Herbert Zeitler Wolfgang Neidhardt. Fraktale und Chaos. Eine Einführung. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt
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- Lioba Küchler
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1 Herbert Zeitler Wolfgang Neidhardt Fraktale und Chaos Eine Einführung Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt
2 f INHALT Einleitung 1 I. Iteration reeller Funktionen und Chaos in dynamischen Systemen Die Idee der Iteration 7 2. Das Aufstellen der logistischen Funktion 9 3. Grundlegende Begriffe, Sätze und Methoden Grundbegriffe / Graphische Iteration und Analyse - ein Trick Zwei Hauptsätze Satz Satz Die Untersuchung der logistischen Funktion mit vielen Überraschungen Kurvendiskussion Nicht alles ist interessant. Untersuchung des Bereichs 0 < \i ^ Das Verhalten bei Startwerten x <0undx > Der Bereich 1< n < Satz Satz Was geschieht für \i > 3? Ein erster Schritt Was soll das bedeuten? Die Feigenbaum-Graphik Und wie geht es weiter? Die Feigenbaum-Konstanten Das Chaos Der Wert n» Die Fenster - ein Wunder geschieht Und was passiert im Falle \i > 4? Warum die quadratische Familie so wichtig ist 46
3 VI 5. Die Dachfunktion, ein Spezialthema Definition der Dachfunktion Der Bereich 0 < X < DerFalU = l Der Bereich 1< X < Der Bereich X > Verallgemeinerte Dachfunktion Wir verallgemeinern nochmals Zurück zur logistischen Funktion. 60 II. Selbstähnliche fraktale Punktmengen Zwei wichtige Begriffe Selbstähnlichkeit Selbstähnlichkeitsdimension Wasjederweiß!, Erweiterung des Dimensionsbegriffes Selbstähnlichkeitsdimension ganz allgemein Cantor-Stäube Cantor-Zahlen Exkurs über Ternärbrüche Cantor-Zahlen und Cantor-Staub Etwas Wahrscheinlichkeitsrechnung Eine seltsame Überlegung Selbstähnlichkeit und Dimension Abzählbarkeit Weitere Eigenschaften Verallgemeinerungen Cantor-Staub C Cantor-Staub in Räumen höherer Dimension Koch-Kurven Konstruktionsvorschrift Eigenschaften Länge Fläche Stetigkeit - Differenzierbarkeit Dimension 80
4 VII 3.3 Graphische Darstellung von Koch-Kurven Ein iteratives Programm Koch-Kurven rekursiv Verallgemeinerte Koch-Kurven in der Ebene..' n-eck-koch-kurven Die Koch-Konstruktion »Verrückte«Koch-Kurven Koch Flächen Pascal- und Sierpinski-Dreieicke Binominal-Koeffizienten - Pascal-Dreieck mod Graphische Darstellung des Pascal-Dreiecks mod Eigenschaften des Pascal-Dreiecks mod Pascal-Dreieck und zelluläre Automaten Sierpinski-Dreieck und Pascal-Dreieck mod Eigenschaften des Sierpinski-Dreiecks Erweiterungen, Verallgemeinerungen, Ausblicke 118 III. Noch mehr zur Dimension Die klassische Dimension aus der Schule Die algebraische Dimension Der Vektorraum über dem Körper K Affiner Punktraum Dimension spezieller Punktmengen Metrische Räume Was ist das? Beispiele metrischer Räume Viele Spezialbegriffe Durchmesser einer Punktmenge E C M Kugelumgebung eines Punktes PCM Umgebung eines Punktes P M Besondere Punkte bezüglich E C M Konvergenz einer Punktfolge in M Häufungspunkt in E C M Offene Menge E C M Abgeschlossene Menge ECM Perfekte Menge E C M 141
5 VIII Beschränkte Menge E C M Kompakte Menge E CM Die Überdeckungsdimension Definitionen Satz von Lebesgue Definition der Überdeckungsdimension Dimensionssätze ' Topologische Räume Was ist das? Die topologische Dimension d T Beobachtungen Definition der topologischen Dimension Noch mehr zur topologischen Dimension d T Zurück zur Selbstähnlichkeitsdimension d s Die fraktale Dimension d F Künstlich - natürlich Experimentelles Arbeiten Wir messen! Noch mehr physikalische Methoden! Die Auswertung, das Ergebnis Wir entwickeln eine»schöne«formel Wie vertragen sich ds und d F Erweiterungen Kreisscheiben statt Zirkelöffnungen Zusätzliche Erweiterungen Zu den speziell selbstähnlichen Punktmengen Schwierige Theorie: Die Dimension d H B Das d-maß H d (E) r-Überdeckung Satz Definition Sätze zum Hausdorff-d-Maß Satz Lemma.. > Satz Satz von Hausdorff-Besicovitch 164
6 7.3 Definition von d H ß Ausblicke Verschiedene Varianten Sätze ohne Beweis Eine Auswahl von Beispielen Drei Punkte QCR Cantor-Drittelmenge Sierpinski-Dreieck Kurve Quadrat Satz 174 IV. Mandelbrot-und Julia-Mengen Mandelbrot-Mengen Konvergenz-Divergenz Definition der Mandelbrot-Menge Das Apfelmännchen Elementare Eigenschaften des Apfelmännchens Symmetrie Schnitt mit der reellen Achse Einbettung Der»Hauptkörper«des Apfelmännchens Was ist eine Kardioide? Satz DerPunktz 0 = Eine»Knospe«des Apfelmännchens Noch mehr zum Apfelmännchen Einige Verzierungen Schon wieder so ein Wunder! Innerer Zusammenhang Der Rand Die Sache mit dem Startwert Apfelmännchen und Feigenbaum Geht es noch ästhetischer? Warum die spezielle quadratische Funktion f c (z)? 197 IX
7 X 2. Julia-Mengen Definition der Julia-Menge Was zeigt der Computer? Symmetrie Die Julia-Menge J Satz Was sind Dualbrüche? ' Wie verhalten sich die Punkte auf dem Grenzkreis k? Die Julia-Menge J_ Eine ungewöhnliche Transformation.. ' Wie ändert sich f(z)? " Was wird aus dem Grenzkreis w = e l<p? Was wird aus den Kreisen w = re iqp mit r R +? Ein Riemannsches Blatt - was ist das? Und die Gerade durch den Ursprung in der w-ebene? Was geschieht bei Iteration in der z-ebene? Ein»tiefliegender«Satz Weitere Eigenschaften der Julia-Mengen Julia-Mengen mit dem Computer Die Orbit-Methode Die Methode der Rückwärtsiteration Was hat Newton mit Julia-Mengen zu tun? Das Newton-Verfahren Im Reellen Im Komplexen 223 z 2 +l 3.2 Iteration mit der Funktion g (z) = w 2z Was man über Kreisspiegelungen wissen sollte Konstruktion iterierter Punkte Die Punkte der reellen Achse Die Punkte auf dem Kreis x 2 + y 2 = Die Punkte der imaginären Achse Was wissen wir jetzt eigentlich? Die Dynamik der Funktion g(z) Ausblick-ein Wunder 233
8 r XI Literatur 237 Quellenangaben der Figuren 241 Stichwortverzeichnis 243 Tafeln
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