Ernst Kleinert. Mathematik für Philosophen

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1 Ernst Kleinert Mathematik für Philosophen Leipziger Universitätsverlag 2004

2 Inhalt Erster Teil: Grundlagen Einleitung 1. Warum Mathematik für Philosophen"? Der kategoriale Ursprung der Mathematik: These Der kategoriale Ursprung der Mathematik: Aufweise Das theoretische Agieren Mathematik des theoretischen Agierens Mathematik der Anschauungsform: Quantität Mathematik der Anschauungsform: Gestalt Die mathematische Methode Mathematik ist Sprachspiel Formalisierung Zu Aufbau und Benutzung dieses Buchs Die Sprache der Mathematik: Theorien erster Stufe 1.1. Alphabete, Tenne, Formeln, Aussagen Ausdrucksmöglichkeiten der ersten Stufe Mathematik des theoretischen Agierens: Mengen, Relationen, Funktionen 2.1. Axiome der Mengenlehre Operativer Ursprung der Axiome Erste Entwicklungen Relationen Funktionen Anhang: Carnaps Quasianalyse Erste Strukturbegriffe: Halbgruppen und Gruppen 3.1. Grundbegriffe Operationen von Gruppen auf Mengen Weitere Grundbegriffe Faktorgruppen und der Homomorphiesatz Mathematik des theoretischen Agierens: Kategorien 4.1. Axiome und erste Beispiele Anhang: Die Axiomatik ohne Objekte Anhang: Über Assoziativität Anhang: Kategorien vs. Mengen Weitere Grundbegriffe Funktoren Produkte Natürliche Transformationen Adjungierte Funktoren Anhang: Kategoriale Strukturen in Sprache und Logik 82 6

3 5. Mathematik der diskreten Quantität 5.1. Die natürlichen Zahlen Operationen mit natürlichen Zahlen Endlich und Unendlich Ganze Zahlen. Begriff des Rings Erste Schritte der Zahlentheorie: Primzerlegung Rationale Zahlen. Begriff des Körpers Mathematik des theoretischen Agierens: Ordnen und Vergleichen 6.1. Begriff des Verbands Beispiele Aus der Strukturtheorie Boolesche Algebren Anhang: Mereologie Mathematik des theoretischen Agierens: Kombinatorik 7.1. Probleme der Begriffsbestimmung Elemente des Abzählens Abzahlung von Teilmengen Abzahlung von Funktionen Block Designs Die symmetrische Gruppe Symmetrien Graphen Anhang: Graphen, Kategorien und Relationen Mathematik des Raums: Das Kontinuum 8.1. Vollständige angeordnete Körper Komplettierung. Der reelle Körper Komplexe Zahlen Anhang: Die Proportionenlehre von Eudoxos Anhang: Geometrische Konstruktion des reellen Körpers Der reelle Körper als Modell des Kontinuums: Diskussion 167 Mathematik des Raums: Allgemeine Topologie Definitionen und erste Beispiele 170 Weitere Grundbegriffe 175 Topologische Gruppen 179 Ringe stetiger Funktionen 180 Funktionen auf topologischen Räumen: Begriff der Garbe 182 Metrische Räume 183 Anhang: Raumtheorie nach Whitehead 188

4 Inhalt Zweiter Teil: Entwicklungen 10. Aus der Algebra (1): Lineare Algebra Zur Begriffsbestimmung Moduln über Ringen Operationen mit Moduln Freie Moduln Matrizen und Determinanten Vektorräume Anhang: Ursprung der Axiome und die Universalität des Linearen Anhang: die Sonderstellung der Modulkategorien Aus der Algebra (2): Ringe und Körper Ideale und Restklassenringe Polynomringe Aus der Theorie der Körper Die Theorie von Galois Die Hamiltonschen Quaternionen Aus der Analysis (1) Häufungspunkte und Grenzwerte Sätze über stetige Funktionen Konvergente Reihen Die Exponentialfunktion Differentiation Aus der Analysis (2) R n als metrischer Raum Differentiation Differentialgleichungen Mathematik der allgemeinen Quantität: Maß und Integral Begriff des Maßraums Integration Anhang: Extensive und intensive Quantität Wahrscheinlichkeitstheorie Mathematik der Gestalt: Theorie der Mannigfaltigkeiten Begriff der Mannigfaltigkeit Beispiele von Mannigfaltigkeiten Differentielle Methoden Algebraische Methoden 276 8

5 16. Algebraische Geometrie und Begriff des Schemas Grundbegriffe der Algebraischen Geometrie Spektra von Ringen Affine Schemata Funktorielle Gesichtspunkte Der neue Begriff von Punkt" Die mathematische Selbstref lektion: Logik Semantik Deduktion Der Vollständigkeitssatz und Anwendungen Kategoriale Semantik Die Selbstreferentialität der Arithmetik und die Unabschließbarkeit der Mathematik Theorie der natürlichen Zahlen Darstellbare und rekursive Funktionen Anhang: Mathematische Handlungen und die These von Church undturing Anhang: Berechnungskomplexität Die Selbstreferentialität von 5\ und die UnvoUständigkeitssätze Weitere Begrenzungsresultate Mathematik im Ausgang von PA 323 Zusammenfassung und Ausblick 326 Literatur 334