Inhaltsverzeichnis. Grundlagen

Transkript

1 Grundlagen 1 Logik und Mengen Elementare Logik Elementare Mengenlehre Schaltalgebra Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Zahlenmengen und Zahlensysteme Die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C Summen und Produkte Vollständige Induktion Stellenwertsysteme Maschinenzahlen Teilbarkeit und Primzahlen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Diskrete Mathematik 3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie Das kleine Einmaleins auf endlichen Mengen Anwendung: Hashfunktionen Gruppen, Ringe und Körper Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern? Der Euklid sche Algorithmus und diophantische Gleichungen Anwendung: Der RSA-Verschlüsselungsalgorithmus Der Chinesische Restsatz

2 X Inhaltsverzeichnis Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen Anwendung: Verteilte Geheimnisse Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Polynomringe und endliche Körper Der Polynomring K[x] Der Restklassenring K[x] m(x) Anwendung: Zyklische Codes Endliche Körper Anwendung: Der Advanced Encryption Standard Anwendung: Reed-Solomon-Codes Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Relationen und Funktionen Relationen Anwendung: Relationales Datenmodell Funktionen Kontrollfragen Übungen Folgen und Reihen Folgen Anwendung: Wurzelziehen àlaheron Reihen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Kombinatorik Grundlegende Abzählverfahren Permutationen und Kombinationen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Rekursionen und Wachstum von Algorithmen Grundbegriffe Ausblick: Iterationsverfahren und Chaos Lineare Rekursionen Anwendung: Sparkassenformel Wachstum von Algorithmen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen

3 XI Lineare Algebra 9 Vektorräume Vektoren Lineare Unabhängigkeit und Basis Teilräume Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Matrizen und Lineare Abbildungen Matrizen Multiplikation von Matrizen Lineare Abbildungen Anwendung: Lineare Codes Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Lineare Gleichungen Der Gauß-Algorithmus Anwendung: Elektrische Netzwerke Anwendung: Input-Output-Analyse nach Leontjef Rang, Kern, Bild Determinante Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Lineare Optimierung Lineare Ungleichungen Lineare Optimierung Der Simplex-Algorithmus Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Skalarprodukt und Orthogonalität Skalarprodukt und orthogonale Projektion Anwendung: Matched-Filter Anwendung: Lineare Klassifikation Anwendung: Ray-Tracing Orthogonalentwicklungen Orthogonale Transformationen Anwendung: QR-Zerlegung Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen

4 XII Inhaltsverzeichnis 13.6 Übungen Eigenwerte und Eigenvektoren Koordinatentransformationen Eigenwerte und Eigenvektoren Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank Eigenwerte symmetrischer Matrizen Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Graphentheorie 15 Grundlagen der Graphentheorie Grundbegriffe Darstellung von Graphen am Computer Wege und Kreise Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Bäume und kürzeste Wege Bäume Das Problem des Handlungsreisenden Ausblick: Die Komplexitätsklassen P und NP Minimale aufspannende Bäume Kürzeste Wege Anwendung: Routing im Internet Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Flüsse in Netzwerken und Matchings Netzwerke Matchings Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Anhang

5 XIII A Einführung in Mathematica A.1 Erste Schritte A.2 Funktionen A.3 Gleichungen A.4 Programme B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben B.1 Logik und Mengen B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie B.4 Polynomringe und endliche Körper B.5 Relationen und Funktionen B.6 Folgen und Reihen B.7 Kombinatorik B.8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen B.9 Vektorräume B.10 Matrizen und Lineare Abbildungen B.11 Lineare Gleichungen B.12 Lineare Optimierung B.13 Skalarprodukt und Orthogonalität B.14 Eigenwerte und Eigenvektoren B.15 Grundlagen der Graphentheorie B.16 Bäume und kürzeste Wege B.17 Flüsse in Netzwerken und Matchings Literatur Verzeichnis der Symbole Index