Ralph-Hardo Schulz. Codiemngstheorie

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1 Ralph-Hardo Schulz Codiemngstheorie

2 --Aus dem Programm Mathematik Albrecht Beutelspacher Kryptologie Gerd Fischer Lineare Algebra Gerhard Frey Elementare Zahlentheorie Manfred Knebusch und Claus Scheiderer Einfiihrung in die reelle Algebra Ulrich Krengel Einfiihrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Ernst Kunz Algebra Wolfram Luther und Martin Ohsmann Mathematische Grundlagen der Computergraphik Alexander Prestel Einfiihrung in die Mathematische Logik und Modelltheorie ~ \1eweg ~

3 Ralph-Hardo Schulz Codierungstheorie Eine Einführung IJ Vleweg

4 Prof. Dr. Ralph-Hardo Schulz Institut rur Mathematik 11 (WE 2) Freie Universität Berlin Arnimallee 3 D-I000 Berlin Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschatt mbh, BraunschweiglWiesbaden 1991 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 Vorwort Codierungstheorie! Mein Interesse an ihr wurde schon während meiner Assistenten Zeit geweckt, als wir in einem Seminar von Peter Dembowski die Lecture Notes von van Lint lasen. Beeindruckte der Stoff doch durch eleganten Aufbau und geschickte Schlußweisen und versah darüberhinaus die von den Studenten als allzu theoretisch empfundene Reine Mathematik mit einem unbestreitbaren Anwendungsbezug. Inzwischen hat die eng mit der Codierungstheorie verbundene digitale Signalverarbeitung auch für den Laien sichtbar Einzug in das Alltagsleben gefunden, etwa durch Computerkassen, Compact-Disc, Glasfaser-Telefonleitungen, Fernseher mit digitaler Technik. Demgemäß ist der vorliegende Text inhaltlich etwas breiter angelegt: Außer den Kompressionsmethoden der Quellencodierung und der algebraischen Theorie der Kanalcodierung werden unter anderem auch Prüfzeichenverfahren und Themen aus der Kryptographie angesprochen. Es handelt sich dabei stets um eine Einführung in diese Teilgebiete mit vielen Literaturhinweisen für selbständiges Weiterlesen; so wird man den einen oder anderen Begriff, Satz oder Algorithmus erst beim Selbststudium entdecken. Zielgruppe des Buches sind Studenten und Lehrer der Mathematik und der Informatik und alle anderen, die Vorkenntnisse haben in mathematischer Nomenklatur, in elementarer Wahrscheinlichkeitsrechnung und den Anfängen der Algebra und der Linearen Algebra. Nur in einigen (besonders gekennzeichneten und überschlagbaren) Paragraphen werden verstärkt Kenntnisse der Algebra herangezogen, nicht ohne die verwandten Tatsachen noch einmal explizit aufzuführen. (Man beachte auch die Zusammenstellung im Anhang.) Dieses Buch ist entstanden aus einer Vorlesung, die ich während eines" Streik" -Semesters an der Freien Universität Berlin gehalten habe, jedenfalls zu Anfang des Semesters. Um sich nicht unsolidarisch mit ihren streikenden Kommilitonen zu zeigen, hatten dann die Teilnehmer ein" autonomes Seminar" mit mir als Berater gegründet; nach häuslichem Studium meiner Notizen wurde in diesem Seminar dann über evtl. Verständnislücken diskutiert, ein Umstand, der mich manchen Mangel des Textes erkennen ließ und Abhilfe ermöglichte. Den Studenten dieser für alle Teile anstrengenden Veranstaltung danke ich für viele wertvolle Diskussionsbeiträge, u. a. den Damen B. Damman, S. Gebhardt, U. Minne. Für Erklärungen und weitere Hinweise vor oder nach Erstellen des Skripts bin ich den Herren Prof. H. Lenz, Dr. H.-J. Matt, Dr. B. Schomburg und Chr. Tismer verbunden. Frau M. Thoelldte vom 2. Mathematischen Institut der Freien Universität gilt mein besonderer Dank für die schwierige Arbeit des Schreibens des Manuskripts in Latex, außerdem Herrn M. Wilhelm für das Lösen von Layout-Problemen und das Anfertigen einiger Figuren in diesem System. Berlin, im Mai 1991 Ralph-Hardo Schulz

6 Inhaltsverzeichnis ( ~ kennzeichnet Paragraphen, in denen verstärkt Kenntnisse aus der Algebra einfließen) I Einleitung 1 Wörter über einem Alphabet: Definitionen und Beispiele Erste Strukturierungen A) Binäre Wörter als Teilmengen B) Klassenbildung nach Anfangsstücken 11 3 Exkurs: Graphen und Bäume.... A) Definitionen und Beispiele... B) Die Kraftsche Ungleichung... C) Wege in Netzen, Spaliergraphen Quellencodierung 4 Codierungen, insbesondere direkte Quellencodierungen 5 Präfixcodes Datenkompression Huffman-, Fano-, Wort codierung 7 Information, Entropie und Codierungsaufwand Fundamentalsatz über die Quellencodierung von Shannon 111 Fehlererkennende und fehlerkorrigierende Codes 8 Prüfzeichenverfahren A) Einführung B) Elementare Methoden C) D) Verallgemeinerung auf Gruppen Prüfzeichen-Codierung über Quasigruppen bzw. Lateinischen Quadraten Nachrichtenübertragung bei gestörten Kanälen.... Paritätskontrolle, Binäre Kanäle, Maximum-Likelihood-Decodierung Der Sequenzraum: Codes und Kugelpackungen Hamming-Abstand, Perfekte Codes, Äquivalenz von Codes, Wörter als Vektoren, duale Codes

7 11 Lineare Codes Grundlegende Eigenschaften, Darstellung durch Basis- bzw. Kontrollmatrix, Syndrom, Gewichtsverteilung und MacWilliams Gleichungen 12 Hamming-Codes und erweiterte Hamming-Codes ~ Weitere Strukturierung von Wörtern Wörter als Polynome, als Elemente eines Erweiterungskörpers 14~ Definitionen und Eigenschaften zyklischer Codes.. A) Einführung und Generatorpolynom. B) Kontrollpolynom und Kontrollmatrix C) Codieren mit zyklischen Codes ~ Körpererweiterungen und zyklische Codes A) Codes und erzeugende Elemente eines Körpers B) Codes und primitive n-te Einheitswurzeln BCH-Schranke, BCH-, RS-Codes, binärer Golay-Code 16~ Diskrete Fouriertransformation ~ Spektraltheorie bei zyklischen Codes A) Paritätsfrequenzen B) Urbild-Beschränkung und spektrale Form der BCH-Schranke 171 C) Spektrales Codieren Anhang zu Kapitel III 18 Codes und endliche Geometrien A) Konstruktion von Steinersystemen aus perfekten Codes 181 B) Codes, Ovale und kubische Kurven IV Kryptographie 19 Verschlüsselungsverfahren A) Klassische Chiffriersysteme B) Öffentliche Chiffrierverfahren Anhang: Ausgewählte Definitionen und Sätze aus den Gebieten: A) Wahrscheinlichkeitsrechnung 201 B) Algebra C) Lineare Algebra Literaturverzeichnis Bezeichnungen Stichwortverzeichnis