Aus dem Programm Mathematik

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1 Aus dem Programm ~ Mathematik Grundlegende Werke Lineare A lgebra, von G. Fischer Lineare Algebra und Analytische Geometrie, von H. Schaal Grundlagen der reellen Analysis, von W. Tutschke Grundzüge der modernen Analysis, von J. Dieudonne Elementare Axiome der Mengenlehre, von D. Klaua Grundbegriffe der axiomatischen Mengenlehre, von D. Klaua Vektor- und Tensorrechnung für die Physik von G. Gerlieh Vieweg '"

2 Gerhard GerIich Vektorund Tensorrechnung für die Physik Vieweg

3 Dr. Gerhard GerUch ist Privatdozent am Lehrstuhl B für Theoretische Physik der Technischen Universität Braunschweig Verlagsredaktion: Alfred Schubert CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Gerlich, Gerhard Vektor- und Tensorrechnung rur die Physik Auf!. - Braunschweig: Vieweg ISBN-13: e-isbn-13: DOI: / Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig, 1977 Die Vervielfältigung und Übertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder auch fur die Zwecke der Unterrichtsgestaltung gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. Im Einzelfall muß über die Zahlung einer Gebühr rur die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fur die Vervielfältigung durch alle Verfahren einschließlich Speicherung und jede Übertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bänder, Platten und andere Medien. Satz: Vieweg, Braunschweig ISBN-13:

4 111 Vorwort Dieses Buch ist bei dem langjährigen Versuch entstanden, mit den üblichen Mathematikvorlesungen, wie ich sie in Kiel in den Jahren von 1962 bis 1968 gehört habe, die für die klassischen Feldtheorien und die Quantentheorie nötige Vektor- und Tensorrechnung zu verstehen. Mein Dank gilt deshalb all denen, bei denen ich Vektor- und Tensorrechnung gelernt habe, ohne daf~ ihnen dies vermutlich bekannt ist. Ich hoffe, daß ich niemanden im Literaturverzeichnis vergessen habe. Ich danke besonders Herrn Prof. Dr. Egon Richter, der wesentlich zum Entstehen dieses Buches beigetragen hat, da er sich nicht davon abbringen ließ, daß ein solches Buch notwendig sei. Allen Mitarbeitern unseres Lehrstuhls und sonstigen Zuhörern meiner Vorlesungen danke ich für alle zustimmenden oder kritischen Anregungen. Dem Vieweg Verlag danke ich für die freundliche und sehr angenehme Zusammenarbeit. Gerhard GerUch

5 IV Inhaltsverzeichnis 1. Einführung Bezeichnungen der Mengenlehre und Algebra Grundbegriffe der linearen Algebra l. Vektorräume Der algebraische Dualraum oder Kovektorraum Der Dualraum der direkten Summe von Vektorräumen Das Identifizieren von Vektorräumen Symmetrische Vektorräume Herrnitesche Vektorräume Grundbegriffe der multilinearen Algebra l. Tensoren Tensoren höherer Stufenzahl Symmetrische und antisymmetrische Tensoren Tensorprodukte von linearen Abbildungen Volumenfunktionen und alternierende Multilinearformen Ergänzungen und Graßmannsche Ergänzungen Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Physik Tangentiale Vektorbündel und Vektorfelder Tangentiale Kovektorbündel und allgemeine Vektorfelder

6 Inhaltsverzeichnis v 5.4. Symmetrische und n-symmetrische Mannigfaltigkeiten Integranden ftir Integrale der Mannigfaltigkeiten Die alternierende Ableitung von p-kovektorfeldern und der Satz von Poincare Gaußsche Integralformeln Affin zusammenhängende Mannigfaltigkeiten und das Lemma von Ricci Literatur Sachwortverzeichnis