Vektorgeometrie 2. Teil

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Mathias Berg
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1 Vektorgeometrie 2. Teil MNProfil - Oberstufe KZN Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname: 13. Januar 2017

2 Überblick über die bisherigen Vektorgeometrie - Themen: 1. Einführung & die analytische Darstellung der Vektoren 2. Vektoren & die Grundoperationen 3. Das Skalar- & Vektorprodukt I

3 Inhaltsverzeichnis 3.1 Einleitung & Ausblick Geraden & Ebenen im Raum Parameterdarstellung einer Geraden Klassische Anwendungen Gegenseitige Lage von Geraden im Raum Parameterdarstellung einer Ebene Klassische Anwendungen Koordinatengleichung Schrägbilder Spezielle Lagen von Ebenen Vom Normalenvektor zur Koordinatengleichung Schnitt- & Abstandsprobleme ein StresssivProgramm die Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor das Spatprodukt Schnittpunkt und -winkel zweier Geraden Schnittpunkt und -winkel einer Geraden mit einer Ebene Schnittgerade und -winkel zweier Ebenen Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zweier Geraden Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstand einer geraden von einer Ebene Abstand zweier Ebenen Die Kugelgleichung 25 II

4 3.1 Einleitung & Ausblick Wir beginnen mit einer Aufgabenserie zur Repetition der Grundlagen aus der Vektorgeometrie und den damit verbundenen klassischen Anwendungen... Geometrie-Aufgaben: Vektorgeometrie Repetitionsserie 1 Wir werden die Aufgaben 6 (f) & (g) als Einstieg in die räumliche Beschreibung von Geraden verwenden. Das dabei angewendete Konzept der Orts- & Richtungsvektoren werden wir analog für die Beschreibung der Ebenen im Raum verwenden und in klassischen Anwendungen umsetzen. Stresssiv, d.h. in einer stressigen und intensiven Lernphase werden die Schnitt- & Abstandsprobleme präsentiert und mit einer Vorprüfung abgeschlossen. Abschliessen werden wir den zweiten Teil der Vektorgeometrie mit weiterführenden Aufgaben und der Diskussion der Kugel. 1

5 4 Geraden & Ebenen im Raum Als Einstieg verwenden wir die Aufgabe 6 aus der Repetitionsserie 1: Wir betrachten die folgenden Punkte: A = (2/1/ 3), B = ( 3/0/1), C = (7/ 1/ 1) Bestimme den Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC. Lösungsansatz: Lösung: 2

6 ... und wie finden wir den Punkt in der Ebene des Dreiecks ABC? Wir betrachten immer noch die gleichen Punkte: A = (2/1/ 3), B = ( 3/0/1), C = (7/ 1/ 1) Bestimme den Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC in der Dreiecksfläche. Lösungsansatz: Lösung: 3

7 Lösung: 4

8 4.1 Parameterdarstellung einer Geraden Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt wird, wollen wir auch eine von nur zwei Punkten abhängige Darstellung der Geraden: Für die Darstellung einer Geraden brauchen wir somit: Bem.: 5

9 4.1.1 Klassische Anwendungen Beispiel Bestimme eine Parameterdarstellung für die Gerade g, die durch die Punkte A = (10/3/ 12) und B = (15/2/ 9) eindeutig bestimmt ist. Welche der folgenden Punkte liegen auf der obigen Geraden g: P = (20/1/ 6) oder Q = (5/4/ 12) 6

10 4.1.2 Gegenseitige Lage von Geraden im Raum Einige Vorüberlegungen: Beispiel Bestimme den Schnittpunkt von g mit h, mit g(t) = t 1 3, h(s) = s Geometrie-Aufgaben: Vektorgeometrie 5 zugehörige Lösungen 7

11 4.2 Parameterdarstellung einer Ebene Da eine Ebene durch drei Punkte eindeutig bestimmt wird, wollen wir auch eine von drei Punkten abhängige Darstellung der Ebene: Für die Darstellung einer Ebene brauchen wir somit: Bem.: 8

12 4.2.1 Klassische Anwendungen Beispiel Für dieses Beispiel gehen wir von folgenden Punkten aus: A = (1/ 1/2), B = ( 2/0/3) und C = (3/1/ 2) Bestimme eine Parameterdarstellung für die Ebene E, die durch die Punkte A, B und C eindeutig bestimmt ist. Welche der folgenden Punkte liegen in der Ebene E P = (2.5/1.5/0), Q = (2/2/ 2.5) Wie muss die Koordinate z für R = (13/0/z) gewählt werden, so dass gilt: R E 9

13 4.2.2 Koordinatengleichung Wir wollen noch eine weitere Darstellungsform einer Ebene besprechen, die sog. Koordinatengleichung. Durch die Elimination der Parameter aus der Komponentengleichung der Parameterdarstellung entsteht eine lineare Gleichung der folgenden Form: ax + by + cz + d = 0 Dies ist die eine sog Koordinatengleichung der Ebene und beschreibt die Menge aller Punkte des Raumes, welche auf der Ebene liegen. Wir wollen an einem Beispiel diese Elimination durchführen und eine Koordinatengleichung herleiten: Beispiel Unsere Ebene E ist durch die folgenden Punkte eindeutig bestimmt: A = (3/0/2), B = (0/ 6/16), C = ( 3/1/4) eine Parameterdarstellung ist: die zugehörigen Komponentengleichungen lauten: die Elimination der Parameter ohne Änderung der Lösungsmenge erhalten wir durch das Anwenden der Äquivalenzumformungen, dies sind: 10

14 4.2.3 Schrägbilder Um uns ein Bild von der Lage einer Ebene E machen zu können, verwenden wir die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen zur Darstellung von E durch das sog. Schrägbild. (Wir verwenden die Ebene E aus dem vorherigen Beispiel.) Geometrie-Aufgaben: Vektorgeometrie 6 zugehörige Lösungen 11

15 4.2.4 Spezielle Lagen von Ebenen 12

16 4.2.5 Vom Normalenvektor zur Koordinatengleichung 13

17 5 Schnitt- & Abstandsprobleme ein StresssivProgramm Im Folgenden werden wir uns mit Schnittpunkten, Schnittgeraden und Schnittwinkel und Abstände zwischen Punkte, Geraden und Ebenen befassen. Dabei werden wir stresssiv, also stressig & intensiv vorgehen: Einleitende Literatur wird zur Verfügung gestellt, Notwendiges Wissen von euch bereitgestellt, Das Problem von mir dargestellt, Ein Konzept zur Lösung vorgestellt und an konkreten Beispielen könnt ihr die Situationen nachstellen. Kurz und mit endgültigen Zeitangaben zusammengefasst: - kommt vorbereitet in den Unterricht, - jede Situation wird in maximal 10 Minuten präsentiert, - zwei bis drei Situationen pro Unterrichtsstunde, - 45 Minuten konzentriertes Mitdenken und -arbeiten wird verlangt und das Ganze mit einer guten oder besseren Vornote abgeschlossen. Beginnen werden wir mit Einführung zweier Ideen, welche wir später in den eigentlichen Fragestellungen zur Anwendung bringen werden: der Projektion von Vektoren auf Vektoren dem gemischten Produkt (Spatprodukt) 14

18 5.1 die Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor 15

19 5.2 das Spatprodukt 16

20 5.3 Schnittpunkt und -winkel zweier Geraden 17

21 5.4 Schnittpunkt und -winkel einer Geraden mit einer Ebene 18

22 5.5 Schnittgerade und -winkel zweier Ebenen 19

23 5.6 Abstand eines Punktes von einer Geraden 20

24 5.7 Abstand zweier Geraden 21

25 5.8 Abstand eines Punktes von einer Ebene 22

26 5.9 Abstand einer geraden von einer Ebene 23

27 5.10 Abstand zweier Ebenen 24

28 6 Die Kugelgleichung 25

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