Horst Niemeyer Edgar Wermuth. Lineare Algebra. Analytische und numerische Behandlung
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1 Horst Niemeyer Edgar Wermuth Lineare Algebra Analytische und numerische Behandlung v FriedrVieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
2 VIII Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis XII 1 Die euklidischen Vektorräume 1R 2 und 1R Der euklidische Vektorraum IR Der euklidische Vektorraum IR Anwendungen und Beispiele Hessesche Normalform der Ebenengleichung Abstand windschiefer Geraden Drehungen im IR Aufgaben zu Kapitel Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen Vektorräume über IR oder (E Beispiele Erste Folgerungen aus den Vektorraumaxiomen Lineare Abhängigkeit, Basis, Dimension, Steinitzscher Austauschsatz Koordinaten, Unterräume und lineare Mannigfaltigkeiten Anwendungen und Beispiele > n (IR) C Lineare Rekursionsgleichungen Aufgaben zu Kapitel Entscheidungshilfen und Literkturhinweise zu Kapitel Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen, Matrizen Das Matrizenprodukt Schemata und Beispiele zur Matrizenmultiplikation Blockmatrizen Regeln für das Rechnen mit Matrizen Spezielle Matrizen Funktionen von Matrizen Lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme Rang einer Matrix Anwendungen und Beispiele Rangbestimmung Lineare Abbildungen Inverse Matrix einer (2,2)-Matrix Funktionen von Matrizen Anwendung der Matrizenrechnung in der Vierpoltheorie 54
3 Inhaltsverzeichnis IX 3.7 Aufgaben zu Kapitel Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel Lineare Gleichungssysteme, Determinanten Lösungen linearer Gleichungssysteme Bemerkungen und Beispiele Der Gaußsche Algorithmus, LR-Zerlegung von Matrizen Das Verfahren von Gauß-Jordan Determinanten Anwendungen und Beispiele LR-Zerlegung tridiagonaler Blockmatrizen Determinante von Tridiagonalmatrizen Kroneckerprodukt von Matrizen Aufgaben zu Kapitel Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel Skalarprodukte, Normen, Orthogonale, Transformationen Skalarprodukte, Normen Normierte und metrische Räume, Banachscher Fixpunktsatz Äquivalenz von Normen, Normen linearer Abbildungen Orthogonalsysteme, Orthonormalbasen, orthogonale Unterräume Adjungierte, orthogonale und unitäre Transformationen Anwendungen und Beispiele Beste Approximation Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Iterationsverfahren zur Berechnung der inversen Matrix Skalarprodukt und orthogonale Matrizen Aufgaben zu Kapitel Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel Numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Fehlerabschätzungen, Konditionszahlen Bemerkungen zum Gaußschen Eliminationsverfahren Auswahl der Pivotelemente, Skalierung Rechen- und Speicherplatzbedarf Bandmatrizen Schätzung der Konditionszahl Nachiteration Cholesky-Zerlegung Das Verfahren Bemerkungen zum Cholesky-Verfahren QR-Zerlegung nach Householder Das Verfahren Beispiel und Bemerkungen 149
4 X Inhaltsverzeichnis 6.5 Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen Allgemeines Das Gesamtschrittverfahren (Jacobiverfahren) Das Einzelschrittverfahren (Gauß-Seidel-Verfahren) Relaxationsverfahren Blockiterationsverfahren Beispiele und Aufgaben Beispiel (Randwertproblem der Potentialtheorie) Beispiel (Berechnung linearer Netzwerke) Beispiel (Methode der finiten Elemente), Aufgaben zu Kapitel Hinweise zur Auswahl der Verfahren und auf weitere Literatur Eigenwertprobleme und Normalformen Problemstellung Eigenwerte und Eigenvektoren Grundbegriffe und einführende Beispiele Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren Spur, Minimalpolynom und Spektrum Charakteristisches-Polynom und Spur Satz von Hamilton/Cayley und Minimalpolynom Spektrum und Störungen Spektralsatz und Hauptachsentransformation Der Spektralsatz für normale Matrizen Funktionen normaler Matrizen Polarzerlegung und Quadratwurzel Hauptachsentransformation Verallgemeinerte Eigenwertprobleme Die Jordansche Normalform Herleitung der Normalform Praktische Berechnung der Jordanschen Normalform Einige Anwendungen der Jordanschen Normalform Allgemeine Matrizenfunktionen e A und log A Die schwingende Saite Aufgaben zu Kapitel Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel Numerische Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen Fehlerabschätzungen und Einschließungssätze Die Potenzmethode (Vektoriteration nach v. Mises) Die gebrochene Vektoriteration Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen in Hessenbergform Bisektionsverfahren Newtonverfahren' 329
5 Inhaltsverzeichnis XI Hessenberg-Matrizen Das QR-Verfahren Eigenvektoren symmetrischer Tridiagonalmatrizen Transformation auf Hessenbergform Beispiele und Aufgaben Beispiel (Rayleigh-Quotient und Ritzsches Verfahren) Aufgaben zu Kapitel Bemerkungen zur Auswahl der Verfahren und Hinweise auf weitere Literatur 345 Lösungen der Aufgaben 347 Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Literaturverzeichnis 368 Sachwortverzeichnis 372
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