1 Einführung: Analytische Geometrie/Lineare Algebra und Allgemeinbildung

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1 1 Einführung: Analytische Geometrie/Lineare Algebra und Allgemeinbildung Schwerpunkte der Weiterentwicklung des Unterrichts Grundvorstellungen und fundamentale Ideen 6 2 Lineare Gleichungssysteme Algebra in der Schule Variablen Gleichungen LGS in der Schule - ein Überblick Überblick über die Sekundarstufe I Überblick über die Sekundarstufe II LGS in der Sekundarstufe I Lineare Gleichungen mit 2 Variablen und lineare Funktionen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Lösungsvariablen LGS in der Sekundarstufe II Überblick LGS mit zwei und drei Lösungsvariablen Äquivalenzumformungen Matrixschreibweise für LGS und Gauß'scher Algorithmus Verallgemeinerung des Gauß-Algorithmus und Struktur der Lösungsmenge Der Gauß-Algorithmus für LGS mit beliebig vielen Variablen Strukturelle Überlegungen zu Lösungsmengen von LGS Lösen linearer Gleichungssysteme mit dem Computer Computereinsatz in der Schule Software für den Unterricht Lösen von LGS mit GeoGebra und Maxima Probleme mit dem Computer Beispiele aus dem Unterricht Zahlenmauern 69 VII

2 VIII Inhaltsverzeichnis Bestimmung der Koeffizienten ganzrationaler Funktionen aus gegebenen Wertepaaren Aufgaben aus der Unterhaltungsmathematik Zerlegung eines Rechtecks - die ICM-Briefmarke Widerstandsnetze Mischungsprobleme 84 3 Der Vektorbegriff Wege der Einführung des Vektorbegriffs - Überblick Vektoren in geometrischen und physikalischen Kontexten Verschiebungen Geschwindigkeiten und Kräfte Pfeilklassen Umsetzung des Pfeilklassenkonzepts in Schulbüchern Nutzung von Vektoren für Beweise geometrischer Sätze Didaktische Schwierigkeiten mit Vektoren und Punkten; Sinn und Unsinn des Konstrukts Ortsvektor" Vektoren in arithmetischen Kontexten Stücklisten Farbmischung in der elektronischen Bildwiedergabe n-tupel als eigenständiges Vektormodell Beziehungen zwischen w-tupeln und Pfeilklassen Die Stellung von Vektoren als «-Tupel im Unterricht Der Vektorbegriff als verallgemeinernder Strukturbegriff; Vektorräume Der Begriff des Vektorraumes Rechengesetze als Gemeinsamkeiten verschiedener Vektormodelle Weitere Beispiele für Vektorräume Linearkombinationen von Vektoren; Basen und Koordinaten Ein anschaulicher Zugang zu Basisvektoren Exaktifizierung des Begriffs Linearkombination"; Berechnung von Koeffizienten Anwendung von Linearkombinationen in der Geometrie Vektorrechnung und -darstellung mithilfe des Computers Analytische Geometrie Grundlegende Bemerkungen zur Analytischen Geometrie Was sind Punkte und Geraden? Parameterdarstellungen - ein erster Überblick Analytische Geometrie in historischem Kontext Geometrie in der Sekundarstufe II Kalkül versus Semantik Lineare Algebra versus Analytische Geometrie 163

3 IX Raumgeometrie Affine Eigenschaften des Anschauungsraumes Vorbemerkungen Punkte, Geraden und Strecken Teilverhältnisse Ebenen Vektorgeometrische Beweise von Sätzen der affinen Geometrie Affine Geometrie und Zufallsfraktale" Das Skalarprodukt Zur Einführung des Skalarprodukts Metrische Geometrie - Sichtweisen in Schule und Universität Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt Ein arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt Erste Anwendungen des Skalarprodukts Weitere Produkte" von Vektoren: Vektor- und Spatprodukt Metrische Geometrie von Geraden und Ebenen Orthonormalbasen Normalenformen für Ebenen Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstände bei Geraden Schnittwinkel von Geraden und Ebenen Kreise und Kugeln Kreis-und Kugelgleichung Schnitte von Geraden, Kreisen und Kugeln Tangenten und Tangentialebenen Schnitte von Kugeln und Ebenen Schnitte zweier Kugeln Kugeln in Kunst und Architektur Analytische Behandlung von Konstruktionsaufgaben Abituraufgaben in der Analytischen Geometrie Problematische Abituraufgaben Das Oktaeder des Grauens Syntax versus Semantik Flugsicherheit Verhungerte Raubvögel Vertiefungen und Anwendungen der Analytischen Geometrie : Erstellen von 3D-Computergraphiken mittels Koordinatengeometrie Koordinatenbeschreibung von 3D-Computergraphiken Schneemannbau" als Einstieg in die räumliche Koordinatengeometrie und die 3D-Computergraphik Analytische Geometrie als Grundlage der 3D-Computergraphik 250

4 X Inhaltsverzeichnis Das Reflexionsgesetz im Raum Lokale Beleuchtungsmodelle Kantenglättung durch Normaleninterpolation Dynamische Aspekte von Parameterdarstellungen; Computeranimationen Sichtweisen auf Parameterdarstellungen Erstellung von Animationen durch Parameterdarstellungen Animationen auf Kreisen und daraus abgeleiteten Kurven Kameraanimationen in der 3D-Computergraphik Parameterdarstellungen von Rächen Kegelschnitte Parabeln als geometrische Örter Ellipsen als geometrische Örter Hyperbeln durch Variation der Ellipsen-Ortseigenschaft Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln als Kegelschnitte Quadratische Formen Brennpunkteigenschaften der Kegelschnitte; Anwendungen Sattelflächen als Vernetzung von Analysis und Geometrie Zwei Problemkreise aus der Sekundarstufe I Geraden und Parabeln fuhren zu Sattelflächen Punkte mit gleichem Abstand zu zwei Geraden Weiteres zu Sattelflächen B6zierkurven Elementargeometrische Behandlung von Bezierkurven Analytische Beschreibung von Bezierkurven Bezierflächen Matrizen und affine Abbildungen Ein arithmetischer Zugang zu Matrizen über mehrstufige Prozesse Einführungsbeispiel: Materialverflechtung Matrizenmultiplikation - Definition und Rechenregeln Populationsmatrizen Affine Abbildungen in der Sekundarstufe II Stellung linearer und affiner Abbildungen in der Schule Geradentreue und nicht geradentreue Abbildungen in der SI Koordinatenbeschreibungen geometrischer Abbildungen Definition und Eigenschaften affiner Abbildungen Matrixdarstellung affiner Abbildungen Affine Abbildungen im Raum; Projektionen Veranschaulichung durch Matrizen gegebener affiner Abbildungen mithilfe des Computers Verkettung affiner Abbildungen und Matrizenprodukt 368

5 XI 6.3 Weitere Überlegungen zu affinen Abbildungen Fixpunkte affiner Abbildungen Klassifikation und Normalformen ebener Affinitäten Ähnlichkeits- und Kongruenzabbildungen in der Ebene Affine Abbildungen und Zufallsfraktale" Ausblick 379 Literatur 385 Sachverzeichnis 391