Algebra für Informatiker

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1 Rolf Socher Algebra für Informatiker Mit Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie

2 Rolf Socher Algebra für Informatiker

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4 Rolf Socher Algebra für Informatiker Mit Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie Mit 16 Tabellen, 45 Beispielen und 172 Aufgaben Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

5 Prof. Dr. rer. nat. Rolf Socher Fachhochschule Brandenburg Fachbereich Informatik und Medien Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN E-Book-ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2012 Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Satz: Rolf Socher, Berlin Coverconcept: Marc Müller-Bremer, München Coverrealisierung: Stephan Rönigk Druck und Binden: Kösel, Krugzell Printed in Germany

6 Vorwort IneinerZeitwachsender Globalisierung und steigendervernetzunghat das Thema Sicherheit in der Informatik eine herausragende Bedeutung erlangt. Ein Aspekt dieses Themas betrifft den Schutz sensibler Daten gegen unerwünschten Zugriff oder Manipulation. Ziel der Kryptografie ist die Entwicklung von Verfahren und Algorithmen, um Daten zugriffssicher zu verschlüsseln. Ein zweites Gebiet der Informationssicherheit betrifft die Integrität von Daten. Dazu zählt unter anderem der Schutz von Daten gegen zufällig auftretende Fehler, etwa bei der Datenübertragung oder bei der Speicherung auf Medien. Die Codierungstheorie beschäftigt sich mit Verfahren, Daten so zu codieren, dass zufällige Fehler erkannt und möglichst auch korrigiert werden können. Sowohl Kryptografie als auch Codierungstheorie beruhen in hohem Maße auf Erkenntnissen der Algebra, also der Theorie algebraischer Strukturen wie Gruppen, Ringe, Körper und Polynomringe. Das vorliegende Buch behandelt in den ersten vier Kapiteln diese Strukturen in der Tiefe, wie sie für die Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie benötigt werden. Das fünfte und sechste Kapitel geben jeweils eine Einführung in die Grundbegriffe und die wichtigsten Methoden der Kryptografie beziehungsweise der Codierungstheorie, sodass die Leserin oder der Leser in der Lage ist, sich die weiterführende Literatur zu diesen beiden Themen selbstständigzuerarbeiten. Das Buch richtet sich an Studierende von Masterstudiengängen der Informatik an Hochschulen oder Universitäten. Es setzt Grundkenntnisse der linearen Algebra, wie sie in Bachelorstudiengängen der Informatik vermittelt werden, voraus. Die benötigten Grundlagen der elementaren Zahlentheorie und modularen Arithmetik sind im Anhang zu diesem Buch kompakt zusammengefasst. Die Lösungenzu den Aufgaben finden sich auf der WebseitezudiesemBuch: Ich danke allen, die zur Entstehung dieses Buchs beigetragen haben. Mein besonderer Dank gilt Susanne Hohmann, Jakob Rittberg, Martin Schiemann-Lillie und ManfredSchmidt-Schauß, diedasmanuskriptsehrsorgfältigkorrekturgelesen haben und denen ich viele nützliche Hinweise und Verbesserungsvorschläge verdanke. Ferner danke ich dem Carl Hanser Verlag, insbesondere Christine Fritzsch (Lektorat) und Katrin Wulst (Herstellung), für die gewohnt gute und vertrauensvolle Zusammenarbeit. Berlin, im April 2012 Rolf Socher

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8 Inhalt 1 Gruppen Die Gruppenaxiome Homomorphismen und Isomorphismen Untergruppen, Nebenklassen und der Satz von Lagrange Normalteiler und Faktorgruppen Die Ordnung vongruppenelementen Zyklische Gruppen Ringe, Körper und Polynome Ringe Körper Polynome Elementare Zahlentheorie Lineare Gleichungen in $ m und der chinesische Restsatz Die eulersche ϕ-funktion Endliche Körper und Körpererweiterungen Ein Körper mit neun Elementen Charakterisierung endlicher Körper Konstruktion endlicher Körper Existenz endlicher Körper Kryptografie Grundbegriffe Symmetrische Verfahren Die AES-Verschlüsselung Public-Key-Verschlüsselung Digitale Signaturen Kryptografische Hashfunktionen Elliptische Kurven Primzahlerzeugung Fehlerkorrigierende Codes Grundbegriffe Lineare Codes Kontrollmatrix und Generatormatrix Zyklische Codes

9 8 7 Anhang Teilbarkeit und euklidischer Algorithmus Primzahlen und Primfaktorzerlegung Modulare Arithmetik Weiterführende Literatur 167 Symbolverzeichnis 169 Sachwortverzeichnis 173