GRUNDZUGE DER MATHEMATIK

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1 . * % GRUNDZUGE DER MATHEMATIK FÜR LEHRER AN GYMNASIEN SOWIE FÜR MATHEMATIKER IN INDUSTRIE UND WIRTSCHAFT BAND III ANALYSIS Mit zahlreichen Abbildungen 2., durchgesehene Auflage GÖTTINGEN VANDENHOECK & RUPRECHT. 1968

2 INHALT Zitate aus Bd. II Zeichen und Bezeichnungen IX XV Kapitel 1: J. GEBBETSEN, H. RATX, Konvergenz 1 1 Einleitung 1 2 Folgen 2 3 Monotone Folgen und Unbestimmtheitsgrenzen 8 4 Metrische Räume 12 5 Filter 14 6 Uniforme Räume 18 Kapitel 2: H. FBETJDENTHAL, H. WÄSCHE, Die Funktion 25 Einleitung 25 1 Stetigkeit 27 2 Differenzierbarkeit 31 3 Höhere Ableitungen 39 4 Exponentialfunktionen 41 5 Funktionen im w-dimensionalen Raum 46 Kapitel 3: E. SCHIEFEEDECKEE, K. STBEHLKE, Integral und Maß 56 Einleitung 56 1 Elementare Integrationstheorie 56 2 Abstrakte Maße und ihre Erweiterung 71 3 Distributionen 84 Literaturverzeichnis t 94 Kapitel 3a :L. SCHMETTBBEB, R. STENDEE, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 96 1 Der Begriff der Wahrscheinlichkeit 96 2 Verteilungsfunktionen zufälliger Variablen Unabhängigkeit Erwartungswerte Charakteristische Funktionen Summen unabhängiger zufälliger Variabler Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingter Erwartungswert Einige Grenzwertsätze 122 Literaturverzeichnis 131

3 XII Inhalt Kapitel 4: F. SOMMER, B. REiMANNf, H. RAU, Alternierende Differentialformen 133 Einleitung 133 A. Die Gesetze der mehrdimensionalen Integrale Integrale über Kurven in der Ebene und im Raum Integrale über Flächen im Raum Integrale über Mannigfaltigkeiten M r im Räume B n Parametertransformationen Koordinatentransformationen. Der Begriff der alternierenden Differentialform 154 B. Der Kalkül der alternierenden Differentiale Die Graßmann-Algebra der alternierenden Differentialformen Die Differentialoperationen der alternierenden Differentialformen Koordinatentransformationen Der Stokessehe Satz 183 C. Anwendungen des Kalküls der alternierenden Differentialformen Differentialformen in der euklidischen Ebene Differentialformen im euklidischen dreidimensionalen Raum. Vektoranalysis Differentialformen auf differenzierbaren und Riemannschen Mannigfaltigkeiten 197 Literaturverzeichnis 200 Kapitel 5: E.PESCHL, A. SCHULTE, Das Komplexe. Grundlegung der Analysis in der Ebene der komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen Beziehungen der komplexen Zahlen zur Elementargeometrie Fundamentalsatz der Algebra Mengen und Folgen komplexer Zahlen, topologische Grundbegriffe Funktionen, reelle und komplexe Differenzierbarkeit und Differentiale Holomorphe und harmonische Funktionen 222 Literaturverzeichnis 228 Kapitel 6: H. TIETZ, W. HESTERMEYER, Funktionentheorie 229 Einleitung Holomorphe Funktionen in der Zahlenebene Meromorphe Funktionen in der Zahlenebene Funktionentheorie auf der geschlossenen Ebene Riemannsche Flächen Funktionen auf Riemannschen Flächen 263 Literaturverzeichnis 269

4 Inhalt XIII Kapitel 7: H. BEHNKE, H. GRAUEST, Die unendlich fernen Punkte 270 Einleitung Die Zweckmäßigkeit der unendlich fernen Punkte Die Existenz und die Eigenschaften der projektiven Ebene Der funktionentheoretische Abschluß der euklidischen Ebene Der Umgebungsbegriff und die Kompaktifizierung Andere Abschließungen der Ebene Modifikationen 292 Kapitel 8: H. TIETZ, K. WIGAND, Gewöhnliche Differentialgleichungen Einleitung Integrationsmethoden Eigenschaften von Lösungen expliziter Differentialgleichungen Lösungen mit besonderen Eigenschaften 320 Literaturverzeichnis 331 Kapitel 9: G. HELLWIG, H. LIERMANN, Partielle Differentialgleichungen Grundbegriffe Einfachste Beispiele Typenunterscheidung, Normalformen Eindeutigkeitsfragen Existenzfragen 364 Literaturverzeichnis 377 Kapitel 10: H. MESCHKOWSKI, K. REINHARD, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale Einleitung Einfache Differenzengleichungen Die -T-Funktion Lösungsmethoden für lineare Differenzengleichungen 409 Literaturverzeichnis 421 Kapitel 11: W. SOHMEIDLER, W. DREETzf, Funktionalanalysis 422 A. Einleitung 422 B. Lineare Theorie Lineare Funktionale und Operatoren Der Hilbertsche und Banachsche Raum Lineare Operatoren in Symmetrische und vollstetige lineare Operatoren Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren 448 Literaturverzeichnis 454

5 XIV Inhalt C. Nichtlineare Theorie Das Fröchetsche Differential 454 ^ 7 Fixpunktsätze Anwendung der Fixpunktsätze auf nichtlineare Operatorgleichungen Allgemeinere nichtlineare Integralgleichungen 476 Literaturverzeichnis 484 Kapitel 12: D. KUEEPA, B. SCHÖN, Reelle Funktionen 485 Einleitung Grundbegriffe der deskriptiven Mengenlehre und Funktionentheorie Stetige Funktionen F - und Ga-Mengen Aufbau komplizierterer Mengen und Funktionen durch Grenzübergänge Einige interessante Funktionentypen Analytische Mengen (A-Mengen) Konstruierbarkeits- und Existenzfragen 518 Literaturverzeichnis 520 Kapitel 13: D. KTJKEPA, B. SCHÖN, Analysis und Zahlentheorie Einleitung Eingreifen der Analysis in die Zahlentheorie. Analytische ZahTentheorie Analysis und Transzendenzbetrachtungen Allgemeine Betrachtungen über Querverbindungen zwischen Analysis und Zahlentheorie 545 Literaturverzeichnis 547 Kapitel 14: G. KÖTHE, F. BALLIER, Strukturwandel in der heutigen Mathematik Einleitung Die Ausbildung der axiomatischen Methode in der Geometrie Die Mengenlehre und die mathematische Logik Wandlung in der Auffassung der Algebra Die axiomatische Methode in der Analysis Die Entwicklung in anderen mathematischen Disziplinen Die Mathematik als Hierarchie von Strukturen Der Bourbakische Aufbau der Mathematik 571 Stichwortverzeichnis 577