9. ANALYTISCHE GEOMETRIE MIT EBENEN

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1 ANALYTISCHE GEOMETRIE MIT EBENEN 9. ANALYTISCHE GEOMETRIE MIT EBENEN Die Bilder zeigen: Verschiebt man ein Geradenstück parallel entlang eines anderen Geradenstücks, so entsteht ein ebenes Flächenstück. Jedoch muss man beim Herstellen von Ebenen aufpassen: ± Bei einer gekrümmten Leitlinie bilden die erzeugenden Geraden eine gekrümmte Fläche. ± Führt man die gerade Abziehkante längs zweier zueinander windschiefer Geraden, entsteht ein Flächenstück, wie es bei Kraftwerkskühltürmen und manchen Bedachungen vorkommt. Diese Vorstellungen führen zum Beschreiben von Ebenen durch Parameterdarstellungen (jetzt mit zwei Parametern). Jede Ebene lässt sich auch durch eine Koordinatengleichung (der Art x x x ˆ ) erfassen. Wir werden lernen, wie man zu einer Ebene eine Parameterdarstellung oder eine Koordinatengleichung bestimmt und wie man aus der einen Darstellung die andere berechnen kann. An typischen Beispielen erarbeiten wir dann Verfahren zum Lösen von Lageaufgaben (wie liegen eine Gerade und eine Ebene zueinander?) und von Maûaufgaben (welchen Winkel bilden zwei Ebenen?). Solche Verfahren kommen in Programmen für computerunterstütztes Entwerfen und Fertigen, für den Aufbau ¹virtueller Weltenª,... vor. Derartige Computersoftware benutzt allerdings auch einfache gekrümmte Kurven- und Flächenstücke, die ebenfalls durch Parameterdarstellungen oder Koordinatengleichungen beschrieben sind.

2 Beschreiben von Ebenen durch Parameterdarstellungen 9. Beschreiben von Ebenen durch Parameterdarstellungen 9.. Gewinnen einer Parameterdarstellung Einführung Wodurch ist eine Ebene bestimmt? Zum Beantworten der Frage betrachten wir Situationen aus dem Alltag. Eine Ebene läût sich auf verschiedene Weisen festlegen: () durch zwei einander schneidende Geraden; () durch zwei zueinander parallele Geraden; () durch eine Gerade und einen Punkt auûerhalb der Geraden; () durch drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen. zu () zu () zu () zu () Wie hängen diese Fälle miteinander zusammen? Jeder der vier Fälle lässt sich auf jeden anderen zurückführen. So ist z. B. die Verbindungsebene eines Dreiecks ABC auch die Verbindungsebene der Geraden AB und AC bzw. der Geraden AB und des Punktes C bzw. der Geraden AB und ihrer Parallelen durch den Punkt C. Es genügt daher zu wissen, wie man im Fall () eine Parameterdarstellung der Ebene gewinnt.

3 ANALYTISCHE GEOMETRIE MIT EBENEN Aufgabe Festlegen einer Ebene durch zwei einander schneidende Geraden bzw. durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren Koordinateneinheit ˆ m Das linke Bild zeigt zwei Eimerkettenbagger, wie sie im Braunkohletagebau eingesetzt wurden. Beim Schürfen wird die Eimerkette in Richtung des Vektors ~v gezogen, während sich der Bagger langsam in Richtung des Vektors ~u bewegt. Der Bagger erzeugt so ein Stück einer Ebene. Wie bekommt man die Ortsvektoren von Punkten der Ebene? Die Fahrbahn des Baggers beschreiben wir durch eine Leitgerade, jede Lage der Eimerkette durch eine erzeugende Gerade. Dann entsteht die (ganze) Ebene, wenn man längs der Leitgeraden eine erzeugende Gerade parallel verschiebt. Wir geben die Leitgerade durch einen Punkt A und einen Richtungsvektor ~u vor, die Richtung der erzeugenden Gerade durch einen Vektor ~v: A(8jj), ~u ˆ, ~v ˆ a) Berechne mit diesen Daten den Ortsvektor des Punktes B in der Figur. b) Gib den Ortsvektor eines beliebigen Punktes X der Ebene an. Lösung ƒ ƒ ƒƒ ƒƒ a) Es ist OB ˆ OA AB B B ƒ 8 ˆ OA ~u ~v ˆ ˆ b) Man erreicht jeden Punkt X der Ebene, wenn man zuerst vom Punkt A aus längs der Leitgeraden geht, bis man im Punkt X auf die erzeugende Gerade durch X trifft, dann entlang dieser Geraden bis zum Punkt X: ƒ ƒ ƒƒ ƒƒ OX ˆ OA AX X X ƒƒ ƒƒ Dabei ist der Vektor AX ein Vielfaches des Vektors ~u und der Vektor X X ein Vielfaches von ~v. Man kann also Zahlen l und m angeben mit ƒƒ AX ˆ l ~u ˆ l ƒƒ und X X ˆ m ~v ˆ m 8

4 Beschreiben von Ebenen durch Parameterdarstellungen 7 ƒ Wir setzen diese Terme und den Ortsvektor OA oben ein und erhalten dann die verlangte Darstellung: Für jeden Punkt X der Ebene gilt: ƒ ƒ 8 OX ˆ OA ~u ~v ˆ mit gewissen Zahlen l und m Dabei ist A(8 j j ) ein Punkt der Ebene. ~u ˆ und ~v ˆ sind Richtungsvektoren zweier Geraden in der Ebene, die nicht zueinander parallel sind. Information () Beschreiben einer Ebene durch eine Parameterdarstellung Man kann jede Ebene durch einen ihrer Punkte und durch zwei Richtungsvektoren festlegen. In Verallgemeinerung der Lösung von Aufgabe b) gilt: Beispiel: Die Ebene durch den Punkt A(jj) und mit den Richtungsvektoren ~u ˆ, ~v ˆ hat die Parameterdarstellung: ƒ OX ˆ mit l, m R Satz : Parameterdarstellung einer Ebene Gegeben sind ein Punkt A und zwei Vektoren ~u und ~v, die vom Nullvektor verschieden und nicht zueinander parallel sind. Sie bestimmen eine Ebene. Für jeden Punkt X dieser Ebene gilt: ƒ ƒ OX ˆ OA ~u ~v mit gewissen Zahlen l R, m R Umgekehrt: Setzt man für l und m irgendwelche Zahlen ein, ergibt sich der Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Richtungsvektoren () Parameterdarstellung, Stützvektor, Richtungsvektor ƒ ƒ Man nennt OX ˆ OA ~u ~v mit l R, m R eine Parameterdarstellung (auch: Parametergleichung) der Ebene ƒ mit den Parametern l und m, den Vektor OA einen Stützvektor und die Vektoren ~u und ~v Richtungsvektoren der Ebene. ƒ Häufig schreibt man kurz ¹~xª statt ¹OX ª. Stützvektor Zu jeder Ebene kann man unendlich viele Parameterdarstellungen angeben (vgl. Aufgabe auf Seite 8). Weiterführende Aufgaben. Festlegen einer Ebene durch drei Punkte Im Fahrzeugbau, bei der Landschaftsgestaltung, beim Industriedesign nähert man frei geformte Flächenstücke durch Dreiecke an, zu deren Ecken man die Koordination misst (in der Natur oder am Modell). Hieraus kann man Parameterdarstellungen der Dreiecksebenen bestimmen. Drei solche Punkte sind P ( j j ), Q( j j ) und R (7 j j ). Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an. Führe Aufgabe auf Aufgabe zurück

5 8 ANALYTISCHE GEOMETRIE MIT EBENEN Übungsaufgaben. Punkte zu Parameterwerten finden und umgekehrt a) Skizziere das Schrägbild einer Ebene mit einem Punkt A und zwei Richtungsvektoren ~u und ~v. Konstruiere zur Parameterdarstellung ƒ ƒ OX ˆ OA ~u ~v mit l, m R die Punkte,welche die Parameterwerte l ˆ, und m ˆ, bzw. l ˆ und m ˆ haben. b) Bestimme die Parameterwerte des Punktes A und der Punkte mit den Ortsvektoren ƒ ƒ ƒ OA ~u,oa ~v,oa ~u ~v.. Verschiedene Parameterdarstellungen derselben Ebene a) Benutze zur Lösung von Aufgabe zuerst die Gerade PQ,dann die Gerade QR als Leitgerade. b) Wie ändert sich die Parameterdarstellung einer Ebene,wenn man die Rollen von Leitgerade und erzeugender Gerade miteinander vertauscht? c) Erläutere,wie man durch Anwenden von Aufgabe zu einer Ebene mehrere Parameterdarstellungen berechnen kann.. Parameterdarstellung für ein Teilstück einer Ebene In der Situation von Aufgabe startet der Bagger an der Stelle mit dem Ortsvektor ƒ ƒ OA ˆ~u ~v und fährt bis zur Stelle mit dem Ortsvektor OA ˆ ~u ~v. Während der Fahrt schürfen die Eimer im Bereich m. Gib eine Parameterdarstellung an für das entstehende Ebenenstück.. Sonderform der Parameterdarstellung ƒ Welche geometrische Figur beschreibt die Parameterdarstellung OX ˆ~a ~u ~v mit l, m R,wenn der Vektor ~v ein Vielfaches des Vektors ~u ist? 7. ƒ Gegeben ist die Parameterdarstellung einer Ebene E:OX ˆ Gib für die Parameter l und m den zugehörigen Ortsvektor an. a) l ˆ ; m ˆ c) l ˆ ; m ˆ b) l ˆ ; m ˆ d) l ˆ ; m ˆ e) l ˆ ; m ˆ f) l ˆ ; m ˆ Beachte: ƒ Statt OX schreiben wir kurz ~x 8. a) Eine Ebene kann vorgegeben werden durch zwei einander in einem Punkt schneidende Geraden. Zeige,dass die Geraden g und g einander in einem Punkt schneiden. Gib eine Parameterdarstellung der durch g und g bestimmten Ebenen an. () g : ~x ˆ () g : ~x ˆ ; g : ~x ˆ ; g : ~x ˆ b) g : ~x ˆ~a ~u; g : ~x ˆ~b ~v ƒ Der Schnittpunkt von g und g sei S mit dem Ortsvektor~s ˆ OS. Welche Bedingungen müssen~s ~a bzw.~s ~ b erfüllen?

6 Beschreiben von Ebenen durch Parameterdarstellungen 9 9. Eine Ebene kann durch Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, festgelegt werden. Gib eine Parameterdarstellung an. a) P(jj); Q(j j ); R(j 8 j ) b) P(jj); Q( j j ); R( j j ). Eine Ebene kann auch vorgegeben werden durch eine Gerade g und einen Punkt P, der nicht auf der Geraden g liegt. a) g: ~x ˆ ; P(j j ) b) g: ~x ˆ ƒ ˆ~p ; P(j j ) c) g: ~x ˆ~a ~u; P mit OP Welche Bedingungen muss ~p erfüllen, damit tatsächlich eine Ebene vorliegt?. Eine Ebene kann auch vorgegeben werden durch zwei verschiedene zueinander parallele Geraden. Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an, die durch die Geraden g und g bestimmt ist. a) g : ~x ˆ b) g : ~x ˆ ; g : ~x ˆ ; g : ~x ˆ c) g : ~x ˆ~a ~u; g : ~x ˆ~b ~v Welche Bedingung müssen ~a ~ b, ~u und ~v erfüllen, damit g und g parallel zueinander sind und g =g gilt?. Prüfe, ob durch die folgende Angabe eine Ebene festgelegt ist. a) Gegeben sind Punkte P, Q und R mit P(jj), Q(j j ), R(j j ), [P(j j ), Q( j j ), R( j j )]. b) Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P: () g: ~x ˆ () g: ~x ˆ ; P ( j j 9) ; P( 9 j j) c) Gegeben sind zwei Geraden g und g : () g : ~x ˆ ; g : ~x ˆ () g : ~x ˆ ; g : ~x ˆ () g : ~x ˆ ; g : ~x ˆ 8