EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK

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1 * v. MANGOLDT/KNOPP EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK FÜR STUDIERENDE UND ZUM SELBSTSTUDIUM VIERTER BAND MENGENLEHRE LEBESGUESCHES MASS UND INTEGRAL TOPOLOGISCHE RÄUME VEKTORRÄUME FUNKTIONALANALYSIS INTEGRALGLEICHUNGEN PROF. DR. FRIEDRICH LÖSCH t 4. AUFLAGE S. HIRZEL VERLAG LEIPZIG 1989

2 f INHALTSVERZEICHNIS Verzeichnis häufig verwendeter Symbole XIV Erster Abschnitt Mengenlehre Mengenalgebra 1. Menge und Element 1 2. Teilmengen. Vereinigung und Durchschnitt 4 3. Geordnete Paare. Kartesisohes Produkt Relationen Äquivalenzrelationen Eindeutige Relationen (Funktionen, Abbildungen) Gleichmächtigkeit von Mengen. Endliche und abzählbare Mengen Familien Vereinigung und Durchschnitt einer Mengenfamilie Kartesisohes Produkt einer Mengenfamilie Spezielle Mengensysteme 43 Geordnete Mengen 12. Halbordnung und Ordnung Wohlordnung Ähnlichkeit von geordneten Mengen Der Wohlordnungssatz und das Lemma von Zorn 61 Kardinalzahlen und Ordinalzahlen 16. Die Kardinalzahlen und ihre Vergleichung Das Rechnen mit Kardinalzahlen Ordnungstypen Ordinalzahlen Zahlklassen 90 VII

3 Zweiter Abschnitt Das Lebesguesche Maß Vorbemerkungen über den Riemannschen Inhalt 21. Endliche Intervallsysteme. Figuren Elementarinhalt einer Figur Äußerer und innerer Inhalt einer beschränkten Punktmenge JRiemannscher Inhalt einer beschränkten Punktmenge 105 Das Lebesguesche Maß 25. Abzählbare Intervallsysteme. Boreische Mengen Äußeres und inneres Maß einer Punktmenge Lebesguescb.es Maß einer Punktmenge Eigenschaften des Lebesgueschen Maßes Weitere Eigenschaften des Lebesgueschen Maßes 133 Allgemeine Theorie des Maßes 30. Allgemeiner Inhaltsbegriff Allgemeiner Maßbegriff Äußeres Maß und Maß Prämaß und Maß 146 Dritter Abschnitt Das Lebesguesche Integral Meßbare Funktionen 34. Begriff der meßbaren Funktion Sätze über meßbare Funktionen Folgen meßbarer Funktionen Die Struktur meßbarer Funktionen 171 Definition des Lebesgueschen Integrals 38. Das obere und untere Lebesguesche Integral einer beschränkten Funktion Das Lebesguesche Integral einer beschränkten Funktion Das Lebesguesche Integral einer meßbaren Funktion 183 Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals 41. Integrationsregem für Treppenfunktionen Integrationsregem für beliebige meßbare Funktionen Folgen integrabler Funktionen. 204 VIII

4 Quadratisch integrable Funktionen 44. Definition und Eigenschaften der quadratisch integrablen Funktionen Konvergenz im Mittel Approximation quadratisch integrabler Funktionen durch Treppenfunktionen. 218 Das Lebesguesche Integral auf abstrakten Maliräumen. Maß und Integral auf Produkträumen 47. Meßbare Funktionen auf abstrakten Maßräumen Lebesguesche Integrale auf abstrakten Maßräumen Produktmaße Der Satz von Fubini 235 Das Lebesguesche Integral für Funktionen einer reellen Veränderlichen 51. Definition und Grundregeln Totalstetige Funktionen Differenzierbare Funktionen Das unbestimmte Integral Das Lebesgue-Stieltjessche Integral 265 Vierter Abschnitt Allgemeine topologische Räume Vorbemerkungen über metrische Räume 56. Definition des metrischen Raums. Beispiele Der Umgebungsbegriff in metrischen Räumen 275 Definition und einfachste Eigenschaften topologischer Räume 58. Definition des topologischen Raums durch Umgebungssysteme Häufungspunkte und Berührungspunkte Offene und abgeschlossene Mengen Kern und Hülle einer Menge E7-Topologie und O-Topologie Basis einer Topologie 294 Stetige und homöomorphe Abbildungen 64. Limites und Häufungspunkte von Punktfolgen Stetige Abbildungen Homöomorphie 303 IX

5 Vergleich und Erzeugung von Topologien 67. Vergleich von Topologien Topologie zu gegebener Subbasis Untere und obere Grenze einer Familiö von Topologien Teilräume Topologische Summen Topologische Produkte 318 Zusammenhang und Dichte 73. Zusammenhängende Mengen Zusammenhangskomponenten Überall dichte und nirgends dichte Mengen. Separable Bäume 329 Fünfter Absohnitt Hausdorffsche Räume Filter 76. Definition des Filters Vergleich von Filtern Abbildung von Filtern Ultrafilter 339 Definition des Hausdorffischen Raums. Konvergenztheorie 80. Definition des Hausdorffschen Baums Konvergenz von Filtern, Häufungspunkte von Filtern Häufungspunkte von Mengen Stetigkeit von Abbildungen Konvergenz in Bäumen mit abzählbaren Umgebungsbasen 350 Kompakte Räume 86. Definition des kompakten Baums Abzählbar kompakte und folgenkompakte Bäume Kompakte Mengen Abbildungen kompakter Mengen Kompakte Produkte Lokalkompakte Bäume. Kompaktifizierung 365 Reguläre und normale Räume 92. Beguläre Bäume Normale Bäume Der. Erweiterungssatz von Tietze 373

6 Sechster Abschnitt Metrische Räume Allgemeine Eigenschaften. Vollständige metrische Räume 95. Abstand und Durchmesser Gleichmäßige Stetigkeit Konvergenz. Vollständige metrische Bäume Vervollständigung eines metrischen Baums 393 Kompakten 99. Totalbeschränkte Mengen Definition des Kompaktums. Kompaktheitskriterien Einige Eigenschaften der Kompakten Belativ kompakte Mengen Der Satz von Arzelä-Ascoli 410 Metrisierung 104. Das Metrisierungsproblem Die Urysohnsohen Metrisierungssätze 416 Siebenter Abschnitt Vektorräume Vorbemerkungen über die Euklidischen Vektorräume 106. Der n-dimensionale Zahlenvektorraum Der n-dimensionale Euklidische Vektorraum 423 Allgemeine Vektorräume 108. Definition des Vektorraums Unterräume eines Vektorraums Basis eines Vektorraums Endlichdimensionale Vektorräume 436 Normierte Vektorräume 112. Definition des normierten Vektorraums Separable normierte Vektorräume Banachräume Endlichdimensionale normierte Vektorräume 452

7 Hilberträume 116. Vektorräume mit Skalarprodukt Definition des Hilbertraums Orthogonale Zerlegungen von Hilberträumen Orthonormalsysteme in separablen Hilberträumen Orthogonalreihen in separablen Hilberträumen Der Hilbertsche Folgenraum l t Der Hilbertsche Funktionenraum L 2 [a, 5] Isomorphismus separabler Hilberträume Trigonometrische Fourierreihen 487 Achter Abschnitt Funktionalanalysis Operatoren in metrischen Räumen 125. Allgemeines über Operatoren Der Banachsche Fixpunktsatz Anwendungen des Banachschen Fixpunktsatzes 495 Operatoren in normierten Vektorräumen 128. Lineare Operatoren. Stetigkeit und Beschränktheit Der Kaum der beschränkten linearen Operatoren Der Umkehroperator eines linearen Operators Lineare Funktionale Schwache Konvergenz 527 Selbstadjungierte Operatoren in Hilberträumen 133. Adjungierte Operatoren Selbstadjungierte Operatoren Operatorgleichungen mit selbstadjungierten Operatoren Die Lösung für Punkte der Resolventenmenge Die Lösung für Punkte des Spektrums Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators 549 Vollstetige Operatoren in Hilberträumen 139. Vollstetige Operatoren Das Spektrum eines vollstetigen, selbstadjungierten Operators Die Lösungen der Operatorgleichung {T KE) x = y 563 XII

8 Neunter Abschnitt Integralgleichungen Vorbereitungen 142. Definitionen und Beispiele Die Fredholmsche Integralgleichung Der Satz von Stone-Weierstraß 574 Die Fredholmschen Sätze 145. Die Neumannsche Reihe Integralgleichungen mit ausgeartetem Kern Integralgleichungen mit beliebigem Kern 584 Die Fredholmsche Integralgleichung mit symmetrischem Kern 148. Eigenwerte und Eigenfunktionen der Integralgleichung mit symmetrischem Kern Entwicklungssätze 593 Literaturverzeichnis 599 Namen- und Sachverzeichnis 602