Numerische Mathematik

Transkript

1 Michael Knorrenschild Mathematik-Studienhilfen Numerische Mathematik Eine beispielorientierte Einführung 5., aktualisierte Auflage

2 Michael Knorrenschild Numerische Mathematik

3 Mathematik - Studienhilfen Herausgegeben von Prof. Dr. Bernd Engelmann Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) Fakultät Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Zu dieser Buchreihe Die Reihe Mathematik-Studienhilfen richtet sich vor allem an Studierende technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen an Fachhochschulen und Universitäten. Die mathematische Theorie und die daraus resultierenden Methoden werden korrekt aber knapp dargestellt. Breiten Raum nehmen ausführlich durchgerechnete Beispiele ein, welche die Anwendung der Methoden demonstrieren und zur Übung zumindest teilweise selbständig bearbeitet werden sollten. In der Reihe werden neben mehreren Bänden zu den mathematischen Grundlagen auch verschiedene Einzelgebiete behandelt, die je nach Studienrichtung ausgewählt werden können. Die Bände der Reihe können vorlesungsbegleitend oder zum Selbststudium eingesetzt werden. Bisher erschienen: Dobner/Engelmann, Analysis 1 Dobner/Engelmann, Analysis 2 Dobner/Dobner, Gewöhnliche Differenzialgleichungen Gramlich, Lineare Algebra Gramlich, Anwendungen der Linearen Algebra Knorrenschild, Numerische Mathematik Knorrenschild, Vorkurs Mathematik Martin, Finanzmathematik Nitschke, Geometrie Preuß, Funktionaltransformationen Sachs, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stingl, Operations Research Linearoptimierung Tittmann, Graphentheorie

4 Numerische Mathematik Eine beispielorientierte Einführung von Prof. Dr. Michael Knorrenschild 5., aktualisierte Auflage mit 25 Bildern, 78 Beispielen und 69 Aufgaben Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

5 Autor Prof. Dr. rer. nat. Michael Knorrenschild Hochschule Bochum FB Elektrotechnik und Infomatik Bibliografische Information der Deutschen Nationalibliothek: Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN E-Book ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle -, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2013 Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Satz: Michael Knorrenschild, Bochum Druck und Binden: Friedrich Pustet KG, Regensburg Printed in Germany

6 Vorwort Numerische Mathematik gehört zu den Teilgebieten der Mathematik, die von Ingenieuren im beruflichen Alltag verwendet werden. Durch verstärkte Verwendung von Computer-Simulationen in allen Bereichen erhöht sich die Bedeutung dieses Themas, in dem Fragestellungen der Mathematik und der Informatik zusammenkommen, zunehmend. Der vorliegende Band deckt die wichtigsten Themen der numerischen Mathematik für Studierende der Ingenieurwissenschaften ab und entspricht in etwa dem Umfang einer einsemestrigen Lehrveranstaltung. Das Anliegen ist dabei, die Ideen der wichtigsten numerischen Verfahren zu präsentieren und anhand einer Vielzahl von Beispielen deren charakteristische Eigenschaften zu illustrieren. Auf Beweise und längere Herleitungen wird dabei weitgehend verzichtet. Vorausgesetzt werden Vorkenntnisse zur elementaren Differenzialund Integralrechnung sowie zur linearen Algebra im Umfang etwa einer Anfängervorlesung zu diesen Themen. Die Darstellungsweise profitiert von Erfahrungen, die der Autor in Lehrveranstaltungen zur Numerischen Mathematik für Studierende der Ingenieurwissenschaften an der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen, der Simon Fraser University in Burnaby(Kanada), der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich und der Hochschule Bochum gesammelt hat. Die Anordnung der Themen folgt der bewährten Reihenfolge von Grundlagen der Gleitpunktarithmetik über die numerische Lösung von eindimensionalen Gleichungen, von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen, die Behandlung von Interpolations- und Ausgleichsproblemen bis hin zu numerischer Differenziation und Integration. Den Abschluss bildet ein Einblick in die numerische Lösung von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differenzialgleichungen. An dieser Stelle möchte ich mich bei Frau Christine Fritzsch vom Fachbuchverlag Leipzig für die aufmerksame Zusammenarbeit sowie beim Herausgeber Prof. Dr. Bernd Engelmann für fachliche Ratschläge bedanken. Herrn Dr. Thomas Schenk gebührt Dank für die kritische Durchsicht weiter Teile des Manuskripts. In der fünften Auflage wurden alle Bilder überarbeitet und wenige noch verbliebene Fehler behoben, dabei bin ich vielen aufmerksamen Leserinnen und Lesern dankbar. Hinweise und Anregungen aus dem Leserkreis sind auch weiterhin jederzeit willkommen. Bochum, im September 2012 Michael Knorrenschild

7 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik Auslöschung Fehlerrechnung Fehlerfortpflanzung in arithmetischen Operationen Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertungen Numerische Lösung von Nullstellenproblemen Problemstellung Das Bisektionsverfahren Die Fixpunktiteration Das Newton-Verfahren Konvergenzgeschwindigkeit Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme Problemstellung Der Gauß-Algorithmus Fehlerfortpflanzung beim Gauß-Algorithmus und Pivotisierung Dreieckszerlegungen von Matrizen Die LR-Zerlegung Die Cholesky-Zerlegung Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen Iterative Verfahren Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Problemstellung Das Newton-Verfahren für Systeme Interpolation Problemstellung

8 Inhaltsverzeichnis Polynominterpolation Das Neville-Aitken-Schema Der Fehler bei der Polynominterpolation Splineinterpolation Problemstellung Interpolation mit kubischen Splines Ausgleichsrechnung Problemstellung Lineare Ausgleichsprobleme Nichtlineare Ausgleichsprobleme Das Gauß-Newton-Verfahren Numerische Differenziation und Integration Numerische Differenziation Problemstellung Differenzenformeln für höhere Ableitungen Differenzenformeln für partielle Ableitungen Extrapolation Numerische Integration Problemstellung Interpolatorische Quadraturformeln Der Quadraturfehler Transformation auf das Intervall [a,b] Der Fehler der summierten Quadraturformeln Newton-Cotes-Formeln Gauß-Formeln Extrapolationsquadratur Praktische Aspekte Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen Problemstellung

9 8 Inhaltsverzeichnis 8.2 Das Euler-Verfahren Praktische Aspekte Weitere Einschrittverfahren Weitere Verfahren Lösungen 155 Literaturverzeichnis 173 Sachwortverzeichnis 174 Zum Umgang mit diesem Buch: Ziel des Buches ist es, dem Leser eine selbstständige Aufarbeitung des Stoffes, etwa anlässlich einer Prüfungsvorbereitung, zu ermöglichen. In die Darstellung eingestreut sind Aufgaben, in denen die in Beispielen vorgestellten Methoden einmal selbst angewandt werden sollen. In den ersten Kapiteln wurden darüber hinaus Thesen unter der Überschrift wahr oder falsch? formuliert, die der Leser kritisch auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen soll. Auf diese Weise kann das eigene Verständnis überprüft werden. Lösungen zu allen Aufgaben und die Auswertungen der Thesen finden sich am Ende des Bandes.