Arithmetische Funktionen

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1 Arithmetische Funktionen

2 Paul J. McCarthy Arithmetische Funktionen Aus dem Englischen übersetzt von Markus Hablizel

3 Paul J. McCarthy Department of Mathematics University of Kansas Lawrence, USA ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Translation from the English language edition: Introduction to Arithmetical Functions by Paul J. Mc- Carthy, Copyright 1986 by Springer-Verlag New York Inc. This Springer imprint is published by Springer Nature The registered company is Springer Science+Business Media LLC All Rights Reserved Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Dr. Andreas Rüdinger Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Germany Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany

4 Vorwort des Autors Die Theorie der arithmetischen Funktionen gehörte schon immer zu den eher dynamischeren Bereichen der Zahlentheorie. Die große Anzahl an Veröffentlichungen, welche im Literaturverzeichnis aufgeführt sind, bezeugen ihre Bedeutung. Viele Lehrbücher über Zahlentheorie enthalten Sätze über arithmetische Funktionen, meistens die klassischen Ergebnisse. Mein Anliegen ist es, den Leser über die Stelle hinaus zu führen, an dem die Lehrbücher das Thema abschließen. In jedem Kapitel gibt es Ergebnisse, die aktuell sind, und in manchen gilt dies für nahezu den gesamten Inhalt. Dieses Buch ist eine Einführung in das Gebiet der arithmetischen Funktionen und soll keine wissenschaftliche Monographie hierzu darstellen. Deshalb darf nicht erwartet werden, dass jedes Thema abgedeckt wird. Im Literaturverzeichnis sind Veröffentlichungen angegeben, die mit den behandelten Themen zusammen hängen, und diese sollen zumindest eine gute Näherung an eine vollständige Darstellung des Themas innerhalb eines Rahmens, den ich mir selbst auferlegt habe, geben. Wenn Themen ausgelassen oder nur sehr knapp behandelt wurden, so habe ich weiterführende Literatur zu diesen aufgeführt. Jedem Kapitel folgen Anmerkungen, die vorrangig bibliografischer Natur und nur zum Teil historisch sind. Mein Anliegen ist es, mit diesen Anmerkungen auf die ursprünglichen Quellen der Ergebnisse hinzuweisen. Zahlentheorie, und insbesondere die Theorie der arithmetischen Funktionen, ist voller Wiederentdeckungen; deshalb hoffe ich, dass der Leser nicht zu streng mit mir sein wird, wenn es mir nicht gelingt, die allererste Quelle eines Resultats zu nennen. Möglicherweise hilft dieses Buch die Anzahl der Wiederentdeckungen zu verringern. Im vorliegenden Buch sind mehr als 400 Übungsaufgaben enthalten, welche einen wesentlichen Teil meiner Erschließung des Themas darstellen. Bei einem ernsthaften Lesen des Buchs muss etwas Zeit für das Nachdenken über diese Aufgaben verwendet werden. Ich setze voraus, dass der Leser mit dem Gebiet der Analysis, insbesondere mit unendlichen Reihen, vertraut ist, sowie Erfahrungen durch den Besuch von Einführungsvorlesungen der Mathematik erlangt hat. Ein einführendes Lehrbuch in die Zahlentheorie enthält hierzu genügend Hintergrundwissen. Eigentlich werden nur V

5 VI Vorwort des Autors wenige Resultate einer solchen Vorlesung benutzt, wie zum Beispiel Kongruenzen und die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Paul J. McCarthy 1 1 Paul Joseph McCarthy ( )

6 Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikative Funktionen Einführung und Beispiele multiplikativer Funktionen Vollständig multiplikative Funktionen Busche-Ramanujan-Identitäten Übungen zu Kap Anmerkungen zu Kap Ramanujan-Summen Grundlegende Eigenschaften der Ramanujan-Summen Periodizität (mod q) Gerade arithmetische Funktionen Anwendungen und Beispiele Übungen zu Kap Anmerkungen zu Kap Lösungsanzahl von Kongruenzen Lineare Kongruenzen Semi-lineare Kongruenzen Simultane Kongruenzen Übungen zu Kap Anmerkungen zu Kap Verallgemeinerungen der Dirichlet-Faltung Reguläre arithmetische Faltungen Abgeleitete Verallgemeinerungen arithmetischer Funktionen Übungen zu Kap Anmerkungen zu Kap Dirichlet-Reihen und erzeugende Funktionen Einführung und Beispiele Euler-Produkte VII

7 VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Erzeugende Funktionen von Produkten Dirichlet-Reihen der Ramanujan-Summen Dirichlet-Reihen mit Teilerbedingungen Übungen zu Kap Anmerkungen zu Kap Asymptotik arithmetischer Funktionen Die Eulersche Summenformel Asymptotik summatorischer Funktionen Mittelwerte arithmetischer Funktionen Übungen zu Kap Anmerkungen zu Kap Verallgemeinerte arithmetische Funktionen Inzidenzfunktionen Distributive Gitter Faktorisierbare Inzidenzfunktionen Verallgemeinerte arithmetische Identitäten Übungen zu Kap Anmerkungen zu Kap Literatur Personenverzeichnis Sachverzeichnis

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