Algebraische Grundlagen der Informatik
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- Angela Weber
- vor 6 Jahren
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1 Kurt-Ulrich Witt Algebraische Grundlagen der Informatik Zahlen - Strukturen - Codierung - Verschlüsselung vieweg
2 Vorwort Abbildungssverzeichnis V VII XIII I Grundlagen 1 1 Mengen und Einführung in die Logik Definition von Mengen Aussagenlogik Alphabet der Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik aussagenlogische Formeln Semantik aussagenlogischer Formeln Logische Folgerung Kalküle Aussagenlogische Äquivalenzen Normalformen und aussagenlogische Basen Resolutionskalkül Prädikatenlogik Alphabet der Prädikatenlogik Syntax der Prädikatenlogik prädikatenlogische Formeln Semantik der Prädikatenlogik Beweismethoden Direkter Beweis Indirekter Beweis Beweis durch Widerspruch Ringschluss Teilmengen Operationen auf Mengen Boolesche Algebra Übungen 43
3 VIII 2 Relationen und Funktionen Relationen Ordnungen Äquivalenzrelationen Umkehrrelationen und Komposition von Relationen Umkehrrelationen Komposition von Relationen Reflexiv-transitive Hüllen Funktionen Übungen 61 3 Induktion und Rekursion Peano-Axiome: Definition von N Vollständige Induktion Rekursion Fibonacci-Zahlen Ackermannfunktion Verallgemeinertes Rekursionsschema Alphabete, Wörter, Sprachen Übungen 80 II Zahle nmengen 83 4 Die Menge der natürlichen Zahlen Rechenregeln Abzählbarkeit Übungen 91 5 Die Menge der ganzen Zahlen Definition von Z Rechenregeln in Z Abzählbarkeit von Z Übungen 96 6 Die Menge der rationalen Zahlen Definition von Q Rechenregeln in Q Abzählbarkeit von Q Übungen Die Menge der reellen Zahlen 101
4 IX 8 Darstellungen natürlicher Zahlen adische Darstellung Stellenwertsysteme Divisionsrestverfahren Addition 6-adischer Zahlen Multiplikation ö-adischer Zahlen Übungen Ganze Zahlen. Subtraktion Vorzeichen-/Betrags-Darstellung Komplementdarstellungen. Subtraktion Das ö-komplement Addition in ^-Komplementdarstellung Übungen Gleitpunktzahlen Festpunktdarstellung Umwandlung Dezimalbruch in Dualbruch Gleitpunktdarstellung Normalisierte Darstellung Rechnerinterne Darstellung Addition und Subtraktion von Gleitpunktzahlen Übungen 130 III Einführung in die elementare Kombinatorik Permutationen Permutationen ohne Wiederholung Permutationen mit Wiederholung Übungen Kombinationen Kombinationen ohne Wiederholung Kombination mit Wiederholung Übungen Binomialkoefnzienten 145 IV Einführung in die Zahlentheorie Teilbarkeit und Primzahlen Größter gemeinsamer Teiler Euklidischer Algorithmus Vollkommene Zahlen Primzahlen 162
5 X 14.5 Offene Fragen Übungen 166 V Algebraische Strukturen Einführung Halbgruppen Unterhalbgruppen Halbgruppenhomomorphismen Kongruenzrelationen Übungen Gruppen Gruppenisomorphismen Zyklische Gruppen Untergruppen Permutationsgruppen Der Satz von Lagrange Elementordnungen Der Kleine Satz von Fermat Übungen Ringe und Körper Ringe Körper Rechenregeln in Körpern Unterringe, Unterkörper, Ring- und Körperhomomorphismen Körpererweiterungen Nullteiler. Invertierbare und nicht invertierbare Elemente. Einheitengruppe Restklassenringe und Primkörper Chinesischer Restsatz Polynomringe und -körper Definitionen und grundlegende Eigenschaften Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus Quotientenringe und Irreduzibilität Anwendungsbeispiel: Kanalcodierung Einsetzungen in Polynome. Nullstellen Primzahltests Primitivwurzeln und diskreter Logarithmus Übungen 242
6 XI VI Einführung in die Kryptologie Einfache Chiffriersysteme Verschiebe- und Tauschchiffren Cäsar-Chiffre Tauschchiffren Kryptoanalyse Weitere Tauschchiffren. Vigenere-Chiffre Perfekte Sicherheit und One time pad-verfahren Perfekte Sicherheit One-Time-Pad Lineare Schieberegister Public key-systeme Einwegfunktionen Das RSA-Verfahren Der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Das ElGamal-Verfahren Signaturen Übungen 275 VII Lineare Algebra Vektorräume Grundlegende Definitionen und Eigenschaften Lineare Unabhängigkeit Basis und Dimension eines Vektorraums Lineare Abbildungen Orthogonalräume Übungen Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Matrizen Lineare Gleichungssysteme Determinanten Inverse Matrizen Übungen 311 VIII Einführung in die Codierungstheorie Einfache Codes Block-Codes Repititionscode Codes mit Paritätsbit 321
7 XII Codes mit Blocksicherung Linearcodes Übungen Perfekte Codes Triviale perfekte Codes Hamming-Codes Übungen Präfixcodes Information, Entropie und Sätze von Shannon Huffman-Code Information Entropie Fundamentalsatz über die Quellencodierung Fundamentalsatz über die Kanalcodierung Übungen Prüfzeichencodierung Prüfzeichenverfahren: Definition und allgemeine Eigenschaften Prüfziffercodierung in additiven Restklassen ISBN-Codierung EAN-Codierung Fehlererkennung mit abelschen Gruppen Prüfziffercodierung in Diedergruppen Übungen Zyklische Codes Genratorpolynome und -matrizen Kontrollpolynome und -matrizen Übungen 383 Literaturverzeichnis 384 Index 388
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