Lineare Algebra. Albrecht Beutelspacher. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen 7., aktualisierte Auflage STUDIUM
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- Uwe Albert
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1 Albrecht Beutelspacher Lineare Algebra Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen 7., aktualisierte Auflage Mit liebevollen Erklärungen, einleuchtenden Beispielen und lohnenden Übungsaufgaben, nicht ohne lustige Sprüche, launigen Ton und leichte Ironie, dargestellt zum Nutzen der Studierenden der ersten Semester STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER
2 Inhaltsverzeichnis Vorwort: Mathematik - eine Mutfrage? Inhaltsverzeichnis 1 Was wir wissen müssen, bevor wir anfangen können Mengen Äquivalenzrelationen Abbildungen Wann haben zwei Mengen gleich viele Elemente? Die X-Notation Beweisprinzipien 18 Richtig oder falsch? 19 Übungsaufgaben 20 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 23 Was sagen Sie dazu? 23 2 Körper Die Definition Beispiele von Körpern Der Körper der komplexen Zahlen Der Quaternionenschiefkörper Einige endliche Körper Automorphismen von Körpern Die Definitionen Der Körper der rationalen Zahlen Der Körper der reellen Zahlen Konjugiert-komplexe Zahlen 42 Richtig oder falsch? 43 Übungsaufgaben 44 Projekt: Die Gaußsche Zahlenebene 46 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 47 3 Vektorräume Die Definition Beispiele von Vektorräumen Vektorräume mit Hilfe von Geometrie Der Vektorraum K n Der Vektorraum aller mxn-matrizen Der Vektorraum aller unendlichen Folgen 51 v viii
3 ix Ein Vektorraum unendlicher Folgen Vektorräume von Funktionen Lösungen eines Gleichungssystems Teilmengen einer Menge Körper als Vektorräume Elementare Theorie der Vektorräume Der Begriff der Basis Der Steinitzsche Austauschsatz Der Dimensionssatz Faktorräume Zur Geschichte der linearen Algebra 75 Richtig oder falsch? 77 Übungsaufgaben 79 Projekt: Der unendlichdimensionale Vektorraum V TO 84 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 86 4 Anwendungen von Vektorräumen Affine Geometrie Affine Räume Unterräume Lineare Gleichungssysteme Begriffe und Fragen Exkurs über Matrizen Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Der Gaußsche Algorithmus Codierungstheorie Grundlegende Begriffe Lineare Codes 111 Richtig oder falsch? 117 Übungsaufgaben 118 Projekt: Die Hamming-Codes 121 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 123 Was sagen Sie dazu? Lineare Abbildungen Definitionen und grundlegende Eigenschaften Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen Der Homomorphiesatz Der Dualraum 139 Richtig oder falsch? 143 Übungsaufgaben 144 Projekt: Нот (V, W) 147 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 147
![X 6 Polynomringe 148 6.1 Ringe 148 6.2 Was ist eigentlich x? 150 6.3 Polynomdivision 156 6.4 Ideale von K[x] 160 Richtig oder falsch?](/docs-images/79/79053016/images/4-0.jpg "162 Übungsaufgaben 163 Projekte 166 Projekt A: Der Ring Z 166 Projekt B: Der Ring H[x] 168 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 169 7 Determinanten 170 7.")
4 X 6 Polynomringe Ringe Was ist eigentlich x? Polynomdivision Ideale von K[x] 160 Richtig oder falsch? 162 Übungsaufgaben 163 Projekte 166 Projekt A: Der Ring Z 166 Projekt B: Der Ring H[x] 168 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: Determinanten Die Determinantenfunktion Permutationen Gerade und ungerade Permutationen Die Leibnizsche Determinantenformel Wie berechnet man eine Determinante? Der Multiplikationssatz 195 Richtig oder falsch? 197 Übungsaufgaben 198 Projekt: Determinanten und Volumen 200 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 200 Was sagen Sie dazu? Diagonalisierbarkeit Eigenvektoren und Eigenwerte Das charakteristische Polynom Das Minimalpolynom 213 Richtig oder falsch? 221 Übungsaufgaben 222 Projekt: Drehungen 225 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 226 Was sagen Sie dazu? Elementarste Gruppentheorie Beispiele von Gruppen Gruppen in bekannten Strukturen Gruppen aus bekannten Objekten Gruppen aus Permutationen Einfache Strukturaussagen für Gruppen Untergruppen Zyklische Gruppen Der Homomorphiesatz 238
5 Richtig oder falsch? 241 Übungsaufgaben 242 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: Skalarprodukte Ein Beispiel Bilinearformen Skalarprodukte Orthogonale Abbildungen und eine zweite symmetrische Bilinearform? 270 Richtig oder falsch? 273 Übungsaufgaben 274 Projekt: Skalarprodukte komplexer Vektorräume 276 Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können: 278 Adieu! 279 Lösungsvektoren der D-Aufgaben 280 Tipps zur Lösung der Übungsaufgaben 282 Stichwortverzeichnis 304 Literaturverzeichnis 311
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