlesung definierten Eigenschaften. 14. Es sei N eine beliebige Menge und M = P(N) die Potenzmenge von N. Zeigen Sie, dass (M, ) eine kommutative Halbgruppe ist. Welche Elemente von M sind bezüglich invertierbar?

4 4. Übungsblatt für den Es sei M = {A, B, C} eine Menge mit 3 Elementen. a) Wie viele verschiedene Relationen gibt es auf M? Wie viele davon sind reflexiv, wie viele sind symmetrisch? Wie viele Relationen auf M sind reflexiv und symmetrisch? b) Wie viele verschiedene Äquivalenzrelationen gibt es auf M? c) Geben Sie eine Relation auf M an, die eine Äquivalenzrelation und zugleich auch eine Ordnungsrelation ist. Wie viele solche Relationen gibt es? Können Sie dieses Ergebnis auf beliebige Mengen M verallgemeinern? 16. Auf der Menge Q wird eine Relation δ folgendermaßen definiert: für rationale Zahlen r, s Q gelte r δ s genau dann, wenn in der reduzierten Bruchdarstellung m = r s von r s gilt: 3 n. Zeigen Sie, dass δ eine Äquivalenzrelation auf Q ist, und n geben Sie die Äquivalenzklasse von 0 an! 17. Auf Q sei die Relation δ so wie in Beispiel 16 definiert. Zeigen Sie, dass die Äquivalenzklasse von 0 eine Untergruppe von (Q, +) und eine Unterstruktur von (Q, ) ist. Zusatz für Spezialist(inn)en: Zeigen Sie, dass die Äquivalenzklasse von 0 bezüglich + keine endlich erzeugte Gruppe ist. 18. Überlegen Sie sich, dass (GL 3 )(R), ) (mit der Matrizenmultiplikation) ) eine Gruppe ist und dass die Matrizen A = und B = Elemente dieser Gruppe sind. ( ( Bestimmen Sie möglichst kleine n i N, für welche A n 1 bzw. B n 2 bzw. (AB) n 3 das neutrale Element dieser Gruppe ist.

5 5. Übungsblatt für den Es sei M = {X, Y, Z} eine Menge mit 3 Elementen. Geben Sie alle möglichen Verknüpfungen auf M an, sodass (M, ) eine Gruppe ist! 20. Es sei C = {( ) } a b b a a, b R M2,2 (R). Zeigen Sie, dass C eine Untergruppe von (M 2,2 (R), +) ist und dass C \ {( )} eine Untergruppe von (GL 2 (R), ) ist! 21. Es sei (G, ) eine Gruppe und M, N G. Zeigen Sie: a) M = N M N und N M. b) M = { g e 1 1 g e gr er r N 0, g 1,..., g r M und e 1,..., e r {1, 1} }. c) Ist G eine abelsche Gruppe und M = {g 1,..., g n } eine endliche Menge, so gilt: M = { g k 1 1 g k gn kn k i Z}. Wie lautet dieses Ergebnis, wenn die Operation auf G mit + bezeichnet wird? 22. Bestimmen Sie 12, 18, 27 (Z, +)! Zusatz für Spezialist(inn)en: können Sie für beliebig gegebene n 1, n 2,..., n r Z die Untergruppe n 1, n 2,..., n r (Z, +) bestimmen? 23. Welche Ordnung hat das Element ι = ( ) C in den beiden Gruppenstrukturen von Beispiel 20? 24. Es sei (G, ) eine kommutative Gruppe mit neutralem Element e und g, h G Torsionselemente mit ord(g) = m N und ord(h) = n N. Zeigen Sie, dass ord(gh) kgv(m, n) gilt! Geben Sie ein konkretes Beispiel mit ord(gh) < kgv(m, n) an!

6 6. Übungsblatt für den Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e, und für jedes a G \ {e} sei ord(a) = 2. Beweisen Sie: G ist kommutativ! 26. Es seien (G, ) eine Gruppe, a, b G mit ord(a) = 5, ord(b) = 2, und es gelte ab = ba 1. Zeigen Sie: für die von {a, b} erzeugte Untergruppe a, b G von G gilt: a, b = {a k, a k b 0 k 4}, und diese Gruppe besteht aus genau 10 Elementen. Zusatz für Spezialist(inn)en: Verallgemeinern Sie dieses Beispiel, indem Sie 5 durch eine beliebige natürliche Zahl n 3 ersetzen! 27. Es seien (G, ) eine Gruppe, a G und U G eine Untergruppe. Beweisen Sie, dass dann auch κ a (U) eine Untergruppe von G ist! 28. R sei mit der üblichen Addition als Operation versehen. Geben Sie ein Repräsentantensystem für die Linksnebenklassen R/Z an! Gilt Z\R = R/Z? Zusatz für Spezialist(inn)en: Geben Sie einen Gruppenhomomorphismus von (R, +) nach (C \ {0}, ) an, dessen Kern gleich Z ist! 29. Es seien (G, ) eine Gruppe und H G eine Untergruppe vom Index 2, also: (G : H) = 2. Beweisen Sie, dass H ein Normalteiler von G ist! 30. Es sei U eine nicht triviale Untergruppe von (Z, +). Zeigen Sie: Es gibt kein Repräsentantensystem R Z für die Faktorgruppe Z/U, sodass R auch eine Untergruppe von Z ist!

7 7. Übungsblatt für den Für n N bezeichne C n eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Zeigen Sie, dass für natürliche Zahlen m, n N folgende Aussagen äquivalent sind: (i) ggt(m, n) = 1 (ii) C m C n ist eine zyklische Gruppe (iii) C m C n C mn 32. Es seien m, n N mit ggt(m, n) = d > 1. Bestimmen Sie die lt. VO 3, Satz 11 eindeutig bestimmten Zahlen d 1, d 2 N sowie geeignete Elemente b 1, b 2 C m C n, sodass C m C n = b 1 b 2 (dir) 33. Es sei (R, +, ) ein Ring. Zeigen Sie, dass das Zentrum von R, Z(R) = {r R rx = xr für alle x R} ein Teilring von R ist. 34. Überlegen Sie sich, dass R = (M 2,2 (R), +, ) ein Ring ist. Ist R kommutativ? Bestimmen Sie das Zentrum der Ringes, Z(R) (vgl. Beispiel 33.), und das Zentrum der Einheitengruppe von R, Z(R ) (vgl. VO 3, Def. 8.b)). Tipp: Verwenden Sie Matrizen mit 3,,Nullen. 35. Es sei R der Ring aus Beispiel 34. und {( ) a 0 A = a, b R} R. b 0 Zeigen Sie, dass A eine additive Untergruppe von R ist und dass für alle r R gilt: ra A. Zusatz: Können Sie analog eine additive Untergruppe A R finden, sodass für alle r R gilt: A r A? 36. Zeigen Sie, dass der Ring aus Beispiel 34. ein einfacher Ring ist! (Tipp wie bei Beispiel 34.) Zusatz für Spezialist(inn)en: Überlegen Sie sich, wie die Beispiele für R = (M n,n (R), +, ) und beliebiges 2 n N sich verallgemeinern!

8 8. Übungsblatt für den Eine schriftliche Ausarbeitung dieses Beispiels ist am Beginn der Übungseinheit abzugeben. Es seien (R, +, ) ein Ring und I(R) = {I I R} die Menge aller Ideale von R. Untersuchen Sie, bezüglich welcher der Operationen, +, die Menge I(R) eine (kommutative) Halbgruppe bildet. 38. Es seien R, S Ringe mit R = 1 und S 2. Zeigen Sie: es existiert genau ein Ringhomomorphismus ν : S R, und es existiert kein Ringhomomorphismus ψ : R S. 39. Es seien R ein Ring, S ein Integritätsbereich und ϕ : R S ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie, dass für alle a, b R gilt: aba 1 b 1 ϕ 1 ({1}) (d.h. im Kern des Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppen liegt). Zusatz für Spezialist(inn)en: Gilt stets NT(R) ker(ϕ), oder können Sie ein Gegenbeispiel dazu angeben? 40. Es sei (R, +, ) ein kommutativer Ring mit R 2. Ein Element a R heißt nilpotent, wenn es ein n N mit a n = 0 gibt. Zeigen Sie: (i) Jedes nilpotente Element ist ein Nullteiler. (ii) {a R a ist nilpotent} ist ein Ideal von R (das Nilradikal von R). 41. Es sei 2 n N und p 1,..., p r P die verschiedenen Primteiler von n. Zeigen Sie: ein Element a + (n) Z/(n) ist genau dann nilpotent, wenn p 1 p r a gilt. Können Sie ein Beispiel eines Nullteilers angeben, der nicht nilpotent ist?

9 9. Übungsblatt für den Bestimmen Sie alle Ideale von Z/(30). Welche davon sind maximal? Welche Ideale enthalten nur Nullteiler (wieso)? Ist dieser Ring ein Hauptidealring? Zusatz für Spezialist(inn)en: Zeigen Sie, dass dieser Ring isomorph zu einem Produkt von Körpern ist! 43. Es seien n N und R i, 1 i n, (nicht notwendig kommutative) Ringe mit char(r i ) = n i N 0. Bestimmen Sie die Charakteristik des (äußeren) direkten Produkts der Ringe, S = R 1 R 2 R n! Zusatz für Spezialist(inn)en: Geben Sie die Torsionselemente von S an bzw. eine Formel, wie sich deren Ordnung aus den Ordnungen der einzelnen Komponenten bestimmen lässt! 44. a) Bestimmen Sie alle x Z, für die 3(x 1) 18 mod (70) gilt. b) Es seien a, b Z, m N und d = ggt(a, m). Beweisen Sie: a b mod (m) d b und a d b ( m ) mod. d d Bestimmen Sie alle x Z, für die 7x mod (70) gilt. 45. Bestimmen Sie jeweils alle x Z, die das Kongruenzsystem x a 1 mod (3), x a 2 mod (4), x a 3 mod (5) lösen, wobei (a 1, a 2, a 3 ) = (1, 0, 0) bzw. (0, 1, 0) bzw. (0, 0, 1) bzw. (2, 2, 4) ist.

10 10. Übungsblatt für den Es sei ϕ die Euler sche Phi-Funktion. a) Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl n 3 ϕ(n) gerade ist! b) Zeigen Sie, dass für jede ungerade natürliche Zahl n N gilt: ϕ(n) = ϕ(2n). c) Bestimmen Sie alle n N mit ϕ(n) = 10 bzw. ϕ(n) = Bestimmen Sie den 7-adischen Exponenten und die 7-adische Ziffernentwicklung der folgenden (Dezimal-)Zahlen: , Bestimmen Sie mittels Satz 5 aus 5 der Vorlesung die Vorperiodenlänge und die Periodenlänge der 2-adischen bzw. der 5-adischen Ziffernentwicklung von x = Geben Sie die Dualdarstellung von 7 20 an! 49. Es seien S ein kommutativer Ring, R S ein Teilring und x S. Zeigen Sie: Ist die Menge M = {x} algebraisch unabhängig über R, so ist für jedes a R auch die Menge M a = {x+a} algebraisch unabhängig über R. Zusatz für Spezialist(inn)en: Gilt das Ergebnis auch, wenn man statt x + a andere Elemente von R[x] wählt?

11 11. Übungsblatt für den Lässt sich die,,division mit Rest (Satz 5.d)) für die Polynome f = 6X 3 + X 2 12X + 12 und g = 2X 1 im Polynomring Z[X] bzw. Q[X] durchführen? Falls ja, geben Sie die entsprechenden Polynome q und r an! 51. Beweisen Sie: ist f R[X] ein Polynom mit reellen Koeffizienten und α C \ R eine nichtreelle, komplexe Nullstelle von f, so ist auch α eine Nullstelle von f. Welche Eigenschaften hat die komplexe Konjugation als Abbildung von C nach C (z z) aus algebraischer Sicht?