Arbeitsbuch zur Linearen Algebra

Transkript

1 Arbeitsbuch zur Linearen Algebra

2 Uwe Storch Hartmut Wiebe Arbeitsbuch zur Linearen Algebra Aufgaben und Lösungen

3 Prof. Dr. Uwe Storch Ruhr-Universität Bochum Fakultät für Mathematik Bochum, Deutschland Dr. Hartmut Wiebe Ruhr-Universität Bochum Fakultät für Mathematik Bochum, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliogra e; detaillierte bibliogra sche Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikrover lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 Vorwort Dieses Buch ist zum Gebrauch neben Vorlesungen über Lineare Algebra gedacht, einige Passagen ergänzen den Stoff. Wie schon das Arbeitsbuch zur Analysis einer Veränderlichen (AdM 1) ist es aus Übungen zu Vorlesungen hervogegangen, die wir für Mathematiker, Physiker und Informatiker gehalten haben. Es enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen und soll damit auch einen Wunsch vieler Leser des zweiten Bandes unseres Lehrbuchs der Mathematik (LdM 2) über Lineare Algebra, das ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist, erfüllen. Wir setzen voraus, dass dem Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen der Linearen Algebra eventuell durch Selbststudium bereits bekannt sind, und hoffen, dass es wesentliche Hilfen zum Erlernen und Vertiefen dieses Stoffes bietet. Die Anordnung der Aufgaben folgt dem bereits erwähnten Lehrbuch. Viele der Aufgaben sind daraus entnommen, eine ganze Reihe ist aber auch neu. Andererseits konnten nicht alle dort gestellten Aufgaben behandelt werden. Um den Leser wieder zur Mitarbeit anzuregen, haben wir einige (mit einem versehene) Aufgaben ohne Lösungen gelassen, wenn sie gelösten Aufgaben ähnlich sind. Das Ergebnis wird dann in der Regel genannt. Wir sehen die vorgestellten Lösungen ohnehin nur als Vorschläge an, gelegentlich wird der Leser gewiss einen eigenen und möglicherweise besseren Lösungsweg finden. In einigen Fällen präsentieren wir selbst mehrere Lösungen. Das Lösen von Aufgaben sollte nie Selbstzweck sein, sondern ebenso neue Aspekte des Stoffes aufzeigen und dem Kennenlernen und Erfinden von Beweis- und Rechenmethoden dienen. Die Lineare Algebra ist dazu prädestiniert, in das axiomatische Denken einzuführen. Es lohnt sich, die Ergebnisse in allgemeiner Form zu formulieren und zu beweisen, dabei aber immer möglichst verschiedenartige konkrete Beispiele vor Augen zu haben. Viele Bemerkungen, die zum Teil spielerischer Natur sind, ergänzen und illustrieren die Ergebnisse in diesem Sinne. So findet man etwa recht ausführliche Rechnungen zur hyperbolischen Geometrie im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie und zur allgemeinen Exponentialabbildung. Der Inhalt ist in Paragraphen gegliedert, die den Paragraphen in LdM 2 entsprechen. Die Einteilung in Abschnitte wurde jedoch nicht übernommen. Dementsprechend sind die Aufgaben im vorliegenden Band neu nummeriert und werden in der Form " 1, Aufgabe 1" (mit dem Wort "Aufgabe" ausgeschrieben) zitiert, wobei die Paragraphennummer innerhalb desselben Paragraphen unterdrückt wird. Soweit sie eine Vorlage in LdM 2 haben, wird diese erwähnt, und zwar in der Form 1.A, Aufg. 1 (mit Aufg. nicht ausgeschrieben). Grundsätzlich beziehen sich alle Zitate ohne weitere Hinweise auf LdM 2. Die Teile 1, 3 und 4 unseres Lehrbuchs der Mathematik werden mit LdM 1, LdM 3 bzw. LdM 4 gekennzeichnet. Anders als in LdM 2 bezeichnen wir Matrizen (und damit auch Zeilen- und Spaltenvektoren) mit kursiven, serifenlosen Buchstaben statt mit Frakturbuchstaben (also A statt A). Das Stichwortverzeichnis enthält nur Einträge, deren Kenntnis wir nicht als ganz selbstverständlich ansehen oder die besonders erwähnt werden. Herrn Dr.A. Rüdinger vom Verlag Springer Spektrum danken wir wieder herzlich dafür, dass er das Erscheinen dieses zweiten Arbeitsbuches möglich gemacht hat. Bochum, im Dezember 2014 Uwe Storch, Hartmut Wiebe Uwe.Storch@ruhr-uni-bochum.de Hartmut.Wiebe@ruhr-uni-bochum.de Wiebe LdM.html

5 Inhaltsverzeichnis 1 Algebraische Grundbegriffe Vektorräume Lineare Gleichungssysteme Basen und Dimension von Vektorräumen Affine Räume Homomorphismen Lineare Abbildungen Restklassenbildung Affine Abbildungen Matrizen Permutationen Determinanten Polynomalgebren Lineare Operatoren Eigenwerte Bilinear- und Sesquilinearformen Räume mit Skalarprodukt Isometrien Selbstadjungierte und normale Operatoren Minkowski-Räume Normierte Vektorräume Anwendungen Gitter und Exponentialabbildung Hilbert-Räume Fourier-Reihen Systeme linearer Differenzialgleichungen Stichwortverzeichnis